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1、问题 44 算法与其他知识的交汇问题问题 44 算法与其他知识的交汇问题 一、考情分析 算法是高考每年必考内容,多以客观题形式出现,难度为中等或中等以下,考查方式多为程序框图,按题型划 分主要有求结果、 填补过程、 求输入参量三类,并且此类问题常和其他知识交汇,其中与函数、 三角、 不等式、 数列、概率与统计的交汇是高考热点. 二、经验分享 1.应用顺序结构与条件结构的注意点 (1)顺序结构 顺序结构是最简单的算法结构,语句与语句之间、框与框之间是按从上到下的顺序进行的 (2)条件结构 利用条件结构解决算法问题时,重点是判断框,判断框内的条件不同,对应的下一框中的内容和操作要相应 地进行变化,
2、故要重点分析判断框内的条件是否满足 2.与循环结构有关问题的常见类型及解题策略 (1)已知程序框图,求输出的结果,可按程序框图的流程依次执行,最后得出结果 (2)完善程序框图问题,结合初始条件和输出结果,分析控制循环的变量应满足的条件或累加、累乘的变量的 表达式 (3)对于辨析程序框图功能问题,可将程序执行几次,即可根据结果作出判断 三、题型分析三、题型分析 一、算法与函数的交汇一、算法与函数的交汇 【例 1】执行如图所示的程序框图,如果输入的t1,3,则输出的s属于( ) A3,4 B5,2 C4,3 D2,5 【分析】 由程序框图得分段函数s所以当1t0,退出循环,输出的n的值为 3.故填
3、 3.3. 四、算法与数列的交汇四、算法与数列的交汇 【例 4】阅读如图所示的程序框图,若输入的 9 19 a ,则输出的 k 值是（ ） A9 B10 C11 D12 【答案】C 【解析】由程序框图知, S 为数列)( )(12 1 12 1 2 1 1212 1 kkkk ak的前 k 项和,由裂项法得, )(S 12 1 1 2 1 k ,然后由 19 9 12 1 1 2 1 )(S k 得9k,所以当10k时程序运行结束,此时11k故 选 C 【点评】解决本类问题先从宏观理清框图是解决什么具体问题的,然后严格按照步骤执行其流程要求关键 是每次循环过后,将每个变量一一列出,如果循环次数
4、较多就要总结规律,如等差、等比数列通项、周期等； 如果循环次数较少,可以全部列出也可直接由程序运行的实质得到一般性的结论,如本题实为裂项法求数 列的和,然后求解即可 【小试牛刀】如图给出了计算 1111 24660 的值的程序框图,其中分别是（ ） （A）30i ,2nn （B）30i ,2nn （C）30i ,2nn （D）30i ,1nn 【答案】C 【解析】因为 2,4,6,8,60 构成等差数列,首项为 2,公差为 2,所以 22(n1)60,解得n30,所以该 程序循环了 30 次,即i30,nn2,故选 C 五、算法与概率统计的交汇五、算法与概率统计的交汇 【例 5】下图是计算某年
5、级 500 名学生期末考试（满分为 100 分）及格率q的程序框图,则图中空白框内应 填入（ ） A M q i B M q N C N q MN D M q MN 【答案】D 【解析】由程序框图可知,M为及格的人数,N为不及格人数,所以及格率 M q MN ,故选 D 【点评】解决循环结构的程序框图问题要注意几个常用变量： 计数变量：用来记录某个事件发生的次数,如ii1. 累加变量：用来计算数据之和,如SSi. 累乘变量：用来计算数据之积,如ppi. 【小试牛刀】如果执行如图所示的程序框图,输入正整数(2)N N 和实数 12N aaa， ， ，,输出AB，,则 （ ） AAB为 12N a
6、aa， ， ，的和 B 2 AB 为 12N aaa， ， ，的算数平均数 CA和B分别是 12N aaa， ， ，中最大的数和最小的数 DA和B分别是 12N aaa， ， ，中最小的数和最大的数 【答案】C 【解析】据程序框图可知,A B分别为 12 , N a aa中的最大数和最小数,故选 C. 六、算法与数学文化的交汇六、算法与数学文化的交汇 【例 6】 若正整数N除以正整数m后的余数为n,则记为modNnm,例如102 mod4.如图程序框图的 算法源于我国古代闻名中外的中国剩余定理.执行该程序框图,则输出的n等于（ ） A20 B21 C.22 D23 【答案】C 【解析】 由已知
