《2019-2020学年高一数学人教A版必修1练习：3.2.2 函数模型的应用实例 Word版含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019-2020学年高一数学人教A版必修1练习：3.2.2 函数模型的应用实例 Word版含解析.pdf（12页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、3.2.2 函数模型的应用实例函数模型的应用实例 课后篇课后篇巩固提升 基础巩固 1.甲、乙两人在一次赛跑中,路程 s 与时间 t 的函数关系如图所示,则下列说法正确的是( ) A.甲比乙先出发 B.乙比甲跑的路程多 C.甲、乙两人的速度相同 D.甲先到达终点 解析由题图知甲所用时间短,甲先到达终点. 答案 D 2.下列函数中,随着 x的增长,函数值增长最快的是( ) A.y=50B.y=1 000x C.y=0.42x-1D.y=ln x 1 1 000 解析画出函数图象(图略),观察可知指数函数模型的函数值增长最快. 答案 C 3.用长度为 24 m的材料围成一个矩形场地,并且中间加两道隔
2、墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长度 为( ) A.3 mB.4 mC.5 mD.6 m 解析设隔墙长为 x m,则矩形场地长为=(12-2x)m.所以矩形面积为 S=x(12-2x)=-2x2+12x=-2(x- 24 - 4 2 3)2+18,即当 x=3 m时,矩形面积最大. 答案 A 4.某商品价格前两年每年递增 20%,后两年每年递减 20%,则四年后的价格与原来价格相比,变化情况 是( ) A.升高 7.84%B.降低 7.84% C.降低 9.5%D.不增不减 解析设该商品原价为 a,四年后的价格为 a(1+0.2)2(1-0.2)2=0.921 6a. (1-0.921 6)a
3、=0.078 4a=7.84%a, 即比原来降低 7.84%. 答案 B 5.某汽车在同一时间内速度 v(单位:km/h)与耗油量 Q(单位:L)之间有近似的函数关系 Q=0.002 5v2- 0.175v+4.27,则车速为 km/h 时,汽车的耗油量最少. 解析 Q=0.002 5v2-0.175v+4.27 =0.002 5(v2-70v)+4.27 =0.002 5(v-35)2-352+4.27 =0.002 5(v-35)2+1.207 5. 故 v=35 km/h 时,耗油量最少. 答案 35 6.一个驾驶员喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到 0.3 mg/mL,在停止喝酒
4、后,血液中的酒精 含量以每小时 25%的速度减少,为了保障交通安全,根据有关规定:驾驶员血液中的酒精含量不得超过 0.2 mg/mL,那么这个驾驶员至少要经过 小时才能开车(结果精确到 1 小时,参考数据 lg 20.30,lg 30.48). 解析设经过 n 小时后才能开车, 此时酒精含量为 0.3(1-25%)n. 根据题意,有 0.3(1-25%)n0.2, 则有 nlg =n(lg 3-2lg 2)lg =lg 2-lg 3, 3 4 2 3 将已知数据代入,得 n(0.48-0.60)0.30-0.48, n ,故至少要经过 2小时才能开车. 3 2 答案 2 7.一个水池有 2 个
5、进水口,1个出水口.2 个进水口的进水速度分别如图甲、乙所示,出水口的排水速度 如图丙所示.某天 0 时到 6时,该水池的蓄水量如图丁所示. 给出以下 3个论断:0 时到 3 时只进水不出水;3 时到 4 时不进水只出水;4 时到 6 时不进水不出 水.其中,一定正确的论断序号是 . 解析从 0时到 3时,2个进水口的进水量为 9,故正确;由排水速度知正确;4 时到 6 时可以是不进 水,不出水,也可以是开 1 个进水口(速度快的)、1 个排水口,故不正确. 答案 8.在固定压力差(压力差为常数)下,当气体通过圆形管道时,其流量速率 R 与管道半径 r 的四次方成正 比. (1)写出函数解析式
6、; (2)假设气体在半径为 3 cm的管道中的流量速率为 400 cm3/s,求该气体通过半径为 r cm 的管道时,其 流量速率 R 的解析式; (3)已知(2)中的气体通过的管道半径为 5 cm,计算该气体的流量速率. 解(1)由题意,得 R=kr4(k是大于 0 的常数). (2)由 r=3 cm,R=400 cm3/s,得 k34=400, 解得 k=,所以函数解析式为 R=r4. 400 81 400 81 (3)因为 R=r4, 400 81 所以当 r=5 cm时,R=543 086(cm3/s), 400 81 即该气体的流量速率约为 3 086 cm3/s. 9.如图所示,已
7、知边长为 8 m的正方形钢板有一个角被锈蚀,其中 AE=4 m,CD=6 m.为了合理利用这 块钢板,将在五边形 ABCDE 内截取一个矩形块 BNPM,使点 P 在边 DE 上. (1)设 MP=x m,PN=y m,将 y表示成 x 的函数,求该函数的解析式及定义域; (2)求矩形 BNPM面积的最大值. 解(1)如图所示,延长 NP交 AF 于点 Q, 则 PQ=8-y,EQ=x-4. 在EDF中, = . - 4 8 - = 4 2 y=- x+10,定义域为4,8. 1 2 (2)设矩形 BNPM的面积为 S, 则 S=xy=x=- (x-10)2+50. ( 10 - 2) 1 2
