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1、问题 09 高考数学导数解答题大盘点问题 09 高考数学导数解答题大盘点 一、考情分析 导数解答题是高考必考问题，一般为压轴题，含有参数的函数单调性及极值的讨论.不等式的证明、根据零 点或恒成立等问题求参数范围、构造函数证明不等式。其中极值点偏移问题、隐零点问题是近几年的热点。 二、经验分享 (1) 用导数判断单调性 用导数判断函数的单调性时，首先应确定函数的定义域，然后在函数的定义域内，通过讨论导数的符号， 来判断函数的单调区间在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于 0 的点外，还要注意定义区 间内的间断点 （2） 已知单调性确定参数的值(范围)， 要分清 “在某区间单调” 与 “单
2、调增(减)区间是某区间” 的不同， “在 某区间不单调” ，一般是该区间含导数变号零点 （3）导数值为 0 的点不一定是函数的极值点，“函数在某点的导数值为 0”是“函数在该点取得极值”的 必要不充分条件 （4）极值与最值的区别 “极值”反映函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质；“最值”是个整体概念，是整个 区间上的最大值或最小值， 具有绝对性 从个数上看， 一个连续函数在闭区间内的最值一定存在且是唯一的， 而极值可以同时存在若干个或不存在，且极大(小)值并不一定比极小(大)值大(小)从位置上看，极值只 能在定义域内部取得，而最值却可以在区间的端点处取得；有极值未必有最值，有最值
3、未必有极值；极值 有可能成为最值，连续函数的最值只要不在端点处必定是极值 当a0，x(0，1)时，f(x)0，f(x)单调递增；x(1，)时，f(x)0，f(x)单调递减 0a2 时，1， 2 a 当x(0，1)或x时，f(x)0，f(x)单调递增；当x时，f(x)0，f(x)单调 ( 2 a，)(1， 2 a) 递减； 【点评】 (1)大多数高考试题中确定函数的单调性需要分类讨论， 讨论的标准是导数的零点在定义域内的分 布情况，根据导数的零点把定义域划分为若干区间，在各个区间上确定导数值的符号(2)研究函数单调性 时要注意函数的定义域，要从函数本身确定函数定义域，不要求导后从导数上确定函数的
4、定义域(3)利用 导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，当f(x)含参数时，需依据参数取值对不等式解集 的影响进行分类讨论分类讨论时，要做到不重不漏 【小试牛刀】 【湖北省宜昌市 2019 届高三年级元月调考】已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）若关于 的不等式在上恒成立，求实数 的取值范围. （2），即， 令， 则， 令，则. 若，当时，从而在上单调递增， 因为，故当时，即， 从而在上单调递增，因为， 故当时，恒成立，符合题意； 若，当时，恒成立，从而在上单调递减， 则，即时， 从而在上单调递减，此时，不符合题意； 若，由，得，当时，故在 上单调递减，则，即， 故在上单调
5、递减，故当时，不符合题意； 综上所述 ，实数 的取值范围为 (三)(三) 利用导数解决函数的最值问题利用导数解决函数的最值问题 【例 3】 【河北省保定市 2019 届高三上学期期末】已知函数，且函数的图像在点 处的切线与 轴垂直. （1）求函数的单调区间； （2）设函数在区间上的最小值为，试求的最小值. （2）因为所以由得 解得（舍去）或 由（1）知的减区间为，增区间为, 所以，若 即时， . 若即 1t3 时， ， 则， 1t3 时，0 ，在上为减函数，且， 令，得，所以的递增区间为， 同理，可得的递减区间为， 所以即， 故在单调递减. 1 -0+0- ， 当时， 当即时， 故有一个零点，
