2019届高三数学备考冲刺140分问题04函数中的存在性与恒成立问题（含解析）.pdf

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1、问题 04 函数中的存在性与恒成立问题问题 04 函数中的存在性与恒成立问题 一、考情分析一、考情分析 函数内容作为高中数学知识体系的核心,也是历年高考的一个热点.在新课标下的高考越来越注重对学生的 综合素质的考察,恒成立与存在性问题便是一个考察学生综合素质的很好途径,它主要涉及到一次函数、二 次函数、三角函数、指数函数和对数函数等常见函数的图象和性质及不等式等知识,渗透着换元、化归、数 形结合、函数与方程等思想方法,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用,故备受高考命题 者的青睐,成为高考能力型试题的首选. 二、经验分享二、经验分享 (1) 设)0()( 2 acbxaxxf,（

2、1）Rxxf 在0)(上 恒 成 立00且a； （ 2） Rxxf 在0)(上恒成立00且a. (2) 对于一次函数,)(nmxbkxxf有： 0)( 0)( 0)(, 0)( 0)( 0)( nf mf xf nf mf xf恒成立恒成立 (3)根据方程有解求参数范围,若参数能够分离出来,可把求参数范围转化为求函数值域 (4) 利用分离参数法来确定不等式,0f x,（ Dx,为实参数）恒成立中参数的取值范围的基本 步骤: 将参数与变量分离,即化为 gf x（或 gf x）恒成立的形式； 求 f x在xD上的最大（或最小）值； 解不等式 max ( )gf x(或 mingf x) ,得的取值

3、范围. (5) 对于参数不能单独放在一侧的,可以利用函数图象来解.利用数形结合解决恒成立问题,应先构造函数, 作出符合已知条件的图形,再考虑在给定区间上函数与函数图象之间的关系,得出答案或列出条件,求出 参数的范围. (6) 某些含参不等式恒成立问题,在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量,但函数 的最值却难以求出时,可考虑变换思维角度.即把主元与参数换个位置,再结合其它知识,往往会取得出奇制 胜的效果. 三、知识拓展三、知识拓展 (1)恒成立问题 . xD,均有f(x)A恒成立,则f(x)minA； . xD,均有f(x)A恒成立,则 f(x)maxg(x)恒成立,则F(x

4、)= f(x)- g(x) 0, F(x)min 0； . xD,均有f(x)g(x)恒成立,则F(x)= f(x)- g(x) g(x2)恒成立,则f(x)min g(x)max； . x1D, x2E,均有f(x1) A成立,则f(x) max A； . x0D,使得f(x0)A成立,则 f(x) min g(x0)成立,设F(x)= f(x)- g(x), F(x) max 0； . x0D,使得f(x0) g(x2)成立,则f(x) max g(x) min； . x1D, x2E,均使得f(x1) g(x2)成立,则f(x)min g(x) min； x1D, x2E, 使得f(x1

5、) x310 中x21,4,所以可以进行参数分离,而无需要分类讨论 【牛刀小试】 【2017 山西大学附中第二次模拟】设函数 21 x f xexaxa,其中1a ,若存在唯一 的整数t,使得 0f t ,则a的取值范围是（ ） A 3 ,1 2e B 33 , 24e C 33 , 24e D 3 ,1 2e 【答案】D 【解析】令 21 , x g xexh xaxa.由题意知存在唯一整数t,使得 g t在直线 h x的下方. 21 x gxex,当 1 2 x 时,函数单调递减,当 1 2 x ,函数单调递增,当 1 2 x 时,函数取得最小 值为 1 2 2e .当0x 时,(0)1g

6、 ,当1x 时,(1)0ge,直线 h xaxa过定点1,0,斜率为a, 故 0ag 且 1 13geaa ,解得 3 ,1 2 m e . (二)分离参数法(二)分离参数法 【例 2】已知函数( )lnf xaxxx的图象在点ex （e为自然对数的底数）处的切线的斜率为3 (1)求实数a的值； (2)若 2 ( )f xkx对任意0x 成立,求实数k的取值范围. 【分析】 （1）由( )ln1fxax结合条件函数( )lnf xaxxx的图象在点ex 处的切线的斜率为3, 可知(e)3f,可建立关于a的方程：lne 13a ,从而解得1a ；（2）要使 2 ( )f xkx对任意0x 恒成立

