《2019届高三数学备考冲刺140分问题31利用空间向量求解空间角含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019届高三数学备考冲刺140分问题31利用空间向量求解空间角含解析.pdf（32页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、问题 31 利用空间向量求解空间角问题 31 利用空间向量求解空间角 一、考情分析 利用空间向量求空间角是高考必考问题，一般作为解答题出现在第二问上，难度中等偏易，在高空中属于 得分题，主要考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角 二、经验分享 (1) 用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键要正确理解向量加法、减 法与数乘运算的几何意义首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向 量在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立 (2) 用向量法求异面直线所成角的一般步骤(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；(2)确定异面 直
2、线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量；(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；(4) 两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值 (3) 利用向量法求线面角的方法 分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； 通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面 所成的角 (4)利用向量法计算二面角大小的常用方法 找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到 二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小 找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角
3、的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则 这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小 三、题型分析三、题型分析 (一) 利用空间向量求异面直线所成的角(一) 利用空间向量求异面直线所成的角 【例 1】如图，四边形ABCD为菱形，ABC120，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE平面ABCD，DF 平面ABCD，BE2DF，AEEC. (1)证明：平面AEC平面AFC； (2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值 (1)证明 如图所示，连接BD，设BDACG，连接EG，FG，EF. 在菱形ABCD中，不妨设GB1. 由ABC120，可得AGGC.3 由BE平面ABCD，ABBC2，可知
4、AEEC. 又AEEC，所以EG，且EGAC.3 在 RtEBG中，可得BE，故DF.2 2 2 在 RtFDG中，可得FG. 6 2 在直角梯形BDFE中，由BD2，BE，DF，可得EF，从而EG2FG2EF2，所以EGFG.2 2 2 3 2 2 又ACFGG，可得EG平面AFC. 因为EG平面AEC，所以平面AEC平面AFC. (2)解 如图，以G为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴正方向，|为单位长度，建立空间直GB GC GB 角坐标系Gxyz，由(1)可得A(0，0)，E(1,0，)，32 F，C(0， ，0)， (1，0， 2 2) 3 所以(1， ，)，.AE 32CF (1
