《2019届高三数学备考冲刺140分问题01数集与点集的运算含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019届高三数学备考冲刺140分问题01数集与点集的运算含解析.pdf（14页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、问题 01 数集与点集的运算问题 01 数集与点集的运算 一、考情分析 集合是高考数学必考内容,一般作为容易题.给定集合来判定 集合间的关系、集合的交、并、补运算是考查 的主要形式,常与函数的定义域、值域、不等式(方程)的解集相结合,在知识交汇处命题,以选择题为主,多 出现在试卷的前 3 题中 二、经验分享 (1)用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明白集合的类型,是数 集、点集还是其他类型的集合；如下面几个集合请注意其区别： 2 20x xx； 2 2x yxx； 2 2y yxx； 2 ,2x yyxx. (2)二 元 方 程 的 解 集 可 以 用 点
2、 集 形 式 表 示 ,如 二 元 方 程2xy 的 整 数 解 集 可 表 示 为 1,2 , 2,1 ,1, 2 ,2, 1 . (3)集合中元素的互异性常常容易忽略,求解问题时要特别注意分类讨论的思想方法常用于解决集合问题 (4)空集是任何集合的子集,在涉及集合关系时,必须优先考虑空集的情况,否则会造成漏解(2)已知两个集 合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系. (5)一般来讲,集合中的元素若是离散的,则用 Venn 图表示；集合中的元素若是连续的实数,则用数轴表示, 此时要注意端点的情况 (6)解决以集合为背景的新定义问题,要抓住两点
3、：紧扣新定义首先分析新定义的特点,把新定义所叙述 的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题难点的关键所在； 用好集合的性质解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的运算与 性质 三、知识拓展 1若有限集A中有n个元素,则集合A的子集个数为 2n,真子集的个数为 2n1. 2ABABAABB UU ABABU . 3奇数集： 21,21,41.x xnnx xnnx xnnZZZ. 4. 数集运算的封闭性,高考多次考查,基础知识如下:若从某个非空数集中任选两个元素(同一元素可重复选 出),选出的这两个元素通过某种(或几种)运算后的
4、得数仍是该数集中的元素,那么,就说该集合对于这种(或 几种)运算是封闭的.自然数集 N 对加法运算是封闭的;整数集 Z 对加、减、乘法运算是封闭的.有理数集、 复数集对四则运算是封闭的.对加、减、乘运算封闭的数集叫数环,有限数集0就是一个数环,叫零环.设 F 是由一些数所构成的集合,其中包含 0 和 1,如果对 F 中的任意两个数的和、差、积、商(除数不为 0),仍是 F 中的数,即运算封闭,则称 F 为数域. 四、题型分析四、题型分析 (一)与数集有关的基本运算(一)与数集有关的基本运算 【例 1】 【2018 年理新课标 I 卷】已知集合，则 A. B. C. D. 【分析】首先利用一元二
5、次不等式的解法，求出的解集，从而求得集合 A，之后根据集合补集 中元素的特征，求得结果. 【点评】对于集合的运算,一般先把参与运算的集合化简,解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集 的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果，要注意端点值的取舍 【小试牛刀】 【2017 全国 1 理 1】已知集合1Ax x, 31 x Bx,则（ ）. A. 0ABx x B. AB R C. 1ABx x D. AB 【答案】A 【解析】 1Ax x ,310 x Bxx x,所以0ABx x,1ABx x. 故选 A. (二)与点集有关的基本运算(二)与点集有关的基本运算 【例 2】已知 3 ( , )