7、,只需 max 2 ( ) f x k x 即可,而由（1）可知( )lnf xxxx,问题即等价于求函数 1ln ( ) x g x x 的 最大值,可以通过导数研究函数( )g x的单调性,从而求得其最值： 22 1 (1 ln ) ln ( ) xx x x g x xx ,令 ( )0g x ,解得1x ,当01x时,( )0g x ,( )g x在(0,1)上是增函数；当1x 时,( )0g x , ( )g x在(1,)上是减函数,因此( )g x在1x 处取得最大值(1)1g,1k 即为所求. (2)由（1）知,( )lnf xxxx, 2 ( )f xkx对任意0x 成立 1l

8、n x k x 对任意0x 成立, 令 1ln ( ) x g x x ,则问题转化为求( )g x的最大值, 22 1 (1 ln ) ln ( ) xx x x g x xx ,令( )0g x ,解得1x , 当01x时,( )0g x ,( )g x在(0,1)上是增函数； 当1x 时,( )0g x ,( )g x在(1,)上是减函数 故( )g x在1x 处取得最大值(1)1g,1k 即为所求. 【点评】在函数存在性与恒成立问题中求含参数范围过程中,当其中的参数（或关于参数的代数式）能够与 其它变量完全分离出来并,且分离后不等式其中一边的函数（或代数式）的最值或范围可求时,常用分离

9、参 数法.此类问题可把要求的参变量分离出来,单独放在不等式的一侧,将另一侧看成新函数,于是将问题转化 成新函数的最值问题. 利用分离参数法来确定不等式,0fx,（,xD为实参数） 恒成立中参数的取值范围的基本步骤: (1)将参数与变量分离,即化为 gfx（或 gfx）恒成立的形式； (2)求 fx在xD上的最大（或最小）值； (3)解不等式 maxgfx (或 mingfx) ,得的取值范围. 【牛刀小试】 【2017 湖南省郴州市上学期第一次教学质量监测】已知函数( )logaf xx, ( )2log (22) a g xxt ,其中0a 且1a ,tR (1)若4t ,且 1 ,2 4

10、x时,( )( )( )F xg xf x的最小值是2,求实数a的值； (2)若01a,且 1 ,2 4 x时,有( )( )f xg x恒成立,求实数t的取值范围. 【答案】(1) 1 5 ；(2)2,). (2)( )( )f xg x恒成立,即log2log (22) aa xxt 恒成立, 1 loglog (22) 2 aa xxt . 又01a, 1 ,2 4 x,22xxt , 22txx 恒成立, max ( 22)txx . 令 2 1171 222()( ,2) 484 yxxxx , max 2y.故实数t的取值范围为2,). (三)主参换位法(三)主参换位法 【例 3】

11、 已知函数( )ln()( x f xea a为常数）是实数集R上的奇函数,函数 ( )sing xf xx 是区间 1,1 上的减函 数,(1)求a的值；(2)若 2 ( )11,1g xttx 在 上恒成立,求t的取值范围. 【分析】在第二小题所给条件中出现了两个字母：及t,那么解题的关键恰恰就在于该把其中哪个字母看 成是一个变量,另一个作为常数.而根据本题中的条件特征显然可将视作自变量,则上述问题即可转化为在 , 1 内关于的一次函数大于等于 0 恒成立的问题,问题即可求解. 【解析】(1)1a (2)由(1)知： ( )f xx , ( )sing xxx , ( )g x 在 11

12、，上单调递减, ( )cos0g xx cosx 在 1 1 ，上恒成立, 1 ，max ( )( 1)sin1g xg , 只需 2 sin11tt, 2 (1)sin1 10tt （其中1 ）恒成立, 由上述结论：可令 2 (1)sin1 10(1ftt ）, 则 2 t10 1sin1 10tt , 2 1 sin10 t tt ,而 2 sin10tt 恒成立,1t . 【点评】某些函数存在性与恒成立问题中,当分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量, 但函数的最值却难以求出时,可考虑变换思维角度.即把主元与参数换个位置,再结合其它知识,往往会取得 出奇制胜的效果.此类问