6、也有有一个零点. 综上可知，当时，无零点； 当时，有一个零点. (五)(五) 利用导数法证明不等式利用导数法证明不等式 【例 5】 【贵州省遵义市 2019 届高三年级第一次联考】设 为实数，函数。 ()求的单调区间与极值； ()求证：当且时，。 【解析】f（x）=ex2x+2a，xR， f（x）=ex2，xR 令 f（x）=0，得 x=ln2 于是当 x 变化时，f（x） ，f（x）的变化情况如下表： 故 f（x）的单调递减区间是（，ln2） ， 单调递增区间是（ln2，+） ， f（x）在 x=ln2 处取得极小值， 极小值为 f（ln2）=eln22ln2+2a=2（1ln2+a） ，无
7、极大值 【点评】用导数证明不等式问题的关键在于构造函数；由作差或者作商来构造函数是最基本的方法 【小试牛刀】 【安徽省黄山市 2019 届高三第一次质量检测】已知函数. （1）设是的极值点，求的值； （2）在（1）的条件下，在定义域内恒成立，求 的取值范围； （2）当时，证明：. 【解析】 （1），x=0 是f（x）的极值点，解得m=1 经检验m=1 符合题意. 五、迁移运用五、迁移运用 1 【山东省济南外国语学校 2019 届高三 1 月份阶段模拟】已知函数 (1)若，判断上的单调性； (2)求函数上的最小值； (3)当时，是否存在正整数 n，使恒成立？若存在，求出 n 的最大值； 若不存在
8、，说明理由 【解析】 （1）当时， 由于，故， 在单调递增. 故 若即时单调递减 ， 综上所述：当时，的最小值为 1； 当时，的最小值为 当时，的最小值为. 3 【福建省泉州市 2019 届高三 1 月质检】已知函数 （1）讨论的单调性； （2）当时，求 的取值范围. 【解析】解法一：（1） 当时， -1 -0+ 极小值 所以在上单调递减，在单调递增. 当时，的根为或. 若，即， -1 +0-0+ 极 大 值 极 小 值 -1 +0-0+ 极 大 值 极 小 值 所以在，上单调递增，在上单调递减. 综上： 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 自时，在上单调
9、递增，无减区间； 当时，在，上单调递增，在上单调递减. 解法二：（1）同解法一； （2）令， 所以， 5 【广东省惠州市 2019 届高三第三次调研】已知函数. （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）当时，求证：. （2）当时， ，所以在上单调递增， 又， 所以，使得，即 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的最小值为 又函数是单调减函数，所以 即恒成立。 又，所以 又所以，所以 6 【河南省实验中学 2019 届高三质量预测模拟】已知函数（e是自然对数的底数） （1）求证：； （2）若不等式在上恒成立，求正数a的取值范围 （2）不等式在上恒成立，即在上恒成立， 亦即在x ，2上
10、恒成立，令g（x）=， 以下求在上的最小值， ,当时， 当时， 当时，单调递减，当时，单调递增， 在处取得最小值为， 正数a的取值范围是 9 【山东省潍坊市 2019 届高三上学期期末】已知，. （1）若，判断函数在的单调性； （2）证明：，； （3）设，对，有恒成立，求 的最小值. 【解析】 （1）. 又，因此，而， 所以，故在单调递增. （3）由题意知， ， 设， 则， 由于，故， 时，单调递增，又， 因此在存在唯一零点，使，即， 且当，单调递减； ，单调递增； 故， 故 ， 设 ，又设 故在上单调递增，因此， 即，在单调递增， ， 又， 所以， 故所求 的最小值为 . 当，即时，因为，所以在上单调递增；在上单调 递减，在上单调递增. （2）由（1）知当时，在上单调递增，在上单调递减， 要使有两个零点，只要，所以.（因为当时，当时， ） 下面我们讨论当时的情形： 当，即时，在上单调递增，不可能有两个零点； 当，即时，因为， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 因为，所以，没有两个零点； 12 【陕西省榆林市 2019 届高考模拟第一次测试】已知函数. （1）设，求的最大值及相应的 值； （2）对任意正数 恒有，求的取值范围. 【解析】 （1）， 则