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1、问题 45 复数与其他知识的交汇问题问题 45 复数与其他知识的交汇问题 一、考情分析 复数在高考数学中所占的比重较小且难度不很大,一般以选择题或填空题的形式进行考查,但作为一个必考 的知识点,它的考查方式却十分灵活,具有常考常新,活而不难的特点.由于复数具有代数和三角两种形式,它 又与复平面的点之间建立起一一对应的关系,从而成为数形结合的重要桥梁,故而它常与其他知识点相结合, 比如与简易逻辑、与方程、与函数、与三角、与平面向量、与解析几何等等. 二、经验分享 1. 解决复数概念问题的方法及注意事项 (1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题,只需把复数化为代
2、数 形式,列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可 (2)解题时一定要先看复数是否为abi(a,bR R)的形式,以确定实部和虚部 2.复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略 (1)复数的乘法复数的乘法类似于多项式的四则运算,可将含有虚数单位 i 的看作一类同类项,不含 i 的看 作另一类同类项,分别合并即可 (2)复数的除法除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数,解题中要注意把 i 的幂写成最简形式. (3)复数的运算与复数概念的综合题先利用复数的运算法则化简,一般化为abi(a,bR R)的形式,再结合 相关定义解答 (4)复数的运算与复数几何意义的综合题先利用复数的运算法则化简,一般
3、化为abi(a,bR R)的形式,再 结合复数的几何意义解答 (5)复数的综合运算分别运用复数的乘法、除法法则进行运算,要注意运算顺序,要先算乘除,后算加减,有 括号要先算括号里面的 3.因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的,要求某个向量对应的复数时,只要找出所求向 量的始点和终点,或者用向量相等直接给出结论即可 三、知识拓展三、知识拓展 复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行 如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义,即,.OZ OZ1 OZ2 Z1Z2 OZ2 OZ1 四、题型分析四、题型分析 一、复数与集合、简易逻辑的结合一、复数与集合、
4、简易逻辑的结合 【例 1】设xR,则“x=1”是“复数 z=（x21）+（x+1）i 为纯虚数”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】 根据题意中利用定义来判断,即先判断由1x 是否可以推出复数 2 (1)(1)zxxi,再判断由复 数 2 (1)(1)zxxi是否可以推出1x . 【解析】 若 x=1,则iixxz2) 1() 1( 2 ,反之若ixxz) 1() 1( 2 ,则 01 01 2 x x 解得 x=1,所以答 案选 C. 【点评】本题考查了复数的概念和充分条件必要条件的判定,判断充要条件可从两方面考虑:一是解这类问 题必
5、须明确哪个是条件,哪个是结论；二是判断由条件是事可以推出结论,由结论是否可以推出条件,应用充 分不必要、必要不充分、充要条件、既不充分也不必要条件的定义加以说明. 【牛刀小试】若集合 234 i,i ,i ,iA （i是虚数单位）,1, 1B ,则AB （）. A 1 B 1 C1, 1 D 【答案】C 【解析】由已知得i, 1, i,1A ,故1, 1AB 故选 C 二、复数与三角函数的结合二、复数与三角函数的结合 【例 2】复数 22 cossin 33 zi 在复平面内对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】先化简所给复数,再利用复数的几何意义确定 z
6、在复平面内对应的点. 【答案】B 【解析】由题意可知, 21 cos 32 , 23 sin 32 ,则 13 z 22 i ,对应的点在第二象限. 故选 B. 【小试牛刀】若zsin i 是纯虚数,则 tan的值为( ) 3 5 (cos 4 5) ( 4) A7 B C7 D7 或 1 7 1 7 【答案】 【解析】A 由于zsin i 是纯虚数,故 sin ,cos , 3 5 (cos 4 5) 3 5 4 5 cos .故 tan .tan7,故选 A. 4 5 3 4 ( 4) tan tan 4 1tan tan 4 三、复数与解析几何的结合三、复数与解析几何的结合 【例 3】复
7、数 z 满足方程( 1)zi 4,那么复数 z 在复平面内对应的点 P 的轨迹方程_ 【分析】根据题中所给条件,求复数z,不难想到设出zxyi,代入条件：( 1)4zi ,可得： (1)(1)4xyi,运用复数模的计算公式化简为： 22 (1)(1)4xy,即可求出点P的轨迹方程 为 22 (1)(1)16xy. 【 解 析 】 设,zxyi则 由( 1)4zi 得(1)(1)4xyi,即 22 (1)(1)4xy,则 22 (1)(1)16xy,所以点P的轨迹方程为 22 (1)(1)16xy 【点评】本题考查了轨迹方程、复数的几何意义和复数模长的计算,体现了数形结合数学思想的运用.处理 这