7、中的程序框图得 ： 该程序的功能是利用循环结构计算出并输出同时满足条件 ： 被 3 除余 1, 被 5 除余 2,最小为两位数,所输出的22n ,故选 C. 【点评】数学文化与程序框图的交汇是近几年高考热点. 【小试牛刀】公元263年左右,我国数学家刘徽发现, 当圆内接多边形的边数无限增加时,多边形面积可无限逼近圆的面积,由此创立了割圆术,利用割圆术刘 徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14,这就是著名的徽率如图是利用刘徽的割圆术设计程 序框图,则输出的n值为（ ）参考数据：31.732,sin150.2588 ,sin7.50.1305 A 12 B 24 C 48 D 96 【
8、答案】B 【解析】由程序框图, n S值依次为 ：6,2.59808nS；12,3nS；24,3.10583nS,此时满足 3.10S ,输出24n ,故选 B 四、迁移运用四、迁移运用 1 【2019 届广东省数学模拟试卷（一)】设x118，x219，x320，x421，x522，将这 5 个数依次输 入如图所示的程序框图运行，则输出S的值及其统计意义分别是（ ） AS2，这 5 个数据的方差BS2，这 5 个数据的平均数 CS10，这 5 个数据的方差DS10，这 5 个数据的平均数 【答案】A 【解析】根据程序框图，输出的 S 是 x118，x219，x320，x421，x522 这 5
9、 个数据的方差，因为 ， 由方差的公式 S 故选：A 2 【河南省新乡市 2019 届高三下学期第二次模拟】某程序框图如图所示，则该程序的功能是（ ） A为了计算 B为了计算 C为了计算 D为了计算 【答案】A 【解析】运行程序，判断是 ；，判断是， 以此类推， 表达式的最后一项的指数比下一个 要少 ，故，退出程序，输 出 的值.所以程序框图是为了计算，故选 A. 3 【贵州省贵阳市普通中学 2019 届高三年级第一学期期末】秦九韶是我国宋时期的数学家，他在所著的 数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用 秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输
10、入x的值为 2，则输出v的值为 ABCD 【答案】C 【解析】一次循环，成立，则， 第二次循环，成立，则， 第三次循环，成立，则， 第四次循环，成立，则， 第五次循环，成立，则， 第六次循环，不成立，输出， 故选：C 4【陕西省榆林市 2019 届高三第二次模拟】为计算， 设 计了如图所示的程序框图，则空白框中应填入（ ） ABCD 【答案】A 【解析】由程序框图的运行，可得：S0，i0 满足判断框内的条件，执行循环体，a1，S1，i1 满足判断框内的条件，执行循环体，a2（2） ，S1+2（2） ，i2 满足判断框内的条件，执行循环体，a3（2）2，S1+2（2）+3（2）2，i3 观察规律
11、可知 ： 满足判断框内的条件， 执行循环体， a99 （2） 99， S1+2 （2） +3 （2）2+100 （2）99，i100，此时，应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出 S 的值，所以判断框中的条件应 是 i100 故选：A 5 【晋冀鲁豫名校 2019 届高三上学期期末】若执行如图所示的程序框图，则输出 S 的值为( ) ABCD 【答案】C 【解析】由题意结合流程图可知流程图输出结果为， ， . 本题选择C选项. 6 【山东省日照市 2018 届高三 4 月校际联考】条形码是由一组规则排列的条、空及其对应的代码组成,用 来表示一定的信息,我们通常见的条形码是“”通用代码,它是由
