2019届高三数学备考冲刺140分问题32与圆有关的最值问题（含解析）.pdf

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1、问题 32 与圆有关的最值问题问题 32 与圆有关的最值问题 一、考情分析 通过对近几年的高考试题的分析比较发现,高考对直线与圆的考查,呈现逐年加重的趋势,与圆有关的最值 问题,更是高考的热点问题.由于圆既能与平面几何相联系,又能与圆锥曲线相结合,命题方式比较灵活,故 与圆相关的最值问题备受命题者的青睐. 二、经验分享 1. 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略 (1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结 合求解 (2)与圆上点(x，y)有关代数式的最值的常见类型及解法 形如u型的最值问题， 可转化为过点(a，b) yb xa 和点(x，y

2、)的直线的斜率的最值问题 ； 形如taxby型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题 ； 形如(xa)2(yb)2型的最值问题，可转化为动点到定点(a，b)的距离平方的最值问题 2.与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参 数的最值等方面解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化 三、知识拓展三、知识拓展 1.圆外一点 P 到圆 C 上点的距离距离的最大值等于，最小值等于PCr. 2.圆 C 上的动点 P 到直线 l 距离的最大值等于点 C 到直线 l 距离的最大值加上半径，最小值等于点 C 到直 线 l 距离的最小值减去半径. 3

3、.设点 M 是圆 C 内一点，过点 M 作圆 C 的弦，则弦长的最大值为直径，最小的弦长为. 四、题型分析四、题型分析 (一) 与圆相关的最值问题的联系点(一) 与圆相关的最值问题的联系点 1.1 与直线的倾斜角或斜率的最值问题1.1 与直线的倾斜角或斜率的最值问题 利用公式ktan(90)将直线的斜率与倾斜角紧密联系到一起,通过正切函数的图象可以解决已知 斜率的范围探求倾斜角的最值,或者已经倾斜角的范围探求斜率的最值. 处理方法：直线倾斜角的范围是0,),而这个区间不是正切函数的单调区间,因此根据斜率求倾斜角的范 围时,要分与两种情况讨论由正切函数图象可以看出,当时,斜率k0, 0， 2)

4、( 2 ，) 0， 2) )；当时,斜率不存在；当时,斜率k(,0) 2 ( 2 ，) 【例 1】【例 1】坐标平面内有相异两点,经过两点的直线的的倾斜角的取值范围是( ). A, 44 B C D 3 , 44 【答案】C 【解 析】,且0 AB k .设直线的倾斜角为,当01 AB k 时,则,所以倾斜角的范围为0 4 .当时,则,所以倾斜 角的范围为 3 4 . 【点评】【点评】 由斜率取值范围确定直线倾斜角的范围要利用正切函数ytan x的图象,特别要注意倾斜角取值范 围的限制；求解直线的倾斜角与斜率问题要善于利用数形结合的思想,要注意直线的倾斜角由锐角变到直角 及由直角变到钝角时,需

5、依据正切函数ytan x的单调性求k的范围 【小试牛刀】若过点的直线与圆 22 4xy有公共点,则该直线的倾斜角的取值范围是 （ ） A0 6 ， B0 3 ， C. 0 6 ， D0 3 ， 【答案】B 【 解 析 】 当 过 点的 直 线 与 圆 22 4xy 相 切 时 ,设 斜 率 为k,则 此 直 线 方 程 为 ,即.由圆心到直线的距离等于半径可得,求得 0k 或3k ,故直线的倾斜角的取值范围是0, 3 ,所以 B 选项是正确的. 1.2 与距离有关的最值问题1.2 与距离有关的最值问题 在运动变化中,动点到直线、圆的距离会发生变化,在变化过程中,就会出现一些最值问题,如距离最小

6、,最大 等.这些问题常常联系到平面几何知识,利用数形结合思想可直接得到相关结论,解题时便可利用这些结论 直接确定最值问题. 【例 2】【例 2】 过点 1,2M 的直线l与圆C：交于 ,A B两点,C为圆心,当ACB 最小时, 直线l的方程是 答案: 解析：要使ACB最小,由余弦定理可知,需弦长AB最短.要使得弦长最短,借助结论可知当 1,2M 为弦的 中点时最短.因圆心和 1,2M 所在直线的,则所求的直线斜率为1,由点斜式可得 . 【点评】与圆有关的长度或距离的最值问题的解法一般根据长度或距离的几何意义,利用圆的几何性质数 形结合求解此题通过两次转化,最终转化为求过定点的弦长最短的问题.