8、类问题常有两种方法：一,利用复数的代数形式进行求解,即“化虚为实”,思路自然清晰,但运算较烦,本 题所用就是此法；二,利用几何意义求解,显得简捷明快,关于复数模的问题,一般可化为复平面内两点间的 距离来解决,当然这还是要通过大量训练深入思考领悟. 【小试牛刀】若zC,且221zi,则22zi的最小值为 【答案】3 【解析】：设 ( ,)zabi a bR , 则2222(2)(2)ziabiiabi 22 (2)(2)1ab,所以 22 (2)(2)1ab 这 表 示 的 是 一 个 以 圆 心 为( 2,2),半 径 为1 的 圆 而 22 2222(2)(2)(2)(2)ziabiiabi
9、ab,这表示圆上任意一点( , )a b到点 (2,2)的距离由于圆心为( 2,2)到点(2,2)的距离为： 2 44d ,所以22zi的最小值为 4 13dr ,故应填3 四、复数与平面向量的结合四、复数与平面向量的结合 【例 4】在复平面内,记复数3i对应的向量为OZ ,若向量OZ 绕坐标原点逆时针旋转60 得到向量 OZ 所对应的复数为 【分析】根据题中所给复数 3i 对应的向量为OZ ,可得出与 x 轴的夹角： 0 30XOZ ,再由旋转60, 根据旋转的特点：长度不变,即：Z 点在y轴上,到原点的距离为 213 ,进而求出相应的复数 i 2 . 【解析】1 , 3OZ, 0 30XO
10、Z,将向量OZ 绕坐标原点逆时针旋转60,则Z 点在y轴上,到原点 的距离为 213 ,所以对应点的复数为 i 2. 【点评】本题考查了复数、平面向量及复平面的知识.复数与平面向量有着一脉相承的“血缘”的关系,二 者的“结合交汇”是近年来高考的一个热点,既是对考纲要求的呼应,也是复数考查方式创新的一种体现. 【小试牛刀】设1zi （i为虚数单位）,若复数 2 2 z z 在复平面内对应的向量为OZ ,则向量OZ 的摸是 （ ） A.1 B.2 C.3 D. 2 【答案】B 【解析】 2 2 22 1111 211 1 ziziiii zi ,则向量OZ 的摸是12i 五、迁移运用五、迁移运用
11、1 【湖南省长沙市 2019 届上学期高三统一检测】在复平面内表示复数的点位于第一象限，则实数的 取值范围是（ ） A B C D 【答案】D 【解析】 ,因为在第一象限内,所以满足 所以,故选 D. 2 【黑龙江省哈尔滨市第三中学 2019 届高三上学期期末】阅读下面的程序框图，输出结果 的值为（其中 为虚数单位，） ABCD 【答案】D 【解析】阅读、并执行程序框图可知， 该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值， 根据虚数单位的乘方运算法则可得， ，故选 D . 3 【上海市静安区 2019 届高三上学期期末】已知下列 4 个命题： 若复数的模相等，则是共轭复数 都是复数，若是虚数，
12、则的共轭复数 复数 是实数的充要条件是 （ 是 的共轭复数） 已知复数（ 是虚数单位） ，它们对应的点分别为A，B，C. O为坐标原 点若（） ，则. 则其中正确命题的个数为（ ）. A1 个 B2个 C3 个 D4 个 【答案】B 【解析】1 号可能复数相等，故错误。2 号明显正确，因为如果为共轭复数，则相加为实数，不会为虚数。4 号,计算得到 b=0,故正确。3 号，由题可知， ，建立等式, 建立等式，得到，解得，故错误。故选 B。 4 【湖南省株洲市 2019 届高三教学质量统一检测】欧拉公式（ 为虚数单位）是由瑞士著 名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和
13、指数函数的关系，根据欧拉 公式可知，表示的复数在复平面中位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【答案】B 【解析】 因为，所以对应点，在第二象限，选 B. 5 【福建省莆田市 2018 届高三第二次质量检测】设,则“”是“复数在复平面内对应的 点在第二象限”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】,其对应的点的坐标为,若该点在第二象限,可得,即,又 是的真子集,故为必要非充分条件,故选 B. 6.在复平面内,复数 34i,i(2i)对应的点分别A,B,则线段AB的中点C对应的复数为( ) A2
14、2i B22iC1i D1i 【答案】 D 【解析】i(2i)12i, 复数 34i,i(2i)对应的点A,B的坐标分别为A(3,4),B(1,2) 线段AB的中点C的坐标为(1,1) 则线段AB的中点C对应的复数为 1i.故选 D. 7.【广西柳州市 2017 届高三 10 月模拟】设i是虚数单位,复数 3 2 1 i z i ,则复数z在复平面内所对应的点位 于（ ） A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 【答案】D 【解析】 3 22 (1) 1 2 12 iii zi i ,所对应的点位于第四象限,选 D. 8.设i为虚数单位,则 6 (i)x的展开式中含 4 x的项为（）. A.