12、从左到右排列的个数字（用 表示）组成,这些数字分别表示前缀部分、制造厂代码、商品代码和校检码,其中是校验码,用 来校验前个数字代码的正确性.图 （1） 是计算第位校验码的程序框图,框图中符号表示不超过的最 大整数（例如）.现有一条形码如图（2）所示（）,其中第 个数被污损,那么 这个被污损数字是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析由流程图可知,S表示的结果为前 12 项中所有偶数项之和, T表示的结果为前 12 项中所有奇数项之和,则： S=7+7+4+1+9+1=29,T=9+a3+0+0+1+9=19+a3, M=329+19+a3=106+a3,检验知,可知, 结合选项进行
13、检验： 若,则,不合题意； 若,则,符合题意； 若,则,不合题意； 若,则,不合题意. 本题选择B选项. 7 【2018 年 4 月高三第二次全国大联考】我国古代数学著作九章算术中记述道：今有良马与驽马发长 安至齐,齐去长安一千一百二十五里,良马初日行一百零三里,日增十三里；驽马初日行九十七里,日减半里, 良马先至齐,复还迎驽马,二马相逢问：几日相逢？结合二马相逢的问题设计了一个程序框图如图所示,已 知 为良马第 天行驶的路程, 为驽马第 天行驶的路程, 为良马、 驽马 天行驶的路程和,若执行该程序框图 后输出的结果为,则实数的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由题意,得
14、良马 天的行程为,驽马 天的行程为,所以良马、驽马 天 的 总 路 程 为,当时 ,； 当时 ,.因 为 输 出,所 以 故选 C. 8.考拉兹猜想又名31n猜想,是指对于每一个正整数,如果它是奇数,则对它乘 3 再加 1；如果它是偶数,则 对它除以 2.如此循环,最终都能得到 1.阅读如图所示的程序框图,运行相应程序,输出的结果i （ ） A4 B5 C.6 D7 【答案】D 【解析】模拟算法：开始：10,1ai,1a 不成立；a是奇数,不成立,5,2ai,1a 不成立； a是奇数,成立,16,3ai,1a 不成立；a是奇数,不成立,8,4ai,1a 不成立；a是奇数,不成 立,4,5ai,
15、1a 不成立；a是奇数,不成立,2,6ai,1a 不成立；a是奇数,不成立,1,7ai, 1a 成立；输出7i ,结束算法.故选 D. 9执行如图所示的程序框图,若输出3y,则输入角（ ） A 6 B- 6 C 3 D- 3 【答案】D 【解析】对于选项A,当 6 时,所以 1 sinsin 62 y ,则输出 1 2 y ,不符合题意；对于选项B,当 6 时,所以 1 sinsin() 62 y ,则输出 1 2 y ,不符合题意；对于选项C,当 3 时,所以 tantan3 3 y ,则 输 出 3y ,不 符 合 题 意 ； 对 于 选 项 D,当3 时 ,所 以 tantan()3 3
16、 y ,则输出 3y ,符合题意；故应选D 10.阅读程序框图,如果输出的函数值在区间 1 ,4 2 内,那么输入的实数x的取值范围是( ) A. 2,2 B. 1,2 C. , 21, D. , 22, 【答案】C 【解析】 该程序框图的作用是计算分段函数 2 ,2,2 2, 22, x x f x x 的函数值 当2,2x 时, 由 1 2,4 2 x 得1,2x ,当, 22,x 时, 1 2,2 2 f x ,所以输入的实数x的取值范 围是, 21, ,故选 C. 11.某班有 24 名男生和 26 名女生,数据a1,a2,a50是该班 50 名学生在一次数学学业水平模拟考试中的成 绩(成绩不为 0),如图所示的程序用来同时统计全班成绩的平均数：A,男生平均分：M,女生平均分：W.为 了便于区别性别,输入时,男生的成绩用正数,女生的成绩用其成绩的相反数,那么在图中空白的判断框和处 理框中,应分别填入下列四个选项中的( ) AT 0？,AMW 50 BT0？,AMW 50 【答案】D 【解析】 依题意得,全班成绩的平均数应等于班级中所有的学生的成绩总和除以总人数,注意到当T0 时, 输 入的成绩表示的是某男生的成绩；当T2 015,当n10时,S102112552 015,结合 n（n1） 2 程序框图可知输出的n11.