13、题的难点常常因为学生的思维定势,易把它看成关于的不等式讨论,从而因计算繁 琐出错或者中途夭折；若转换一下思路,把待求的 x 为参数,以为变量,构造新的关于参数的函数,再来求 解参数应满足的条件这样问题就轻而易举的得到解决了. 【牛刀小试】若不等式 2 211xm x 对任意1,1m 恒成立,求实数x的取值范围. 【答案】312x 【解析】 2 211xm x 可转化为 2 1210m xx ,设 2 1210f mm xx ,则 f m 是关于m的一次型函数,要使 0f m 恒成立,只需 2 2 120 1220 fxx fxx ,解得312x . (四)数形结合法 【例 4】已知函数 2 2

14、2f xxkx ,在1x 恒有 f xk ,求实数k的取值范围. 【分析】 为了使题中的条件 f xk 在 1,x 恒成立,应能想到构造出一个新的函数 F xf xk,则可 把原题转化成所构造新的函数在区间 1, 时恒大于等于0的问题,再利用二次函数的图象性质进行分类讨 论,即可使问题得到圆满解决. 【点评】如果题中所涉及的函数对应的图象、图形较易画出时,往往可通过图象、图形的位置关系建立不等 式从而求得参数范围. 解决此类问题经常要结合函数的图象,选择适当的两个函数,利用函数图像的上、 下位 置关系来确定参数的范围.利用数形结合解决不等式问题关键是构造函数,准确做出函数的图象.常见的有 两类

15、函数：若二次函数 2 0yaxbxc a 大于 0 恒成立,则有 0 0 a ,同理,若二次函数 2 0yaxbxc a 小 于 0 恒成立,则有 0 0 a .若是二次函数在指定区间上的恒成立问题,还可以利用韦达定理以及根与系数的分 布知识求解. 【牛刀小试】 【2017 河北省武邑上学期第三次调研考试】已知定义在R上的奇函数 f x满足:当0x 时, 3 f xx,若不等式 2 42ftfmmt对任意实数t恒成立,则实数m的取值范围是（ ） A ,2 B 2,0 C. ,02, D ,22, 【答案】A (五)存在性之常用模型及方法(五)存在性之常用模型及方法 【例 5】 设函数 2 1

16、ln 2 a f xaxxbx ,aR且1a .曲线 yf x在点 1,1f处的切线的斜率 为0. （1）求b的值； （2）若存在1,x,使得 1 a f x a ,求a的取值范围. 【分析】 （1）根据条件曲线 yf x在点 1,1f处的切线的斜率为0,可以将其转化为关于a,b的方程, 进而求得b的值： 1 a fxa xb x , 10 f 101aabb；（2）根据题意分析 可得若存在1,)x,使得不等式 1 a f x a 成立,只需 min ( ) 1 a f x a 即可,因此可通过探求( )f x的 单调性进而求得( )f x的最小值,进而得到关于a的不等式即可,而由（1）可知

17、2 1 ln 2 a f xaxxx , 则 11xa xa fx x ,因此需对a的取值范围进行分类讨论并判断( )f x的单调性,从而可以解 得a的取值范围是 21,211,. 【解析】 （1） 1 a fxa xb x , 由曲线 yf x在点 1,1f处的切线的斜率为0,得 10 f , 即10aab,1b ； 4 分（2）由（1）可得, 2 1 ln 2 a f xaxxx , 2 111 11 xa xaa xxa a fxa x xxx , 令 0fx,得 1 1x , 2 1 a x a ,而 21 1 11 aa aa , 当 1 2 a 时,1 1 a a , 在1,上,

