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1、数列的综合问题数列的综合问题 1删去正整数数列 1,2,3， 中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个数列的第 2 018 项是( ) A2 062 B2 063 C2 064 D2 065 答案 B 解析 由题意可得， 这些数可以写为 12,2,3,22,5,6,7,8,32， 第k个平方数与第k1 个平方数之间有 2k 个正整数， 而数列 12,2,3,22,5,6,7,8,32， 452共有 2 025 项， 去掉 45 个平方数后， 还剩余 2 025451 980(个)数，所以去掉平方数 后第 2 018 项应在 2 025 后的第 38 个数，即是原来数列的第 2 063 项，即为
2、 2 063. 2已知数列an满足 010 的n的最小值为( ) A60 B61 C121 D122 答案 B 解析 由a8a40，得a8， 4 12 12 1 4 a2 1 所以a88(n1)8n， 2n 4 a2 n 所以 2a 48n4， (a n 2 an) 2n 4 a2 n 所以an2， 2 an 2n1 即a2an20， 2n 2n1 所以an， 22n1 22n1 2 2n12n1 因为 010 得11，2n1 所以n60. an2n23n，由题意可知， 项1 2345678910 个位数5474509290 每 10 项中有 4 项能被 5 整除，数列an的前 100 项中，
3、能被 5 整除的项数为 40. 7 设x1是函数f(x)an1x3anx2an2x1(nN N*)的极值点， 数列an满足 a11，a22，bn log2an1， 若x表示不超过x的最大整数，则2 018 b1b2 2 018 b2b3 2 018 b2 018b2 019 等于( ) A2 017 B2 018 C2 019 D2 020 答案 A 解析 由题意可得f(x)3an1x22anxan2， x1 是函数f(x)的极值点， f(1)3an12anan20， 即an23an12an0. an2an12，(an1an) a2a11，a3a2212，a4a32222，anan12n2，
4、以上各式累加可得an2n1. bnlog2an1log22nn. 2 018 b1b2 2 018 b2b3 2 018 b2 018b2 019 2 018( 1 1 2 1 2 3 1 2 018 2 019) 2 0182 0182 017. (1 1 2 019) 2 018 2 019 1 2 019 2 017. 2 018 b1b2 2 018 b2b3 2 018 b2 018b2 019 8对于数列an，定义Hn为an的“优值” ，现在已知某数列an的“优值”Hn2n1， a12a22n1an n 记数列ankn的前n项和为Sn，若SnS5对任意的n恒成立，则实数k的取值范围
5、为_ 答案 7 3， 12 5 解析 由题意可知2n1， a12a22n1an n a12a22n1ann2n1， a12a22n2an1(n1)2n， 由，得 2n1ann2n1(n1)2n(n2，nN N*)， 则an2n2(n2)， 又当n1 时，a14，符合上式， an2n2(nN N*)，ankn(2k)n2， 令bn(2k)n2， SnS5，b50，b60，解得 k， 7 3 12 5 k的取值范围是. 7 3， 12 5 9已知数列an的前n项和为Sn，Sn (an1)，则(4n21)的最小值为_ 4 3 ( 16 an1) 答案 4 解析 Sn (an1)，Sn1 (an11)
6、(n2)， 4 3 4 3 anSnSn1 (anan1)， 4 3 an4an1，又a1S1 (a11)， 4 3 a14，an是首项为 4，公比为 4 的等比数列， an4n， (4n21) ( 16 an1) ( 4n 161)( 16 4n1) 2224， 4n 16 16 4n 当且仅当n2 时取“” 10 已知数列an的首项a1a， 其前n项和为Sn， 且满足SnSn14n2(n2，nN N*)， 若对任意nN N*，an2)，求函数f(n)的最小值； 1 na1 2 na2 3 na3 n nan (3)设bn，Sn表示数列bn的前n项和， 试问 ： 是否存在关于n的整式g(n)
