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1、1.2 函数及其表示 1.2.1 函数的概念函数的概念 课后篇课后篇巩固提升 基础巩固 1.函数 f(x)=的定义域是( ) + 1 - 1 A.-1,1)B.-1,1)(1,+) C.-1,+)D.(1,+) 解析由 + 1 0, - 1 0, 解得 x-1,且 x1. 答案 B 2.已知 M=x|-2x2,N=y|0y2,函数 f(x)的定义域为 M,值域为 N,则 f(x)的图象可以是( ) 解析 A项中函数的定义域为-2,0,C 项中对任一 x 都有两个 y 值与之对应,D 项中函数的值域不是 0,2,均不是函数 f(x)的图象.故选 B. 答案 B 3.(2018山东青岛二中高一期中
2、)下列四个函数:y=x+1;y=x-1;y=x2-1;y= ,其中定义域与值域 1 相同的是( ) A.B. C.D. 解析y=x+1,定义域为 R,值域为 R,y=x-1,定义域为 R,值域为 R,y=x2-1,定义域为 R,值域为- 1,+),y= ,定义域为(-,0)(0,+),值域为(-,0)(0,+),故的定义域与值域相同. 1 答案 B 4.已知等腰三角形 ABC 的周长为 10,且底边长 y关于腰长 x 的函数关系式为 y=10-2x,则此函数的定 义域为( ) A.RB.x|x0 C.x|00, x10-2x,x . 5 2 故此函数的定义域为. | 5 2 5 答案 D 5.
3、若函数 y=f(x)的定义域是0,2,则函数 g(x)=的定义域是( ) (2) - 1 A.0,1)(1,2B.0,1)(1,4 C.0,1)D.(1,4 解析由题意,得即 0x1. 0 2 2, - 1 0, 答案 C 6.函数 f(x)=x2-2x,x-2,-1,0,1的值域为 . 解析因为 f(-2)=(-2)2-(-2)=6,f(-1)=(-1)2-2(-1)=3,f(0)=02-20=0,f(1)=12-21=-1.所以 f(x)的值域为 6,3,0,-1. 答案6,3,0,-1 7.若函数 f(x)满足 f(2x-1)=x+1,则 f(3)= . 解析令 2x-1=3,则 x=2
4、,故 f(3)=2+1=3. 答案 3 8.若函数 f(x)=ax2-1,a为正常数,且 f(f(-1)=-1,则 a的值是 . 解析f(-1)=a(-1)2-1=a-1,f(f(-1)=a(a-1)2-1=a3-2a2+a-1=-1.a3-2a2+a=0,a=1 或 a=0(舍去).故 a=1. 答案 1 9.求函数 y=的定义域,并用区间表示. + 2 6 - 2 - 1 解要使函数有意义,则解得 + 2 0, 6 - 2 0, 6 - 2 1, - 2, 3, 5 2, 即-2x3,且 x . 5 2 故函数的定义域为, |- 2 3,且 5 2 用区间表示为. - 2, 5 2) (5
5、 2 ,3 10.已知函数 f(x)=. 1 + 2 1 - 2 (1)求 f(x)的定义域; (2)若 f(a)=2,求 a 的值; (3)求证:f=-f(x). ( 1 ) (1)解要使函数 f(x)=有意义,只需 1-x20,解得 x1,所以函数的定义域为x|x1. 1 + 2 1 - 2 (2)解因为 f(x)=,且 f(a)=2, 1 + 2 1 - 2 所以 f(a)=2,即 a2= ,解得 a=. 1 + 2 1 - 2 1 3 3 3 (3)证明由已知得 f, ( 1 ) = 1 +(1 ) 2 1 - ( 1 ) 2 = 2+ 1 2 - 1 -f(x)=-,所以 f=-f(
6、x). 1 + 2 1 - 2 = 2+ 1 2 - 1 ( 1 ) 能力提升 1.下列对应关系是从 A 到 B的函数的个数为( ) (1)A=-1,1,B=0,f:xy=0; (2)A=1,2,3,B=甲,乙,对应关系如图所示; (3)A=1,2,3,B=4,5,6,对应关系如图所示. A.1B.2C.3D.0 解析(1)对于集合 A中的任意一个实数 x,按照对应关系 f:xy=0,在集合 B 中都有唯一确定的数 0 与 它对应,故是集合 A 到集合 B的函数; (2)集合 B 不是数集,故不是 A 到 B 的函数; (3)集合 A 中的元素 3在 B 中没有对应元素,且 A 中的元素 2