18、0fx, f x为增函数, min 11 11 22 aa f xf , 令 1 21 aa a ,即 2 210aa ,解得2121a . 当 1 1 2 a时,1 1 a a , x1,1 a a 1a a , 1 a a fx 0 f x极小值 2 min ln 112 111 aaaaa f xfa aaaaa , 不合题意,无解,10 分 当1a 时,显然有( )0f x ,0 1 a a ,不等式( ) 1 a f x a 恒成立,符合题意, 综上,a的取值范围是 21,211,. 【点评】解决函数中存在性问题常见方法有两种：一是直接法同上面所讲恒成立；二是间接法,先求其否定 （

19、恒 成 立 ） ,再 求 其 否 定 补 集 即 可 解 决 .它 的 逻 辑 背 景 ： 原 命 题 为“,( )“xM P x 的 否 定 为 “,( )“xMP x ；原命题为“,( )“xM P x 的否定为“,( )“xMP x .处理的原则就是：不熟系问题 转化为熟悉问题. 【牛刀小试】已知)(xfxx 2 2 1 ,)(xgax ) 1ln(, (1)若存在2 , 0, 21 xx,使得)()( 21 xgxf,求实数a的取值范围； (2)若存在2 , 0, 21 xx,使得)()( 21 xgxf,求实数a的取值范围. 五、迁移运用五、迁移运用 1 【2018 届江西省上高县高

20、三上学期第四次月考】若不等式 2 30 x a xlog对任意 1 0, 3 x 恒成立,则实 数a的取值范围为（ ） A. 1 ,1 27 ） B. 1 ,1 27 C. 1 0, 27 D. 1 0, 27 【答案】A 【解析】构造函数 f（x）=3x2,g（x）=-logax, 1 0, 3 x 不等式 3x2-logax0 对任意 1 0, 3 x 恒成立, f（ 1 3 ）g（ 1 3） 3 1 9 - 1 3 a log00a1 且 a 1 27 实数 a 的取值范围为 1 1 27 ， ）,故选 A 2 【2018 届广西贵港市高三上学期 12 月联考】若不等式 2 1 313

21、ln1 ln3 3 xx a x 对任意的 ,1x 恒成立,则a的取值范围是（ ） A. 10 , 3 B. 10 , 3 C. 2, D. ,2 【答案】D 【解析】由题意结合对数的运算法则有： 2 1 3133 lnln 33 xx x a ,由对数函数的单调性有： 2 1 3133 33 xx x a ,整 理 可 得 ： 2 1 3 3 x x a ,由 恒 成 立 的 条 件 有 ： 2 min 1 3 3 x x a ,其 中 2 1 31 32 33 x x x x y ,当且仅当0x 时等号成立.即0x 时,函数 2 1 3 3 x x y 取得最小值2. 综上可得： 2a .

22、本题选择 D 选项. 3.【 2018 届 福 建 省 闽 侯 高 三 12 月 月 考 】 已 知 函 数 2 2 2 ,0 2 ,0 xx x f x xx x ,若 关 于的 不 等 式 2 0fxaf x 恰有 个整数解,则实数的最大值是（ ） A. B. C. 5 D. 【答案】D 4 【2018 届甘肃省高台高三上学期第五次模拟】已知函数 1 x f xx e ,若对任意xR, f xax恒 成立,则实数a的取值范围是（ ） A. ,1 e B. 1,1e C. 1,1e D. 1, e 【答案】B 【解析】函数 1 x f xx e ，对任意xR, f xax恒成立, 1 x x

23、ax e 恒成立,即 1 1 x ax e x 恒成立；设 1 ,1 x g xh xax e ,xR；在同一坐标系内画出两个函数的图象,如图所示； 则满足不等式恒成立的是h(x)的图象在g(x)图象下方,求 g x的导数 x gxe , 且过 g x图象上点 00 ,xy的切线方程为 0 00 x yyexx ,且该切线方程过原点(0,0), 则 0 00 x yex ,即 00 0 xx eex ,解得 0 1x ；切线斜率为 0 x kee ,应满足a1e, 即a1e；又a10,a1,实数a的取值范围是(1e,1.故选 B. 5 【2018 届广东省五校高三 12 月联考】已知函数 ln

