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1、函数的应用函数的应用 1如图是函数f(x)x2axb的部分图象，则函数g(x)ln xf(x)的零点所在的区间是( ) A. B. ( 1 4， 1 2) ( 1 2，1) C(1,2) D(2,3) 2某企业为节能减排，用 9万元购进一台新设备用于生产，第一年需运营费用 2 万元，从第二年起，每年 运营费用均比上一年增加 3 万元，该设备每年生产的收入均为 21 万元，设该设备使用了n(nN N*)年后，盈 利总额达到最大值(盈利额等于收入减去成本)，则n等于( ) A6 B7 C8 D7 或 8 答案 B 解析 盈利总额为 21n9 2n 1 2 nn1 3 n2n9， 3 2 41 2
2、由于对称轴为n，所以当n7 时，取最大值，故选 B. 41 6 3已知定义在 R R 上的奇函数f(x)满足当x0 时，f(x)2x2x4，则f(x)的零点个数是( ) A2 B3 C4 D5 答案 B 解析 由于函数f(x)是定义在 R R 上的奇函数， 故f(0)0. 由于ff(2)0 时有 1 个零点，根据奇函数的对称性可知， 当x0 时，x0)， 1 2 所以f(x)关于y轴对称的函数为h(x)f(x)x22x (x0)， 1 2 由题意得x22x x2log2(xa)在x0 时有解，作出函数的图象如图所示， 1 2 当a0 时，函数y2x 与ylog2(xa)的图象在(0，)上必有交
3、点，符合题意， 1 2 若a0，若两函数在(0，)上有交点，则 log2a0 时，由对称性知， x2x32,00 且a1)在 R R 上单调递减，且关于x的方程|f(x)|2x恰好有两个不相 等的实数解，则a的取值范围是_ 答案 1 3， 2 3 3 4 解析 画出函数y|f(x)|的图象如图， 由函数yf(x)是单调递减函数可知， 03aloga(01)1， 即a ，由 loga(x01)10 得，x0 12，所以当x0 时，y2x与y|f(x)|图象有且仅且一个交 1 3 1 a 点 所以当 23a， 即 a 时， 函数y|f(x)|与函数y2x图象恰有两个不同的交点， 即方程|f(x)|
4、2 1 3 2 3 x恰好有两个不相等的实数解， 结合图象可知当直线y2x与函数yx23a相切时， 得x2x3a2 0.由14(3a2)0，解得a ，此时也满足题意 3 4 综上，所求实数a的取值范围是. 1 3， 2 3 3 4 23 在如图所示的锐角三角形空地中， 欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)， 则其边长x为_m. 押题依据 函数的实际应用是高考的必考点，函数的最值问题是应用问题考查的热点 答案 20 解析 如图， 过A作AHBC交BC于点H，交DE于点F， 易知，AFx， DE BC x 40 AD AB AF AH FH40x(00 时，存在一个零点，故当x0 时有两个零
5、点，f(x)x33mx2(x0)， f(x)3x23m(x0)， 若m0，则f(x)0，函数f(x)在(，0上单调递增，不会有两个零点，故舍去； 当m0 时，函数f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，(，m)(m，0) 又f(0)20 时有两个零点，解得m1，(m) 故m的取值范围是(1，) 16对于函数f(x)与g(x)，若存在xR R|f(x)0，xR R|g(x)0，使得|1，则称 函数f(x)与g(x)互为“零点密切函数” ，现已知函数f(x)ex2x3 与g(x)x2axx4 互为“零点 密切函数” ，则实数a的取值范围是_ 答案 3,4 解析 由题意知，函数f(x)的零点为x
6、2， 设g(x)满足|2|1 的零点为， 因为|2|1，解得 13. 因为函数g(x)的图象开口向上， 所以要使g(x)的一个零点落在区间1,3上， 则需满足g(1)g(3)0 或Error!Error! 解得a4 或 3a，得 3a4. 10 3 10 3 故实数a的取值范围为3,4 17食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给 消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入 200 万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚 至少要投入 20 万元， 其中甲大棚种西红柿， 乙大棚种黄瓜， 根据以往的种菜经验， 发现种西红柿的年收益P、 种黄瓜的年收益Q与投入a(单位 ： 万元)满足P804，Qa120.设甲大棚的投入为x(单位 ： 万元)，2a 1 4 每年两个大棚的总收益为f(x)(单位：万元) (1)求f(50)的值； (2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f(x)最大？ 解 (1)因为甲大棚投入 50 万元，则乙大棚投入 150 万元， 所以f(50)804 150120277.5.2 50 1 4