5、， 3， 2 2) 故 cos， .AE CF AE CF |AE |CF | 3 3 所以直线AE与直线CF所成角的余弦值为. 3 3 【点评】两条异面直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角来求，但二者不完全相同，两异面 直线所成角的取值范围是，而两向量所成角的取值范围是0，所以当两方向向量的夹角是钝角 (0， 2 时，应取其补角作为两异面直线所成的角 【小试牛刀】 【陕西省榆林市 2019 届高三第二次模拟】如图，在四棱锥中，平面ABCD平面PAD， ，E是PD的中点 证明：； 设， 点M在线段PC上且异面直线BM与CE所成角的余弦值为， 求二面角的余弦值 【解析】 （1）平面平面
6、，平面平面= ，所以 .由面面 垂直的性质定理得平面，在中，由正弦定理可 得：， ，即，平面，. （2）以 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则， ，设 ，则， , 得，而，设平面的法向量为，由可得： ，令，则，取平面的法向量，则 ，故二面角的余弦值为. (二) 利用空间向量求直线与平面所成的角 (二) 利用空间向量求直线与平面所成的角 【例 2】 【黑龙江省齐齐哈尔市 2019 届高三第一次模拟】如图，四棱锥中， ，PA=PD=CD=BC=1. （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【分析】 （）推导出ADBD，PABD，从而BD平面PAD，由此能证明平面PAD平
7、面ABCD （）取AD中点O，连结PO，则POAD，以O为坐标原点，以过点O且平行于BC的直线为x轴，过点O 且平行于AB的直线为y轴， 直线PO为z轴， 建立空间直角坐标系， 利用空间向量法能求出直线PA与平面PBC 所成角的正弦值 【解析】 （）ABCD，BCD，PAPDCDBC1， BD，ABC， AB2，AD，AB2AD2+BD2，ADBD， PABD，PAADA，BD平面PAD， BD平面ABCD，平面PAD平面ABCD （）取AD中点O，连结PO，则POAD，且PO， 由平面PAD平面ABCD，知PO平面ABCD， 以O为坐标原点，以过点O且平行于BC的直线为x轴，过点O且平行于A
8、B的直线为y轴， 直线PO为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A（，0） ，B（，0） ，C（，0） ，P（0，0，） ， （1，0，0） ，（，） ， 设平面PBC的法向量（x，y，z） ， 则，取z，得（0， ，） ， （，） ， cos， 直线PA与平面PBC所成角的正弦值为 【点评】利用空间向量求直线与平面所成的角，可以有两种方法： 通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面 所成的角； 分别求出斜线和它在平面内的射影的方向向量，再转化为求这两个方向向量的夹角(或其补角) 注意：直线与平面所成角的取值范围是. 0， 2 【小试牛刀】
9、 【贵州省贵阳市 2019 届高三年级第一学期期末】如图所示，在梯形CDEF中，四边形ABCD为 正方形，且，将沿着线段AD折起，同时将沿着线段BC折起，使得E，F两 点重合为点P 求证：平面平面ABCD； 求直线PB与平面PCD的所成角的正弦值 【解析】证明：四边形ABCD为正方形， ， ， 平面PAB， 平面平面PAB； 以AB中点O为原点建立空间坐标系如图， ， ， ，0， ， 设是平面PCD的一个法向量， 则， ， 取，则， 设直线PB与平面PCD的所成角为 ， 则 ， 故直线PB与平面PCD的所成角的正弦值为： (三) 利用空间向量求二面角(三) 利用空间向量求二面角 【例 3】 【
10、江西省南昌市 2019 届高三第一次模拟】如图，四棱台中，底面是菱形， 底面，且， 是棱的中点. （1）求证：； （2）求二面角的余弦值. 【解析】证明：（1）因为底面 ABCD，所以BD 因为底面 ABCD 是菱形，所以 BDAC 又 ACCC1C，所以 BD平面 A 又由四棱台 ABCD知，A，C，四点共面 所以 BD （2）如图，设 AC 交 BD 于点 O，依题意，OC 且OC， 所以OC，且OC所以O底面 ABCD 以 O 为原点，OA、OB、OA1所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 则， 由，得 B1（） 因为 E 是棱 BB1的中点，所以 E（）,所以（）
