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1、圆锥曲线圆锥曲线 1已知F1，F2是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，过F2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A， x2 a2 y2 b2 交另一条渐近线于点B，且，则该双曲线的离心率为( )AF2 1 3F 2B A. B. C. D2 6 2 5 2 3 答案 A 2设椭圆1(ab0)的焦点为F1，F2，P是椭圆上一点，且F1PF2，若F1PF2的外接圆和内切 x2 a2 y2 b2 3 圆的半径分别为R，r，当R4r时，椭圆的离心率为( ) A. B. C. D. 4 5 2 3 1 2 2 5 答案 B 解析 椭圆1(ab0)的焦点为F1(c,0)，F2(c,0)，P为椭圆上一点，且
2、F1PF2，|F1F2|2c， x2 a2 y2 b2 3 根据正弦定理2R， |F1F2| sinF1PF2 2c sin 3 Rc， 23 3 R4r，rc， 3 6 由余弦定理， 2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cosF1PF2， (2c) 由|PF1|PF2|2a，F1PF2， 3 可得|PF1|PF2|， 4 3(a 2c2) 则由三角形面积公式r |PF1|PF2|sinF1PF2， 1 2(|PF 1|PF2|F1F2|) 1 2 可得c，(2a2c) 3 6 4 3(a 2c2) 3 2 e . c a 2 3 32000 多年前，古希腊大数学家阿波罗尼奥斯(Ap
3、ollonius)发现：平面截圆锥的截口曲线是圆锥曲线已 知圆锥的高为PH，AB为地面直径，顶角为 2，那么不过顶点P的平面与PH夹角a时，截口曲线为 2 椭圆；与PH夹角a时，截口曲线为抛物线；与PH夹角a0 时，截口曲线为双曲线如图，底面内 的直线AMAB，过AM的平面截圆锥得到的曲线为椭圆，其中与PB的交点为C，可知AC为长轴那么当C 在线段PB上运动时，截口曲线的短轴端点的轨迹为( ) A圆的一部分 B椭圆的一部分 C双曲线的一部分 D抛物线的一部分 答案 D 解析 如图，因为对于给定的椭圆来说，短轴的端点Q到焦点F的距离等于长半轴a，但短轴的端点Q到直 线AM的距离也是a， 即说明短
4、轴的端点Q到定点F的距离等于到定直线AM的距离， 且点F不在定直线AM上， 所以由抛物线的定义可知，短轴的端点的轨迹是抛物线的一部分，故选 D. 4过双曲线1(a0，b0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，D为虚轴的一个端 x2 a2 y2 b2 点，且ABD为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为_ 答案 (1，)(，)222 解析 设双曲线1(a0，b0)的左焦点F1(c,0)， x2 a2 y2 b2 令xc，可得yb， c2 a21 b2 a 设A，B，D(0，b)， (c， b2 a) (c， b2 a) 可得，AD (c，b b2 a) ，AB (0， 2b2 a
5、) DB (c，b b2 a) 若DAB为钝角，则b，即有a2b2c2a2， 可得c21，可得 10， 由e ，可得e44e220， c a 又e1，可得e； 22 又0，AB DB 2b2 a(b b2 a) DBA不可能为钝角 综上可得，e的取值范围为(1，)(，)222 5已知直线MN过椭圆y21 的左焦点F，与椭圆交于M，N两点，直线PQ过原点O与MN平行，且与椭 x2 2 圆交于P，Q两点，则_. |PQ|2 |MN| 答案 22 解析 方法一 特殊化，设MNx轴， 则|MN|，|PQ|24，2. 2b2 a 2 2 2 |PQ|2 |MN| 4 2 2 方法二 由题意知F(1,0)
6、，当直线MN的斜率不存在时，|MN|，|PQ|2b2，则2； 2b2 a 2 |PQ|2 |MN| 2 当直线MN的斜率存在时，设直线MN的斜率为k， 则MN的方程为yk(x1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 联立方程Error!Error! 整理得(2k21)x24k2x2k220， 8k280. 由根与系数的关系，得 x1x2，x1x2， 4k2 2k21 2k22 2k21 则|MN|1k2x1x224x1x2 . 2 2 k21 2k21 直线PQ的方程为ykx，P(x3，y3)，Q(x4，y4)， 则Error!Error!解得x2，y2， 2 12k2 2k2 12k2 则
7、|OP|2xy， 2 32 3 21k2 12k2 又|PQ|2|OP|， 所以|PQ|24|OP|2， 81k2 12k2 所以2. |PQ|2 |MN| 2 综上，2. |PQ|2 |MN| 2 6 已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F， 过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点， 且直线l与圆x2px y2p20 交于C，D两点，若|AB|3|CD|，则直线l的斜率为_ 3 4 答案 2 2 解析 由题意得F，由x2pxy2p20，配方得 2y2p2， ( p 2，0) 3 4 (x p 2) 所以直线l过圆心，可得|CD|2p， ( p 2，0) 若直线l的斜率不存在，则l：x ，
8、|AB|2p，|CD|2p，不符合题意， p 2 直线l的斜率存在 可设直线l的方程为yk，A(x1，y1)，B(x2，y2)， (x p 2) 联立Error!Error! 化为x2x0， (p 2p k2) p2 4 所以x1x2p， 2p k2 所以|AB|x1x2p2p， 2p k2 由|AB|3|CD|，所以 2p6p， 2p k2 可得k2 ，所以k. 1 2 2 2 7已知A，B是椭圆C上关于原点对称的两点，若椭圆C上存在点P，使得直线PA，PB斜率的绝对值之和 为 1，则椭圆C的离心率的取值范围是_ 答案 3 2 ，1) 由题意得1， 2b a 所以a24b24a24c2，即
9、3a24c2， 所以e2 ， 3 4 又因为 0b0)的离心率为 ，且点在该椭圆上 x2 a2 y2 b2 1 2 (1， 3 2) (1)求椭圆C的方程； (2)过椭圆C的左焦点F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若AOB的面积为，求圆心在原点O且 62 7 与直线l相切的圆的方程 (2)由(1)知F1(1,0)，设直线l的方程为xty1， 由Error!Error!消去x，得(43t2)y26ty90， 显然0 恒成立，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则y1y2，y1y2， 6t 43t2 9 43t2 所以|y1y2|y1y224y1y2 ， 36t2 43t22 36 43t2 12t21 43t2 所以SAOB |F1O|y1y2| 1 2 ， 6t21 43t2 62 7 化简得 18t4t2170， 即(18t217)(t21)0， 解得t1，t(舍去) 2 12 2 17 18 又圆O的半径r， |0t 01| 1t2 1 1t2 所以r，故圆O的方程为x2y2 . 2 2 1 2