8、 又 x4,8,所以当 x=8时,S取最大值 48. 所以当 MP=8 m时,矩形 BNPM 的面积取得最大值,且为 48 m2. 10.为减轻手术给病人带来的痛苦,麻醉师要给病人注射一定量的麻醉剂,某医院决定在某小型手术中 为病人采用一种新型的麻醉剂,已知这种麻醉剂释放过程中血液中的含量 y(毫克)与时间 t(小时)成正 比,麻醉剂释放完毕后,y与 t 的函数解析式为 y=(a 为常数),如图所示. ( 1 8) - (1)试求从麻醉剂释放开始,血液中的麻醉剂含量 y(毫克)与时间 t(小时)之间的解析式; (2)根据麻醉师的统计,当人体内血液中每升的麻醉剂含量降低到 0.125 毫克以下时
9、,病人才能清醒过 来,那么实施麻醉开始,至少需要经过多长时间,病人才能清醒过来? 解(1)根据题中所述,由题图可知,血液中麻醉剂的含量 y(毫克)是关于时间 t(小时)的一个分段函数: 当 0t0.1时,函数的图象是一条经过 O(0,0)的线段,设其方程为 y=kt(k 为待定系数), 又因为 A(0.1,1)是这条线段的一个端点,代入点 A 的坐标得 k=10, 所以当 0t0.1时,y=10t. 当 t0.1 时,函数解析式为 y=, ( 1 8) - 而 A(0.1,1)在这段函数图象上,代入得:1=,所以有 0.1-a=0,解得 a=0.1. ( 1 8) 0.1 - 故当 t0.1
10、时,y=. ( 1 8) - 0.1 综上,血液中麻醉剂的含量 y(毫克)与时间 t(小时)之间的解析式为 y= 10,0 0.1, ( 1 8) - 0.1 , 0.1. (2)要使手术后的病人能清醒过来,需要麻醉剂含量降低到 0.125 毫克以下,此时 t0.1,且 y 0.125= . 1 8 当 t0.1 时,由,得 t-0.11, ( 1 8) - 0.1 1 8 解得 t1.1. 所以至少需要经过 1.1 小时后病人才能清醒. 能力提升 1.某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖,引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物,已知该动物的繁殖数 量 y(单位:只)与引入时间 x(单位:年)的关系为
11、y=alog2(x+1),若该动物在引入一年后的数量为 100 只, 则第 7年它们发展到( ) A.300只B.400 只C.600只D.700 只 解析将 x=1,y=100 代入 y=alog2(x+1)得,100=alog2(1+1),解得 a=100,所以当 x=7 时,y=100log2(7+1)=300. 答案 A 2.某工厂生产某产品 x吨所需费用为 P 元,而卖出 x吨的价格为每吨 Q 元,已知 P=1 000+5x+ 1 10 x2,Q=a+ ,若生产出的产品能全部卖出,且当产量为 150 吨时利润最大,此时每吨的价格为 40 元,则有 ( ) A.a=45,b=-30B.
12、a=30,b=-45 C.a=-30,b=45D.a=-45,b=-30 解析设生产 x吨产品全部卖出所获利润为 y 元,则 y=xQ-P=x( + ) (1 000 + 5 + 1 10 2) =x2+(a-5)x-1 000,其中 x(0,+). ( 1 - 1 10) 由题意知当 x=150时,y取最大值,此时 Q=40. 整理得 - - 5 2(1 - 1 10) = 150, + 150 = 40, = 35 - 300 , = 40 - 150 , 解得 = 45, = - 30. 答案 A 3. 如图,点 P 在边长为 1 的正方形边上运动,设 M 是 CD 的中点,则当 P 沿
13、 A-B-C-M 运动时,点 P经过的 路程 x与APM的面积 y之间的函数 y=f(x)的图象大致是( ) 解析依题意,当 00,a1)与 y=p+q(p0)可供选择. 1 2 (1)试判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的解析式; (2)求凤眼莲覆盖面积是元旦放入面积 10 倍以上的最小月份.(参考数据:lg 20.301 0,lg 30.477 1) 分析(1)先判断两个函数 y=kax(k0,a1),y=p+q(p0)在(0,+)上的单调性,说明函数模型 1 2 y=kax(k0,a1)适合要求,然后列出方程组,求解析式. (2)利用 x=0 时,y= 0= ,即元旦放入凤眼莲的面积是
14、 m2,列出不等式转化求解. 32 3 3 2 32 3 32 3 解(1)两个函数 y=kax(k0,a1),y=p+q(p0)在(0,+)上都是增函数,随着 x 的增加,函数 1 2 y=kax(k0,a1)的值增加的越来越快,而函数 y=p+q(p0)的值增加的越来越慢. 1 2 由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快, 所以函数模型 y=kax(k0,a1)适合要求. 由题意可知,x=2时,y=24;x=3 时,y=36, 所以解得 2= 24, 3= 36, = 32 3 , = 3 2, 所以该函数模型的解析式是 y= x(xN*). 32 3 3 2 (2)x=0时,y= 0= , 32 3 3 2 32 3 所以元旦放入凤眼莲的面积是 m2. 32 3 由 x10 ,得 x10, 32 3 3 2 32 3 3 2 所以 xlo10=.g3 2 lg10 lg 3 2 = 1 lg3 - lg2 因为5.7, 1 lg3 - lg2 1 0.477 1 - 0.301 0 所以 x6, 所以凤眼莲覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积 10 倍以上的最小月份是 6 月份.