24、224(0)f xxaxaa,若有且只有两个 整数 1 x, 2 x使得 1 0f x,且 2 0f x,则a的取值范围是（ ） A. ln3,2 B. 2ln3,2 C. 0,2ln3 D. 0,2ln3 【答案】C 【解析】 由 题 意 可 知 , 0f x ,即ln2240,0xaxaa, 22ln40axaxxa,设 2ln4,2g xxxh xaxa,由 121 2 x gx xx ,可知 2ln4g xxx,在 1 0, 2 上为 减函数,在 1 , 2 上为增函数, 2h xaxa的图象恒过点2,0,在同一坐标系中作出 ,g xh x的 图象如下：若有且只有两个整数 12 ,x

25、x,使得 1 0f x,且 2 0f x,则 0 11 33 a hg hg ,即 0 2 23 a a aln ,解得02ln3a,故选 C. 6 【2018 届陕西省西安高三上学期期中】已知函数 32 1 3 f xxa x,若对于任意的 12 ,0,1x x ,都有 12 1f xf x成立,则实数a的取值范围是（ ） A. 2 3 2 3 , 33 B. 2 3 2 3 , 33 C. 2 32 3 ,00, 33 D. 2 32 3 ,00, 33 【答案】A 7 【东北师范大学附属中学 2018 届高三第五次模拟】已知函数，当时， 不等式恒成立，则实数 的取值范围为 A B C D

26、 【答案】D 【解析】 不等式即， 结合可得恒成立，即恒成立， 构造函数，由题意可知函数在定义域内单调递增， 故恒成立，即恒成立， 令，则， 当时，单调递减；当时，单调递增； 则的最小值为， 据此可得实数 的取值范围为. 本题选择D选项. 8 【山东省实验中学 2019 届高三第一次诊断】已知对任意的，总存在唯一的，使得 成立（ 为自然对数的底数） ，则实数 的取值范围是( ) A B C D 【答案】D 【解析】 9【贵州省铜仁市第一中学 2019 届高三上学期第二次月考】 设函数， 其中， 若存在唯一的整数，使得，则 的取值范围是（ ） A B C D 【答案】B 【解析】令，则， 当时，

27、所以在上是单调减函数； 当时，所以在上是单调增函数； 所以的图像如图所示： 直线恒过点， 设过的直线与曲线相切于点且切线方程为： ，代入，故， 解得或者， 当时，所以当时，直线可与在 轴下方的图像相交 因为有且只有一个整数解，故曲线上的点在直线下方，在直线上方 或在直线上，故 即，故选 B 10【山东省安丘市、 诸城市、 五莲县、 兰山区 2019 届高三 10 月联考】 已知函数f(x)=x+1； f(x)=-2； f(x)= ；f(x)=lnx；f(x)=cosx。 其中对于 f(x)定义域内的任意，都存在，使得 f()f()=成立的函数是 A B C D 【答案】B 【解析】 由知， 对

28、函数f(x)图象上任意一点， 都存在一点， 使OA OB，若斜率都存在，则 对于，由于f(x)=x+1，所以无论两个点如何取，OA和OB的斜率均等于 1，故不成立； 对于，由于，结合图象可得过原点总有两条直线与函数的图象相交，即对函数f(x)图象上任 意一点 ，都存在一点 ，使OAOB，故成立； 对于，由于，若，则，显然不成立，故不成立； 对于，由于f(x)=lnx，则当时，故，直线OA为 x 轴，此时与直线OA垂直的直线为 y 轴， 而 y 轴与函数f(x)的图象无交点，故不成立； 对于，由于f(x)=cosx，结合图象可得过原点总有两条直线与函数的图象相交，即对函数f(x)图象上任 意一点

29、 ，都存在一点 ，使OAOB，故成立 综上可得符合条件的是 故选 B 11 【福建省莆田市第一中学 2019 届高三上学期第一次月考】已知函数，若存在 ，使得，则实数 的取值范围是（ ） A B C D 【答案】C 12 【福建省厦门外国语学校 2019 届高三上学期第一次月考】已知函数， 若对任意的，都有成立，则 的取值范围是( ) A B C D 【答案】B 【解析】由于，则，函数在上单调递减，在上 单调递增， 由于任意，恒成立，所以， 即时，恒成立，即在上恒成立， 所以在上恒成立， 令，则， 而，当时， 所以在单调递减， 由于，所以时，时，所以，即 13 【2018 届江苏南通市高三第二