11、，（2，0，0） 设（x，y，z）为平面的法向量， 则，取 z3，得（0，4，3） ， 平面的法向量（0，1，0） ， 又由图可知，二面角 EA1C1C 为锐二面角， 设二面角 EA1C1C 的平面角为 ， 则 cos， 所以二面角 EA1C1C 的余弦值为 【点评】利用空间向量求二面角，也可以有两种方法： 分别在二面角l的面，内，沿，延伸的方向作向量n n1 1l，n n2 2l，则这两个向量的夹角 的大小就是二面角的平面角的大小； 通过法向量求解设m m1 1，m m2 2，则两向量的夹角与该二面角相等或互补 注意：二面角的取值范围是0， 【小试牛刀】 【山东省潍坊市 2019 届高三下学
12、期一模】如图，三棱柱中， ，平面平面. （1）求证：； （2）若，直线与平面所成角为， 为的中点，求二面角的 余弦值. 【解析】 （1）过点 作，垂足为 ， 因为平面平面， 所以平面，故， 又因为， 所以，故， 因为，所以， 又因为，所以平面，故. （2）以 为坐标原点，所在直线为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系， 因为平面， 所以是直线与平面所成角， 故， 所以， ， 设平面的法向量为，则 ，所以， 令，得， 因为平面， 所以为平面的一条法向量， ， ， 所以二面角的余弦值为. 四、迁移运用四、迁移运用 1【浙江省温州市 2019 届高三 2 月高考适应性测试】 在三棱锥 DABC 中， A
13、DDC， ACCB， AB2AD2DC2， 且平面 ABD平面 BCD，E 为 AC 的中点 （I）证明：ADBC； （II）求直线 DE 与平面 ABD 所成的角的正弦值 【解析】 （I）过 作， （其中 与都不重合，否则，若 与 重合，则与 矛盾， 若 与 重合，则，与矛盾） 面面 面 ，又 面 （II）法一：作，则， 由（1）知：面 即与面所成角，且 法二：由（I）知平面，以 为原点，分别以射线为 轴， 轴的正半轴，建立 空间直角坐标系 由题意知： ， 平面的法向量为， 设与面所成角为 2 【福建省厦门市 2019 届高中毕业班第一次（3 月)质量检查】如图，在四棱锥中， ，和均为边长为
14、的等边三角形. （1）求证：平面平面； （2）求二面角的余弦值. 【解析】 （1）取的中点 ，连接， 因为均为边长为的等边三角形， 所以，且 因为，所以，所以， 又因为，平面，平面， 所以平面. 又因为平面，所以平面平面. （2）因为，为等边三角形， 所以，又因为，所以， 在中，由正弦定理，得：，所以. 以 为坐标原点，以为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则平面的一个法向量为， 依题意，平面的一个法向量 所以 故二面角的余弦值为. 3 【新疆乌鲁木齐市 2019 届高三一模】如图，在正三棱柱中， ， 分别是， 的中点. （1）证明：平面； （2
15、）点在上，若，求二面角的余弦值. 【解析】 （1）如图，连结，则， ， 平面 EFN/平面 B1BCC1， 平面，平面. 解：（2）以 为原点，为 轴，为 轴，为 轴， 建立空间直角坐标系， 不妨设，则， 设，则， ， ，解得， 设平面的法向量为， 则，取，得， 同理可得平面的法向量为， . 二面角的余弦值为. 4 【东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019 届高三第一次模拟】如图，在 三棱锥中，与都为等边三角形，且侧面与底面互相垂直， 为的中点，点 在线段上，且， 为棱上一点. （1）试确定点 的位置，使得平面； （2）在（1）的条件下，求二面角的余弦值. 【解析
16、】 （）在中，延长交于点， ,是等边三角形 为的重心 平面, 平面， ,即点 为线段上靠近点 的三等分点 （）等边中，交线为， 如图以 为原点建立空间直角坐标系 点 在平面上，所以二面角与二面角为相同二面角. 设,则， 设平面的法向量 ，则 即，取，则 又平面，, 则 , 又二面角为钝二面角，所以余弦值为 . 5 【贵州省遵义市绥阳中学 2019 届高三模拟卷】如图，在边长为 的菱形中，与 交于点 ，将沿直线折起到的位置（点 不与 ， 两点重合）. （1）求证：不论折起到何位置，都有平面； （2）当平面时，点是线段上的一个动点，若与平面所成的角为，求的值. 【解析】 （1）证明：因为四边形是菱