7、【例 3】【例 3】 若圆C：关于直线对称,则由点( , )a b向圆 C 所作的切线 长的最小值是（ ） A2 B3 C4 D6 【答案】C 【解析】圆 C：化为（x+1）2+（y-2）2=2,圆的圆心坐标为（-1,2）半径为 2 圆 C：关于直线 2ax+by+6=0 对称,所以（-1,2）在直线上,可得-2a+2b+6=0, 即 a=b+3 点（a,b）与圆心的距离, , 所以点（a,b）向圆 C 所作切线长： 当且仅当 b=-1 时弦长最小,为 4 【点评】与切线长有关的问题及与切线有关的夹角问题,解题时应注意圆心与切点连线与切线垂直,从而得 出一个直角三角形 【小试牛刀】 【安徽省合

8、肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会 2019 届高三第二次联考】已知抛物线 上一点到焦点的距离为 ，分别为抛物线与圆上的动点，则 的最小值为（ ） A B C D 【答案】D 【解析】由抛物线焦点在 轴上，准线方程， 则点到焦点的距离为，则， 所以抛物线方程：， 设，圆，圆心为，半径为 1， 则， 当时，取得最小值，最小值为， 故选 D. 1.3 与面积相关的最值问题1.3 与面积相关的最值问题 与圆的面积的最值问题,一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系,借助函数求最值 的方法,如配方法,基本不等式法等求解,有时可以通过转化思想,利用数形结合思想求解. 【例【例 4】 4】

9、在平面直角坐标系中,A B分别是x轴和 y轴上的动点,若以 AB为直径的圆C与直线 相切,则圆C面积的最小值为（ ） A. 4 5 B. 3 4 C.(62 5) D. 5 4 【答案】A 【解析】设直线l：.因为,所以圆心 C 的轨迹为以 O 为焦点,l为准线的 抛物线.圆 C 半径最小值为,圆C面积的最小值为选 A. 【例 5】【例 5】 动圆 C 经过点(1,0)F,并且与直线1x 相切,若动圆 C 与直线总有公共点,则圆 C 的面积（ ） A有最大值8 B有最小值2 C有最小值3 D有最小值4 【答案】D 【解析】设圆心为( , )a b,半径为r, ,即,即 2 1 4 ab,圆心为

10、 2 1 (, ) 4 b b, 2 1 1 4 rb,圆心到直线的距离为, 或2b ,当2b 时, ,. 【小试牛刀】 【山东省恒台第一中学 2019 届高三上学期诊断】已知 O 为坐标原点，直线 若直线l与圆 C 交于 A，B 两点，则OAB 面积的最大值为 （ ） A4 B C2 D 【答案】C 【解析】由圆的方程可知圆心坐标，半径为 2， 又由直线，可知，即点 D 为 OC 的中点， 所以,设，又由， 所以， 又由当，此时直线，使得 的最小角为 ，即 当时，此时的最大值为 2，故选 C。 (二) 与圆相关的最值问题的常用的处理方法(二) 与圆相关的最值问题的常用的处理方法 2.1 数形

11、结合法2.1 数形结合法 处理与圆有关的最值问题,应充分考虑圆的几何性质,并根据代数式的几何意义,借助数形结合思想求解. 【例 6】已知实数x,y满足方程x2y24x10,求： (1) 的最大值和最小值； y x (2)yx的最大值和最小值； (3)x2y2的最大值和最小值 【分析】(1)利用斜率模型；(2)利用截距模型；(3)利用距离模型 【解析】原方程变形为(x2)2y23,表示以(2,0)为圆心,半径r的圆3 (1)设 k,即ykx,由题知,直线ykx与圆恒有公共点,则圆心到直线的距离小于等于半径. y x 3 .k23,即k, 的最大值为,最小值为. |2k0| k21 333 y x