7、在 B中有两个元素 5 和 6 与之对应, 故不是 A 到 B 的函数. 综上可知,对应关系(1)是从 A 到 B 的函数,故选 A. 答案 A 2.若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“孪生函数”,例如解析式为 y=2x2+1,值域为9的“孪生函数”有三个: y=2x2+1,x-2;y=2x2+1,x2;y=2x2+1,x-2,2. 那么函数解析式为 y=2x2+1,值域为1,5的“孪生函数”共有( ) A.5个B.4 个 C.3个D.2个 解析 y=2x2+1,值域为1,5的孪生函数,分别为:y=2x2+1,x0,;y=2x2+1,x0,-; 22 y=2x2+
8、1,x0,-共 3 个,故选 C. 22 答案 C 3.若 f(x)=,且 f(a)=2,则 a= . 5 2+ 1 解析由 f(a)=2,得 2a2-5a+2=0, 5 2+ 1 解得 a= 或 a=2. 1 2 答案 或 2 1 2 4.已知函数 y=f(2x+1)的定义域为1,2,则函数 y=f(2x-1)的定义域为 . 解析因为函数 y=f(2x+1)的定义域为1,2, 即 1x2,所以 32x+15. 所以函数 y=f(x)的定义域为3,5. 由 32x-15,得 2x3, 所以函数 y=f(2x-1)的定义域为2,3. 答案2,3 5.(1)y=的值域为 . 2 + 1 - 3 (
9、2)y=2x-的值域为 . - 1 解析(1)(分离常数法)y=2+,显然0,故 y2. 2 + 1 - 3 = 2( - 3) + 7 - 3 7 - 3 7 - 3 故函数的值域为(-,2)(2,+). (2)(换元法)令 t=,则 x=t2+1,且 t0, - 1 y=2(t2+1)-t=2. ( - 1 4) 2 + 15 8 由 t0,再结合函数的图象(如图所示),可得函数的值域为. 15 8 , + ) 答案(1)(-,2)(2,+) (2) 15 8 , + ) 6.已知函数 f(x)=x2-2x,x0,b,且该函数的值域为-1,3,求 b 的值. 解作出函数 f(x)=x2-2
10、x(x0)的图象如图所示. 由图象结合值域-1,3可知,区间右端点 b 必为函数最大值 3 的对应点的横坐标.所以 f(b)=3,即 b2-2b=3,解得 b=-1 或 b=3.又-10,b,所以 b=3. 7.已知函数 f(x)=. 2 2+ 1 (1)求 f(1),f(2)+f的值; ( 1 2) (2)证明:f(x)+f等于定值; ( 1 ) (3)求 f(1)+f(2)+f(3)+f(2 019)+f+f+f的值. ( 1 2) ( 1 3) ( 1 2 019) (1)解 f(1)=; 12 12+ 1 = 1 2 f(2)=,f, 22 22+ 1 = 4 5 ( 1 2) = (
11、 1 2) 2 ( 1 2) 2 + 1 = 1 5 所以 f(2)+f=1. ( 1 2) = 4 5 + 1 5 (2)证明 f, ( 1 ) = ( 1 ) 2 ( 1 ) 2 + 1 = 1 2+ 1 所以 f(x)+f=1,为定值. ( 1 ) = 2 2+ 1 + 1 2+ 1 (3)解由(2)知,f(x)+f=1. ( 1 ) 所以 f(1)+f(2)+f(3)+f(2 019)+f+f+f ( 1 2) ( 1 3) ( 1 2 019) =f(1)+ f(2)+f+ f(3)+f+ f(2 019)+f=. ( 1 2) ( 1 3) ( 1 2 019) 1 2 + 1 + 1 + + 1 2 018 = 4 037 2 8.若函数 f(x)=的定义域为 R,求 m 的取值范围. 3 x - 1 m2+ mx + 3 解要使原函数有意义,必须 mx2+mx+30. 由于函数的定义域是 R,故 mx2+mx+30 对一切实数 x 恒成立. 当 m=0时,30恒成立,故 m=0 满足条件; 当 m0时,有 =m2-12m0,解得 0m12. 故由可知 m 的取值范围是0,12).