17、形，所以. 因为，点 是的中点， 所以. 又因为平面，平面， 所以平面. （2）解：以，的方向分别为 ， ， 轴正方向建立空间直角坐标系如下图所示. 易知， 则点， 所以，. 设，则. 所以. 设平面的一个法向量为，则 由得解得 令，得平面的一个法向量为， 所以， 解得. 故所求的值为或. 6 【山东省淄博市 2019 届高三 3 月模拟】 如图， 在四棱锥 PABCD中， AB/CD， AB1， CD3， AP2， DP2 ，PAD60，AB平面 PAD，点 M 在棱 PC 上 ()求证：平面 PAB平面 PCD； ()若直线 PA/ 平面 MBD，求此时直线 BP 与平面 MBD 所成角的
18、正弦值 【解析】解：（）因为 AB平面 PAD，所以 ABDP， 又因为，AP=2，PAD=60， 由，可得， 所以PDA=30，所以APD=90，即 DPAP， 因为，所以 DP平面 PAB， 因为，所以平面 PAB平面 PCD （）由 AB平面 PAD 以点 A 为坐标原点，AD 所在的直线为 y 轴，AB 所在的直线为 z 轴，如图所示建立空间直角坐标系. 其中，. 从而， 设，从而得， ， 设平面 MBD 的法向量为， 若直线 PA/平面 MBD，满足， 即， 得，取， 且， 直线 BP 与平面 MBD 所成角的正弦值等于： . 7【山东省淄博市2018-2019学年度3月高三模拟】
19、如图， 在四棱锥中， ，平面，点在棱上. （1）求证：平面平面； （2）若直线平面，求此时直线与平面所成角的正弦值. 【解析】 （1）因为平面，所以， 又因为， 由，可得， 所以，即， 因为，所以平面， 因为平面，所以平面平面； （2）以点 为坐标原点，所在的直线为 轴，所在的直线为 轴， 如图所示，建立空间直角坐标系， 其中，. 从而， 设，从而得， 设平面的法向量为， 若直线平面，满足， 即， 得，取，且， 直线与平面所成角的正弦值等于。 8 【山东省济宁市 2019 届高三第一次模拟】如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形， 底面 ABCD， (I)求证：平面 PC
20、A平面 PCD； (II)设 E 为侧棱 PC 上的一点，若直线 BE 与底面 ABCD 所成的角为 45，求二面角的余弦值 【解析】解：()在平行四边形 ABCD 中，ADC=60，由余弦定理得 ， ，ACD=90，即 CDAC， 又 PA底面 ABCD，CD底面 ABCD，PACD， 又，CD平面 PCA. 又 CD平面 PCD，平面 PCA平面 PCD. ()如图，以 A 为坐标原点，AB，AC，AP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系. 则，. 设， 则 x=0，即点 E 的坐标为 又平面 ABCD 的一个法向量为 sin45 解得 点 E 的坐标为， 设平面
21、EAB 的法向量为 由得 令 z=1，得平面 EAB 的一个法向量为 . 又二面角 E-AB-D 的平面角为锐角， 所以，二面角 E-AB-D 的余弦值为 9 【福建省龙岩市 2019 届高三下学期教学质量检查】如图，已知四边形是边长为 2 的菱形，且 ，点 是线段上的一点 为线段的中点 （1）若于 且，证明：平面； （2）若,，求二面角的余弦值 【解析】 （1）四边形是边长为 2 的菱形，且 与交于点 且为等边三角形 ， 又, ,又 , , 在中， 在中， 在中, , , ，又, （2）在平面中，过 作直线 , 则,如图，以 为 轴， 所在直线为 轴，所在直 线为 轴建立空间直角坐标系， ,
22、 , , , 设是平面的法向量，则 ,即， 取，取中点 ，连结， ,， 因此，是平面的法向量， , , 设二面角的大小为 ，则 , 二面角的余弦值为 10【新疆2019届普通高考第一次适应性检测】 如图，和所在平面互相垂直， 且 ， 、 分别为、的中点. （1）求证：； （2）求二面角的正弦值. 【解析】 （1）由题意，以 为坐标原点，在平面内过 作垂直的直线为 轴，所在直线为 轴，在平 面内过 作垂直的直线为 轴，建立如图所示空间直角坐标系.易得， ， ，因此， ，所以. （2）解：如上图中，设平面的一个法向量为. 又， 由可取. 设平面的法向量，又， 由可取. 设二面角大小为 ，且由题意知