12、 33 (2)设yxb,则当直线yxb与圆相切时,b取最值,由,得b2, |20b| 2 36 yx的最大值为2,最小值为2.66 (3)令d表示原点与点(x,y)的距离,x2y2 原点与圆心(2,0)的距离为 2,dmax2,dmin2.33 x2y2的最大值为(2)274,最小值为(2)274.3333 【点评】研究与圆有关的最值问题时,可借助图形的性质,利用数形结合求解常见的最值问题有以下几种 类型：形如形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题；形如taxby形式的最值问 yb xa 题,可转化为动直线截距的最值问题；形如(xa)2(yb)2形式的最值问题,可转化为动点到定点的距 离

13、的平方的最值问题 【小试牛刀】 已知直线和曲线,点A在直线l上,若直线AC与 曲线M至少有一个公共点C,且,则点A的横坐标的取值范围是（ ） A0,5 B1,5 C1,3 D0,3 【答案】B 【解析】 设,依题意有圆心到直线的距离,即, 解 得 0 1,5x . 2.2 建立函数关系求最值2.2 建立函数关系求最值 根据题目条件列出关于所求目标函数的关系式,然后根据关系的特点选用参数法、配方法、判别式法等进行 求解. 【例 7】设QP,分别为和椭圆1 10 2 2 y x 上的点,则QP,两点间的最大距离是（ ） A.25 B.246 C. 27 D. 26 【答案】D 【解析】依题意QP,

14、两点间的最大距离可以转化为圆心到椭圆上的点的最大距离再加上;圆的半径 2.设 ( , )Q x y.圆心到椭圆的最大距离.所 以QP,两点间的最大距离是 26 .故选 D. 2.3 利用基本不等式求解最值2.3 利用基本不等式求解最值 如果所求的表达式是满足基本不等式的结构特征,如a b或者ab的表达式求最值,常常利用题设条件建 立两个变量的等量关系,进而求解最值.同时需要注意,“一正二定三相等”的验证. 【例 8】 设mR,过定点 A 的动直线0xmy和过定点 B 的动直线交于点( , )P x y, 则| |PAPB的最大值是 . 【分析】根据,可用均值不等式求最值 【解析】易得.设( ,

15、 )P x y,则消去m得 ：,所以点 P 在以 AB 为直径的圆 上,PAPB,所以,. 【小试牛刀】设,m nR,若直线与圆相切,则mn的取 值范围是（ ） A B C D 【答案】D 【解析】 直线与圆相切,圆心到直线的距离等于半径,即,化简得, 由 基本不等式得,令tmn,则,解得 . 四、迁移运用四、迁移运用 1 【黑龙江省齐齐哈尔市 2019 届高三第一次模拟】已知半圆 ：， 、 分别为半圆 与 轴的左、 右交点， 直线过点 且与 轴垂直， 点 在直线上， 纵坐标为 ， 若在半圆 上存在点 使， 则 的取值范围是（ ） A B C D 【答案】A 【解析】根据题意，设PQ与x轴交于

16、点T，则|PB|t|， 由于BP与x轴垂直，且BPQ，则在 RtPBT中， |BT|PB|t|， 当P在x轴上方时，PT与半圆有公共点Q，PT与半圆相切时，|BT|有最大值 3，此时t有最大值， 当P在x轴下方时，当Q与A重合时，|BT|有最大值 2，|t|有最大值，则t取得最小值， t0 时，P与B重合，不符合题意， 则t的取值范围为，0）； 故选：A 2 【河北省五个一名校联盟 2019 届高三下学期第一次诊断】已知点 为圆上一点， ,则的最大值为（ ） A B C D 【答案】C 【解析】取 AB 中点 D(2,-3), , ,d+r= 的最大值为，故选 C. 3【河北省唐山市 2018

17、-2019 学年高三上学期期末】 已知点 在圆上，为 中点，则的最大值为( ) A B C D 【答案】B 【解析】设点M的坐标为，则， 将点P的坐标代入圆的方程可得点M的轨迹方程为， 如图所示，当与圆 相切时，取得最大值， 此时.本题选择B选项. 4 【广西柳州市 2019 届高三毕业班 1 月模拟】已知点是抛物线上的动点，以点为圆心的圆被 轴截得的弦长为 ，则该圆被 轴截得的弦长的最小值为（ ） A B C D 【答案】D 【解析】设圆心，而， 圆的方程为：， 当时，得 . 故选 D. 5 【山东省滨州市 2019 届高三期末】 直线被圆所截得的最短弦长等于 （ ） A B C D 【答案