15、 4 15x B. 4 15x C. 4 20ix D. 4 20ix 【答案】A 【解析】二项式 6 ix展开的通项 6 16 Cr r r r Txi ,则其展开式中含 4 x是当64r,即2r ,则展开式 中含 4 x的项为 24 24 6 Ci15xx ,故选 A. 9 【2016 届山东省实验中学高三上学期第一次诊断】在复平面内,复数 2 1 i 对应的点到直线1yx的距 离是（ ） A 2 2 B2 C2 D2 2 【答案】A 【解析】 22(1) 1 1(1)(1) i i iii ,所以该复数对应的点为(1,1),该点到直线1yx的距离为 22 1 1 12 2 1( 1) d
16、 ,故选 A 10 【2015 陕西高考理 11】设复数(1)zxyi( ,)x yR,若| 1z,则y x的概率为（） A 31 42 B 11 42 C 11 2 D 11 2 【答案】D 【解析】由| 1z可知, 22 22 1111xyxy. 所以y x表示所示的阴影部分, 所以 2 2 11 11 1 11 42 142 S P S 总 总 . 故选 D. 11.复数z1,z2满足z1m(4m2)i,z22cos (3sin )i(m,R R),并且z1z2,则的取值 范围是( ) A1,1 B. C. D. 9 16，1 9 16，7 9 16，7 【答案】C 【解析】由复数相等的
17、充要条件可得Error!Error!化简得 44cos23sin ,由此可得4cos2 3sin 44(1sin2)3sin 44sin23sin 4 2 ,因为 sin (sin 3 8) 9 16 1,1,所以 4sin23sin . 9 16，7 12.设f(n) nn(nN N*),则集合f(n)中元素的个数为( ) ( 1i 1i) ( 1i 1i) A1 B2 C3 D无数个 【答案】 C 【解析】 f(n) nnin(i)n, ( 1i 1i) ( 1i 1i) f(1)0,f(2)2,f(3)0,f(4)2,f(5)0, 集合中共有 3 个元素 13.复数 Z 与点 Z 对应,
18、 21,Z Z为两个给定的复数, 21 ZZ ,则 21 ZZZZ决定的 Z 的轨迹是 （ ） A 过 21,Z Z的直线 B.线段 21Z Z的中垂线 C.双曲线的一支 D.以 Z 21,Z 为端点的圆 【答案】B 【解析】 试题分析 ： 由复数的几何意义可知点 Z 到点 1 Z的距离为| 1 ZZ ,点 Z 到点 2 Z的距离为| 2 ZZ ,因此点 Z 到点 1 Z的距离等于点 Z 到点 2 Z的距离,点 Z 在线段 21Z Z的中垂线上,答案选 B. 14.已知集合M1,m,3(m25m6)i,N1,3,若MN3,则实数m的值为_ 【答案】 3 或 6 【解析】 MN3,3M且1M,
19、m1,3(m25m6)i3 或m3, m25m60 且m1 或m3,解得m6 或m3. 15已知复数 2 (2)(9)izmm在复平面内对应的点位于第四象限,则实数m的取值范围是 【答案】(2,3) 【解析】由已知得 2 20 90 m m ,解得32 m. 16.已知z是复数,z2i、均为实数(i 为虚数单位),且复数(zai)2在复平面内对应的点在第一象限, z 2i 实数a的取值范围是 【答案】(2,6) 【解析】设zxyi(x、yR R), z2ix(y2)i,由题意得y2. (x2i)(2i) (2x2) (x4)i, z 2i x2i 2i 1 5 1 5 1 5 由题意得x4.z
20、42i. (zai)2(124aa2)8(a2)i, 根据条件,可知Error!Error! 解得 2a6,实数a的取值范围是(2,6) 17在ABC 中,a,b,c 为角 A,B,C 所对的边长,z1bia,z2cos ABicos若复数 z1z2在复平面内 对应的点在虚轴上,试判断ABC 的形状 【答案】ABC 为等腰三角形或直角三角形 【解析】由题意知 iAbBaBbAaBiAbiazzcoscoscoscoscoscos 21 复数对应的点AbBaBbAacoscos,coscos在虚轴上 所以0coscosBbAa,且0coscosAbBa 由正弦定理得0cossincossinBBAA,即BA2sin2sin 由于22 ,20BA,BABA22 ,22 即 2 , BABA或 所以ABC 为等腰三角形或直角三角形