6、|3 ,( , )|20, 2 y Mx yNx yaxyaMN x ,则a（ ） A2 B6 C2 D一 2 或6 【分析】首先分析集合M是除去点(2,3)的直线33yx,集合N表示过定点( 1,0)的直线, MN 等价于两条直线平行或者直线20axya过(2,3),进而列方程求a的值 【解析】由 3 333(2) 2 y yxx x 若MN,则：点(2,3)在直线20axya上,即 2602aaa ；：直线33yx与直线20axya平行,36 2 a a , 2a 或6. 【点评】分析集合元素的构成,将集合运算的结果翻译到两条直线的位置关系是解题关键 【小试牛刀】 【2018 年理数全国卷
7、 II】已知集合，则 中元素的 个数为 A. 9 B. 8 C. 5 D. 4 【答案】A 【解析】，当时，；当时，； 当时，；所以共有 9 个，选 A. (三)根据数集、点集满足条件确定参数范围 (三)根据数集、点集满足条件确定参数范围 【例 3】 设常数aR R,集合Ax|(x1)(xa)0,Bx|xa1,若ABR R,则a的取值范围为( ) A(,2) B(,2 C(2,) D2,) 【分析】先得到A(,1a,),Ba1,),再根据区间端点的关系求参数范围. 【点评】求解本题的关键是对a进行讨论. 【小试牛刀】已知Px|20 且a1）的图象与函数y=x的图象有公共点, 所以方程组： xy
8、 ay x 有解,消去y得ax=x, 显然x=0 不是方程的ax=x解,所以存在非零常数T,使aT=T 于是对于f （x）=ax ,有 f （xT）=ax+T = aTax=Tax =T f （x）,故f （x）=axM 【点评】集合与其他知识的交汇处理办法往往有两种：其一是根据函数、方程、不等式所赋予的实数的取 值范围,进而利用集合的知识处理；其二是由集合的运算性质,得到具有某种性质的曲线的位置关系,进而转 化为几何问题处理 【小试牛刀】在直角坐标系xoy中,全集,| ),(RyxyxU,集合 20 , 1sin)4(cos| ),(yxyxA,已知集合A的补集ACU所对应区域的对称中心为M
9、, 点P是线段)0, 0(8yxyx上的动点,点Q是x轴上的动点,则MPQ周长的最小值为（ ） A24 B104 C14 D248 【答案】B (五)与数集、点集有关的信息迁移题(五)与数集、点集有关的信息迁移题 【例 5】若集合A具有以下性质： ()0A,1A； ()若xA,yA,则xyA,且x0 时, A. 1 x 则称集合A是“好集” 下列命题正确的个数是( ) (1)集合B1,0,1是“好集” ； (2)有理数集 Q Q 是“好集” ； (3)设集合A是“好集”,若xA,yA,则xyA. A0 B1 C2 D3 【分析】抓住新定义的特点,根据“好集”满足的两个性质,逐个进行验证 【解析
10、】选 C,(1)集合B不是“好集”,假设集合B是“好集”,因为1B,1B,所以112B,这 与2B矛盾 (2)有理数集 Q Q 是 “好集”,因为 0Q,Q,1Q Q,对任意的xQ Q,yQ Q,有xyQ Q,且x0 时, Q Q, 1 x 所以有理数集 Q Q 是“好集” (3)因为集合A是“好集”,所以 0A,若xA,yA,则 0yA,即yA,所 以x(y)A,即xyA. 【点评】紧扣新定义,抓住新定义的特点,把新定义叙述的问题的本质搞清楚,并能够应用到具体的解题过程 中 【小试牛刀】 【2017 浙江温州高三模拟】已知集合 22 ( , )|1Mx yxy,若实数,满足：对任意的 ( ,
11、 )x yM,都有(,)xyM,则称( ,) 是集合M的“和谐实数对”,则以下集合中,存在“和谐实数 对”的是（ ） A( ,)|4 B 22 ( , )|4 C 2 ( , )|44 D 22 ( , )|4 【答案】C. 【解析】分析题意可知,所有满足题意的有序实数对( ,) 所构成的集合为( ,)| 11, 11 , 将其看作点的集合,为中心在原点,( 1,1),( 1, 1) ,(1, 1),(1,1)为顶点的正方形及其内部,A,B,D 选项分 别表示直线,圆,双曲线,与该正方形及其内部无公共点,选项 C 为抛物线,有公共点(0, 1),故选 C. 五、迁移运用五、迁移运用 1 【安徽