18、】C 【解析】 圆的方程为圆（x2）2+（y2）25，圆心C（2，2） ，半径为 直线y3k（x1） ， 此直线恒过定点（1，3） ， 当圆被直线截得的弦最短时，圆心C（2，2）与定点P（1，3）的连线垂直于弦， 弦心距为： 所截得的最短弦长：2 故选：C 6 【湖南省长沙市 2019 届高三上学期第三次调研】已知双曲线的左、右焦点分别 为，实轴长为 2，渐近线方程为，点N在圆上，则 的最小值为 A B2 C D3 【答案】C 【解析】 因为，所以点 M 在双曲线 C 右支上，因为渐近线方程为，所以 圆，即，设圆心为, 则有，选 C. 7.【江西省南昌市 2019 届高三第一次模拟】 已知，

19、为圆上的动点， ，过点 作与垂直的直线 交直线于点，则的横坐标范围是( ) ABCD 【答案】A 【解析】设 P（） ，则 Q（2，2） ， 当0 时， kAP，kPM， 直线 PM：y（x） ， 直线 QB：y0（x） ， 联立消去 y 得 x， ，由|1 得 x21，得|x|1， 当0 时，易求得|x|1， 故选：A 8 【山东省菏泽市 2019 届高三下学期第一次模拟】已知点 是直线上的动点，过点 引圆 的两条切线为切点，当的最大值为 时，则 的值为（ ） A4B3C2D1 【答案】D 【解析】 结合题意，绘制图像，可知 当取到最大值的时候，则也取到最大值，而，当 PC 取到最小值的时候

20、， 取到最大值，故 PC 的最小值为点 C 到该直线的最短距离，故，故 ，解得，故选 D。 9 【四川省成都市 2019 届高三 11 月阶段性】已知圆，圆 ，过圆 M 上任意一点 P 作圆 C 的两条切线，切点分别为 ，则的最小值是（ ） A B3 C D 【答案】D 【解析】 由题意，圆 的圆心为（1，0） ，半径为 1，圆的圆心（，） ，半径为 2，所以 ，而，所以两圆相离。，要使 取得最小值， 需要和越小， 且越大才能取到， 设直线和圆交于两点 （如下图） 。 则的最小值是. =，则. 所以.故选 D. 10 【北京市朝阳区 2018 届高三第一学期期末】阿波罗尼斯（约公元前 262-

21、190 年）证明过这样一个命题: 平面内到两定点距离之比为常数k（0k 且1k ）的点的轨迹是圆后人将这个圆称为阿氏圆若平面 内两定点,A B间的距离为 2， 动点P与A， B距离之比为 2， 当 , ,P A B不共线时， PAB面积的最大 值是 A. 2 2 B. 2 C. 2 2 3 D. 2 3 【答案】A 【解析】如图，以经过AB，的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系；则： 设,P xy（ ， ） ， 两 边 平 方 并 整 理 得 ： ， PAB面积的最大值是 选 A 11 【山西省太原十二中 2018 届高三上学期 1 月月考】如图，两条距离为4的直线都与y轴

22、平行，它们与 抛物线和圆分别交于,A B和,C D，且抛物线的准线与圆相切，则 当ABCD取得最大值时，直线AB的方程为（ ） A. 2x B. 3x C. 2x D. 1x 【答案】B 【解析】根据题意，由抛物线的准线与圆相切可得1 2 p 或 7，又014p，故2p ， 设直线AB 的方程为，则直线CD的方程为4xt则 设 则令，令 故，此时直线AB 的方程为3x ，故选 B 12 【西藏拉萨市 2018 届高三第一次模拟】已知点P在圆C： 上运动，则点P 到直线l：的距离的最小值是（ ） A. 4 B. 5 C. 51 D. 51 【答案】D 【解析】圆C：化为，圆心2,1C半径为 1，

23、先求圆心到 直线的距离，则圆上一点 P 到直线l：的距离的最小值是51.选 D. 13 【辽宁省沈阳市东北育才学校 2018 届高三第三次模拟】已知圆C的方程为，直线 与圆C交于 A，B 两点，则当ABC面积最大时，直线l的斜率k （ ） A. 1 B. 6 C. 1 或 7 D. 2 或 6 【答案】C 【解析】圆可化标准方程：直线可变形为，即圆心为（1，0） ，半径 r=1, 直线过定点（2，2） ，由面积公式 所以当 2 时，即点到直线距离为 2 2 时取最大值.，解得 k=1 或 7,选 C. 14【天一大联考 20172018 学年高中毕业班阶段性测试】 过点3,0P 作直线（ ,