30、次阶段测试】 若不等式2150 x enx在实数集 R 上恒成立,则正整数n 的最大值是_ 参考数据： 2 15 7 2 e 【答案】14n 【解析】 14 【2018 届河南省漯河高三上学期第四次模拟】已知 2 1 2 b f xxc x （b, c为常数）和 11 4 g xx x 是 定 义 在=|14Mxx上 的 函 数 ,对 于 任 意 的xM,存 在 0 xM使 得 0 f xf x, 0 g xg x,且 00 =f xg x,则 f x在M上的最大值为_. 【答案】5 【解析】 1111 21 44 g xxx xx ,(当且仅当 x=2 时,等号成立), 2221 2 b f

31、cg,1 2 b c , 22 11 1 222 bbb f xxcx xx , 3 22 bxb fxx xx ,f(x)在 x=2 处有最小值, 20f,即 b=8,故 c=5, 故 3 2 2 188 5, 2 x f xxfx xx ,故 f(x)在1,2上是减函数,在2,4上是增函数, 而 17 185,48255 22 ff ,故 f(x)的最大值为 5. 15.设函数f(x)axsinxcosx若函数f(x)的图象上存在不同的两点A,B,使得曲线yf(x)在点A,B 处的切线互相垂直,则实数a的取值范围为 【答案】 1 , 1 16.【2017 山西省孝义市高三上学期二轮模考】设

32、函数 2 ( )lnf xaxax, 1 ( ) x e g x xe ,其中aR, e2.718为自然对数的底数. （1）讨论( )f x的单调性； （2）证明：当1x 时,( )0g x ； （3）确定a的所有可能取值,使得( )( )f xg x在(1,)区间内恒成立. 【解析】 （1）由 2 ( )lnf xaxax,得 2 121 ( )2(0) ax fxaxx xx . 当0a 时,( )0fx 在(0,)成立,则( )f x为(0,)上的减函数； 当0a 时,由( )0fx ,得 12 22 a x aa , 当 2 (0,) 2 a x a 时,( )0fx ,当 2 (,)

33、 2 a x a 时,( )0fx . 则( )f x在 2 (0,) 2 a a 上为减函数,在 2 (,) 2 a a 上为增函数. 综上,当0a 时,( )f x为(0,)上的减函数；当0a 时,( )f x在 2 (0,) 2 a a 上为减函数,在 2 (,) 2 a a 上 为增函数. （3）由( )( )f xg x,得 21 1 ln0 x axaxe x . 设 21 1 ( )ln0 x t xaxaxe x ,由题意知,( )0t x 在(1,)内恒成立. (1)0t,有 11 22 111 ( )220 xx x t xaxeaxe xxx 在(1,)内恒成立. 令 1

34、 2 1 ( )2 x x xaxe x ,则 11 233 122 ( )22 xx x xaeae xxx , 当2x 时,( )0x, 令 3 2 ( ) x h x x , 4 26 ( ) x h x x ,函数在1,2)上单调递增. min ( )(1)1h xh . 又21a , 1 0 x e ,12x,( )0x. 综上所述,1x ,( )0x,( )x在区间(1,)单调递增, ( )(1)0t xt,即( )t x在区间(1,)单调递增, 1 2 a . 17.【2017 四川省资阳市高三上学期第一次诊断】已知函数( )()ln b f xa xbx x (其中abR，).