12、省宿州市 2018 届第三次质检】已知全集，集合，集合， 则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 2 【四川省成都市 2018 届模拟】设，则是的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由得或，作出函数和，以及的图象，如图所示，则由图象可知 当时，当时，因为，所以 “”是“” 的充分不必要条件，故选 A. 点睛：本题主要考查了充分条件和必要条件的判定问题，其中正确作出相应函数的图象，利用数形结合法 求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想方法的应用，以及推理与论证能力. 3 【辽宁省葫芦岛市 2018
13、届第二次模拟】 设集合， 则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】， 的子集个数为 故选 C. 4 【河南省洛阳市 2018 届三模】设集合，则的子集个数为 （ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 【答案】C 5 【安徽省皖江八校 2018 届联考】设集合,若,则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】，即， ，故选 B. 6 【山东省济南 2018 届二模】 设全集,集合,集合则下图中阴影 部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由题意可得：， 故选：D 7 【安徽省江南十校 2018 届二模理】已知全集为 ，集合，则 （
14、 ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为， ，所以，即 8【2018 届四川成都高三上学期一诊模拟】 已知集合 2 |, |320,Ax xaBx xx若,ABB 则实数a的取值范围是（） A. 1a B. 1a C. 2a D. 2a 【答案】D 【解析】集合 2 |,|320|12Ax xaBx xxxx, ,ABBBA,则2a , 故选 D. 9 【2018 届安徽蒙城高三上学期“五校”联考】已知集合0,1 ,1,0,3ABa ,若AB,则a的值 为（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 因为0,1 ,1,0,3ABa ,且AB, 所以31a,
15、所以2a ,故选 A. 10 【2018 届湖南省五市十校教研教改共同体高三 12 月联考】已知集合 2 20Mx xx, 1Nx yx,则MN（ ） A. 1x x B. 12xx C. 12xx D. 0x x 【答案】A 【解析】 | 12,1,1,2MxxNMN ,选 A. 11.已知集合， 则的元素个数为 （ ） A B C D 【答案】B 12 设集合， ， 记， 则点集 所表示的轨迹长度为（ ） A B C D 【答案】D 【解析】由题意的圆心为，半径为 1， 而圆心（-3sin，-3cos） ，满足（-3sin）2+（-3cos）2=9， 故圆心在以（0，0）圆心，半径为 3
16、的圆上， 集合 A 对应的几何图形为圆 x2+y2=4 和 x2+y2=16 之间的圆环区域， 13.【2017 全国 2 理 2】设集合1,2,4A, 2 40Bx xxm.若1AB ,则B （）. A1, 3 B1,0 C1,3 D1,5 【答案】C 【解析】由题意知1x 是方程 2 40xxm的解,代入解得 3m ,所以 2 430xx的解为 1x 或3x , 从而 13B ， .故选 C. 14若集合 2 |870 ,| 3 x MxN xxPxN ,则MP等于（ ） A.3,6 B.4,5 C.2,4,5 D.2,4,5,7 【答案】C 【 解 析 】 因 为 2 |870|17 =
17、 2,3,4,5,6 ,| 3 x MxN xxxNxPxN ,所 以 2,4,5MP ,故选 C. 15已知集合BAxyxA,1,则集合 B 不可能是（ ） A 1 24 xx x B1),( xyyx C1 xy D) 12(log 2 2 xxyy 【答案】D 【解析】11xxxyxA,1) 12(log 2 2 yyxxyy,故选 D. 16.已知集合 M 是由具有如下性质的函数( )f x组成的集合：对于函数( )f x,在定义域内存在两个变量 12 ,x x 且 12 xx时有 1212 ()()f xf xxx则下列函数( )(0) x f xex； ln ( ) x f x x