24、a b不同时为零）的垂线，垂足为M，点2,3N，则MN的取值范围是（ ） A. 0,55 B. 55,5 C. 5,55 D. 【答案】D 【解析】,整理为：得直线恒过点 Q（1，-2） ，画出图像 可知或者 M 与 P,Q 之一重合， 2 5PQ ,故点 M 在以 PQ 为直径的圆上运动， 设该圆的圆心 为 F，则线段 MN 满足的范围为,所以： MN的取值范围是 15 【陕西省西安市 2018 届高三上学期期末】直线被圆所截得的最 短弦长等于（ ） A. 3 B. 2 3 C. 2 2 D. 5 【答案】C 【解析】圆的圆心2,2C，半径为2，直线， 此直线恒过定点 3,1，当圆被直线截得

25、的弦最短时，圆心2,2C与定点3,1P的连线垂直于弦，弦心距为 ， 所截得的最短弦长，故选 C. 16 【山西省 2018 届高三第一次模拟】若点 为圆上的一个动点，点，为两个定点，则 的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】APB=90，由不等式可得 ，故选：B 17 【重庆市梁平区 2018 届二调】过点1,1P 作圆C： R)的切线，切点分 别为A，B，则PA PB 的最小值为（ ） A. 10 3 B. 40 3 C. 21 4 D. 2 23 【答案】C 【解析】由题意可得圆心坐标为,2C t t ，半径1r ， 其中， ， ， . 利用平面向量数量积的定义有：

26、 设，则： ， 结合对勾函数的性质可得： 函数在区间上单调递增 当3m 时，. 本题选择 C 选项. 18 【甘肃省 2018 届高三第一次诊断性考试】过直线上的点作圆的切线，则 切线长的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】直线上上任取一点. 作圆的切线，设切点为 A. 圆，即，圆心为，半径为. 切线长为. . 所以切线长的最小值为.故选 A. 19 【新疆乌鲁木齐市 2018 年高三年级第二次质量监测】 已知点P是双曲线 2 2 1 4 y x 的渐近线上的动点， 过点P作圆的两条切线，则两条切线夹角的最大值为（ ） A. 90 B. 60 C. 45 D. 30 【

27、答案】B 【解析】由题意得渐近线方程为2yx ，过圆心5 0，向2yx作垂线，则，圆 的半径5r ，当斜边最小是，夹角最大， 30， 260，故选B 20【 重 庆 市 九 校 联 盟 2018 届 高 三 上 学 期 第 一 次 联 合 考 试 】 设,mR， 则 的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 9 D. 16 【答案】C 【解析】其几何意义是单位圆上的点到直线的距离的平方，故其最小值为 2 4 19，故 选：C 21 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点( 2,0)A ,点 B 是圆上的点,点 M 为 AB 中点,若直 线上存在点 P,使得,则实数k的取值范围为_ 【答案】22

28、k 【解析】 因为点 M 为 AB 中点,所以,即点 M 轨迹为以原点为圆心的单位圆,当 PM 为单位圆切 线时,OPM取最大值,即,从而,因此原点到直线 距离不大于 2,即 22.已知圆,点 ( , )P a b是该圆面（包括O圆周及内部）上一点,则abc 的最小 值等于 【答案】 1 2 【解析】依题意可得 22 abc .令.所以, a b满足如图所示.所以目标函数.所 以当目标函数与直线相切的时候z最小.由圆心到直线的距离可得.2zcc .所以当 且仅当 1 2 c 时, min 1 2 z . 23.在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为若直线 (1)yk x 上存在一点P,使过P所作的圆 的两条切线相互垂直,则实数k的取值范围是 【答案】2 2,2 2 【解析】圆 C 的方程为先将“圆的两条切线相互垂直”转化为“点P到圆 心的距离为2 2”,再将“直线上存在点P到圆心的距离为2 2”转化为“圆心到直线的 距离小于等于2 2”,即