23、 为锐角 ，因此， 即所求二面角的正弦值为 . 11 【晋冀鲁豫名校 2018-2019 年度高三上学期期末】如图，矩形所在平面垂直于直角梯形所在 平面，分别是的中点 （1）求证：平面平面； （2）求二面角的正切值 【解析】 （1）因为 是的中点，所以 又因为， ，所以，且， 所以四边形是平行四边形，所以 又因为平面平面，所以平面 因为分别是的中点，所以 又因为平面平面，所以面 又因为平面平面，所以平面平面 （2）以 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，则， 所以 设平面的一个法向量为，则，令，得， 所以 易知平面的一个法向量为 所以 又因为二面角的平面角为锐角，所以二面角的正切值 12【河
24、南名校联盟 2018-2019 学年高三下学期 2 月联考】 如图， 在四棱锥中， 且和 分别是棱和的中点. （）求证：； （）求直线与平面所成的角的正弦值. 【解析】 （） 为中点， 又， 四边形为平行四边形 为中点， ， 四边形为矩形， 由得， 又， 平面 ， 平面 又平面， ， 又， 平面 平面， （）由（）知平面 以 为原点，为 轴，为 轴，平面内过点 且与的垂线为 轴建立空间直角坐标系，如图 所示 ， 又， 点 到 轴的距离为 同时知 又， 设平面的一个法向量为， 由得 令则 又， 设直线与平面所成的角为 . 则 即直线与平面所成的角的正弦值为 13 【辽宁省沈阳市东北育才学校 20
25、19 届高三第五次模拟】如图所示，四棱锥中，侧面底面 ，底面是平行四边形， 是中点，点 在线段 上. （）证明：； （）若 ，求实数 使直线与平面所成角和直线与平面所成角相等. 【解析】 ()解：中，； 连，中 ， 又平面 ()由 （1） ：， 又侧面底面于， 底面， 以 为原点，延长线、 分别为 、 、 轴建系； ，,， ， 设， （） ，则 ， 设平面的一个法向量，则，可得 又平面的一个法向量 由题：，即 解得： 14 【湖南省长沙市长郡中学 2019 届高三下学期第一次适应性考试(一模)】如图，在四棱锥中， ，底面四边形为直角梯形，为线段上一点. (1)若，则在线段上是否存在点，使得平面
26、?若存在，请确定点的位置；若 不存在，请 说明理由 (2)己知，若异面直线与成角，二而角的余弦值为，求的长. 【解析】解：（1）延长，交于点 ，连接，则平面. 若平面，由平面平面，平面，则. 由，则， 故点是线段上靠近点 的一个三等分点. （2），平面，平面， 则平面 以点 为坐标原点，以，所在的直线分别为 轴、 轴，过点 与平面垂直的直线为 轴，建立如图 所示的直角坐标系， 则，则， 设平面和平面的法向量分别为，. 由，得即， 令，则，故. 同理可求得. 于是，则，解之得（负值舍去） ，故. . 15 【江西省重点中学盟校 2019 届高三第一次联考】如图，在四棱锥中，底面是正方形，且 ，
27、平面 平面， 点 为线段的中点， 点 是线段上的一个动点 （）求证：平面 平面； （） 设二面角的平面角为 ， 试判断在线段上是否存在这样的点 ， 使得， 若存在， 求出的值；若不存在，请说明理由. 【解析】解：（） 四边形是正方形，. 平面 平面平面平面，平面. 平面，. ，点 为线段的中点，. 又，平面. 又平面，平面 平面. （）由（）知平面，平面. 在平面内过 作交于点 ， ，故，两两垂直，以 为原点， 以，所在直线分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系. 因为，. 平面， 则， 又 为的中点， 假设在线段上存在这样的点 ，使得,设， 设平面的法向量为， 则 ，令，则，则 平面，平面的一
28、个法向量,则 . ，解得， 16 【2019 年四川省达州市高考理科数学一诊】如图，四边形ABCD是正方形，G是线段AD延长线一点， ，平面ABCD，F是线段PG的中点； 求证：平面PAC； 若时，求平面PCF与平面PAG所成二面角的余弦值 【解析】证明：分别连接DB，DF， ，F分别是线段AG，PG的中点， ， 又， 四边形BDFE为平行四边形 四边形ABCD时正方形， 平面ABCD， ，AC是面PAC内两两相交直线， 面PAC，平面PAC； 解：分别以直线AB，AG，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， ，2，2，0， 设平面PCF的法向量，由 平面PAG的法向量为 平面PCF与平面PAG所成二面角的余弦值为