35、 () 当4b 时,若( )f x在其定义域内为单调函数,求a的取值范围； () 当1a 时,是否存在实数b,使得当 2 ee x，时,不等式( )0f x 恒成立,如果存在,求b的取值范 围,如果不存在,说明理由（其中e是自然对数的底数,e2.71828）. 【解析】() 由题0x , 4 ( )()4lnf xa xx x , 2 22 4444 ( )(1) axxa fxa xxx . 当0a 时,知 ( )0fx ,则 ( )f x是单调递减函数； 当0a 时,只有对于0x ,不等式 2 440axxa恒成立,才能使 f x为单调函数,只需 22 ( 4)160a ,解之得11aa

36、或,此时1a 综上所述,a的取值范围是( ,01,) () ( )ln b f xbxx x ,其中0x , 2 22 ( )1 bbxbxb fx xxx () 当0b 时, ( )0fx ,于是 ( )f x在(0)， 上为减函数,则在 2 ee ，上也为减函数, 知 max 1 ( )(e)e(1)e0 ee b f xfbb恒成立,不合题意,舍去 () 当0b 时,由( )0fx 得 2 4 2 bbb x 列表得 x(0, 2 4 2 bbb ) 2 4 2 bbb ( 2 4 2 bbb ,) ( )fx 0 ( )f x 极大值 若 2 4 e 2 bbb ,即 2 e e1 b

37、 ,则( )f x在 2 ee ，上单调递减, 知 max 1 ( )(e)e(1)e ee b f xfbb ,而 2 11e2e (1)e(1)e0 ee e1e1 b , 于是 max ( )0f x恒成立,不合题意,舍去若 2 4 e 2 bbb ,即 2 e e1 b , 则 ( )f x在(e, 2 4 2 bbb )上为增函数,在( 2 4 2 bbb ,)上为减函数, 要使在 2 ee ，恒有 ( )0f x 恒成立,则必有 2 (e)0 (e )0 f f ， ， 则 2 2 e0 e 2e0 e b b b b ， ， 所以 24 32 4 2 ee e1ee e . 2e

38、1 b b ， 由于 32232 ee(2e1)e3e10 ,则 244 322 eee e1ee2e1 , 所以 2 e e1 b 18. 【2017 湖北省襄阳市四校高三上学期期中联考】已知函数 2 1 ( )(1) 2 x f xxeax ()aR I 当1a 时,求( )f x的单调区间； II当(0,+ )x时,( )yfx 的图象恒在 32 (1)yaxxax的图象上方,求a的取值范围. (i) 当01a时,ln0a ,故： (,ln )xa 时,( )0fx,( )f x单调递增, (ln ,0)xa 时,( )0fx,( )f x单调递减, (0,)x时,( )0fx,( )f

39、 x单调递增； (ii) 当1a 时,ln0a , ( )(1) xx fxxeaxx e0恒成立, ( )f x在(,) 上单调递增,无减区间； 综上,当0a 时,( )f x的单调增区间是(0,),单调减区间是(,0)； 当01a时,( )f x的单调增区间是(,ln )a(0,)和,单调减区间是(ln ,0)a； 当1a 时,( )f x的单调增区间是(,) ,无减区间. II由 I知( ) x fxxeax 当(0,+ )x时,( )yfx的图象恒在 32 (1)yaxxax的图象上方, 即 32 (1) x xeaxaxxax对(0,+ )x恒成立 即 2 10 x eaxx 对(0

40、,+ )x恒成立 记 2 ( )1 x g xeaxx (0)x , ( )21 x g xeaxh x 2 x hxea (i) 当 1 2 a 时, 20 x hxea恒成立,( )g x在(0,)上单调递增, ( )(0)0g xg, ( )g x在(0,)上单调递增 ( )(0)0g xg,符合题意； (ii) 当 1 2 a 时,令 0hx 得ln(2 )xa (0,ln(2 )xa 时, 0hx ,( )g x在(0,ln(2 )a上单调递减 (0,ln(2 )xa时,( )(0)0g xg ( )g x在(0,ln(2 )a上单调递减, (0,ln(2 )xa时,( )(0)0g xg ,不符合题意 综上可得a的取值范围是 1 (, 2 . 19. 【2017 广东省惠州市第二次调研】已知函数( )lnf xx,( )()h xa x aR. （）函数( )f x的图象与( )h x的图象无公共点,求实数a的取值范围； （） 是否存在实数m,使得对任意的 1 ( ,) 2 x,都有函数( ) m yf x x 的图象在( ) x e g x x 的图象的下 方？