7、， 使得S1S2S3Sn1(Sn 1 an 1)g(n)对于一切不小于 2 的自然数n恒成立？若存在，写出g(n)的解析式，并加以证明；若不存在， 请说明理由 解 (1)点P(an，an1)在直线xy10 上， 即an1an1，且a11， 数列an是以 1 为首项，1 为公差的等差数列， an1(n1)1n(nN N*) (3)bn Sn1 ， 1 n 1 2 1 3 1 n SnSn1 (n2)， 1 n 即nSn(n1)Sn1Sn11， (n1)Sn1(n2)Sn2Sn21，2S2S1S11， nSnS1S1S2Sn1n1， S1S2Sn1nSnn (Sn1)n(n2)， g(n)n. 1
8、2已知数列an的首项为 1，Sn为数列an的前n项和，Sn1qSn1，其中q0，nN N*. (1)若 2a2，a3，a22 成等差数列，求数列an的通项公式； (2)设双曲线x21 的离心率为en，且e2 ，证明：e1e2en. y2 a2 n 5 3 4n3n 3n1 (1)解 由已知Sn1qSn1， 得Sn2qSn11， 两式相减得到an2qan1，n1.又由S2qS11得到a2 qa1，故an1qan对所有n1 都成立 所以，数列an是首项为 1，公比为q的等比数列 从而anqn1. 由 2a2，a3，a22 成等差数列， 可得 2a33a22， 即 2q23q2，则(2q1)(q2)
9、0， 由已知，q0，故q2.所以an2n1(nN N*) (2)证明 由(1)可知，anqn1. 所以双曲线x21 的离心率 y2 a2 n en.1a2 n 1q2n1 由e2 ，解得q .1q2 5 3 4 3 因为 1q2(k1)q2(k1)， 所以qk1(kN N*)1q2k1 于是e1e2en1qqn1. qn1 q1 故e1e2en. 4n3n 3n1 13.已知数列an的前n项和Sn满足关系式Snkan1，k为不等于 0 的常数 (1)试判断数列an是否为等比数列； (2)若a2 ，a31. 1 2 求数列an的通项公式及前n项和Sn的表达式； 设bnlog2Sn， 数列cn满足
10、cnbn22 n b ， 数列cn的前n项和为Tn， 当n1时， 求使Tn0，因为nN N* *且n1，故n9， 从而最小正整数n的值是 10. 14已知数列an的前n项和为Sn，且满足Snn2(an2)(nN N*) (1)证明：数列an1为等比数列； (2)若bnanlog2(an1)，数列bn的前n项和为Tn，求Tn. (1)证明 Snn2(an2)， 当n2 时，Sn1(n1)2(an12)， 两式相减，得an12an2an1， an2an11，an12(an11)， 2(n2)(常数) an1 an11 又当n1 时，a112(a12)， 得a13，a112， 数列an1是以 2 为
11、首项，2 为公比的等比数列 (2)解 由(1)知，an122n12n， an2n1， 又bnanlog2(an1)， bnn(2n1)， Tnb1b2b3bn (12222323n2n)(123n)， 设An12222323(n1)2n1n2n， 则 2An122223(n1)2nn2n1， 两式相减，得 An222232nn2n1 n2n1， 212n 12 An(n1)2n12. 又 123n， nn1 2 Tn(n1)2n12(nN N*) nn1 2 15已知数列an满足a12，an12(Snn1)(nN N*)，令bnan1. (1)求证：bn是等比数列； (2)记数列nbn的前n项
12、和为Tn，求Tn； (3)求证： ， 1 ak 1 3k1 1 3k 得 1 a1 1 a2 1 a3 1 an 1 3 1 32 1 3n . 1 3(1 1 3n) 11 3 1 2 1 2 1 3n 又 1 ak 1 3k1 3k11 3k13k11 3k1 3k13k11 ， 3 2( 1 3k1 1 3k11) 所以 Error!Error! 1 a1 1 a2 1 a3 1 an 1 2 3 2 Error!Error! 1 2 3 2( 1 321 1 3n11) ， 1 2 3 16 3 2 1 3n11 11 16 故 . 1 2 1 2 3n 1 a1 1 a2 1 a3 1 an 11 16