18、 ； ( )f xx； ( )1sinf xx 在集合 M 中的个数是 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【答案】B 对于 1 ( ),( )0 2 f xx fx x ,函数( )f x在(0,)单调递增,在定义域内存在两个变量 12 ,x x且 12 xx时,在( )f x单调增区间时有0( )1fx,此时只须1x 时可得0( )1fx.满足题意 对于( )1 sin ,( )cosf xxfxx ,函数( )f x在 3 (2,2)() 22 kkkZ 单调递减,在定义域内 存在两个变量 12 ,x x且 12 xx时,在( )f x单调减区间时有( )0fx,满足题意. 17设
19、n a是公比为q的等比数列,| 1q ,令1(1,2,) nn ban,若数列 n b有连续四项在集合 53, 23,19,37,82中,则q （ ） A 3 2 B 4 3 C 2 3 D 3 2 【答案】A 18.已知集合A(x,y)|x2y21,x,yZ Z,B(x,y)|x|2,|y|2,x,yZ Z,定义集合AB(x1 x2,y1y2)|(x1,y1)A,(x2,y2)B,则AB中元素的个数为( ) A77 B49 C45 D30 【答案】C 【解析】如图,集合A表示如图所示的所有圆点“ ”,集合B表示如图所示的所有圆点“ ”所有圆点“ ”, 集合AB显然是集合(x,y)|x|3,|
20、y|3,x,yZ Z中除去四个点(3,3),(3,3),(3,3),(3,3) 之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点),即集合AB表示如图所示的所有圆点 “ ” 所有圆点 “ ”所有圆点“ ”,共 45 个故AB中元素的个数为 45.故选 C. 19.非空集合G关于运算满足：（1）对任意a,Gb,都有Gab ；（2）存在Ge,使得对一切 Ga,都 有aeeaa,则 称G关 于 运 算为 “融 洽 集 ” 现 给 出 下 列 集 合 和 运 算 ： G 非负整数,为整数的加法；G 偶数,为整数的乘法；G 平面向量,为平面向 量的加法；G 二次三项式,为多项式的加法；G 虚数,为复数的乘法
21、其中G关于运 算为“融洽集”的是（ ） A B C D 【答案】B 20若集合, , ,|04,04,04, , ,Ep q r spsqsrsp q r sN且, , , ,|04,04, , ,Ft u v wtuvwt u v wN 且,用card X表示集合X中的元素个数,则 card Ecard F（ ） A50 B100 C150 D200 【答案】D 【解析】 3333 123410 10200card Ecard F,故选 D. 21 【2018 届江苏省南京市多校高三上学期第一次段考】已知集合1,2,21Am ,集合 2 2,Bm,若 BA,则实数m _ 【答案】1 【解析】
22、由题意得 2 211mmm ,验证满足 22.设P是一个数集,且至少含有两个数,若对任意a、bP,都有ab、ab、ab、 a P b （除数 0b ）,则称P是一个数域,例如有理数集Q是数域,有下列命题： 数域必含有 0,1 两个数；整数集是数域；若有理数集QM,则数集M必为数域；数域必为无限 集其中正确的命题的序号是 【答案】 【解析】 当ab时,0,1 a abP b ,故可知正确 ； 当 1 1,2, 2 abZ不满足条件,故可知不正确 ； 对当M中多一个元素i则会出现1 iM 所以它也不是一个数域；故可知不正确；根据数据的性质易 得数域有无限多个元素,必为无限集,故可知正确,故答案为. 【点评】本题考查简单的合情推理、新定义问题以及转化与划归思想,属于难题.新定义题型的特点是：通 过给出一个新概念,或约定一种新运算,或给出几个新模型来创设全新的问题情景,要求考生在阅读理解的 基础上,依据题目提供的信息,联系所学的知识和方法,实现信息的迁移,达到灵活解题的目的.遇到新定义 问题,应耐心读题,分析新定义的特点,弄清新定义的性质,按新定义的要求,“照章办事”,逐条分析、验证、 运算,使问题得以解决.本题的解答都围绕新概念“数域” 对任意a、bP,都有ab、ab、ab、这 一性质展开的.