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1、圆锥曲线的综合问题圆锥曲线的综合问题 【2019 年高考考纲解读】【2019 年高考考纲解读】 1.圆锥曲线的综合问题一般以直线和圆锥曲线的位置关系为载体， 以参数处理为核心， 考查范围、 最值问题， 定点、定值问题，探索性问题. 2.试题解答往往要综合应用函数与方程、数形结合、分类讨论等多种思想方法，对计算能力也有较高要求， 难度较大 【重点、难点剖析】【重点、难点剖析】 一、 范围、最值问题 圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值)，或者利用式子 的几何意义求解 二、定点、定值问题 1由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：yy0k(xx0)，
2、则直线必过定点(x0，y0)；若得 到了直线方程的斜截式：ykxm，则直线必过定点(0，m) (1)求E的方程； (2)设E与y轴正半轴的交点为B， 过点B的直线l的斜率为k(k0)，l与E交于另一点P.若以点B为圆心， 以线段BP长为半径的圆与E有 4 个公共点，求k的取值范围 【解析】解法一 (1)设点M(x，y)，由 2，得A(x,2y)，MQ AQ 由于点A在圆C：x2y24 上，则x24y24， 即动点M的轨迹E的方程为y21. x2 4 (2)由(1)知，E的方程为y21， x2 4 因为E与y轴正半轴的交点为B，所以B(0,1)， 所以过点B且斜率为k的直线l的方程为ykx1(k
3、0) 由Error!Error!得(14k2)x28kx0， 设B(x1，y1)，P(x2，y2)，因此x10，x2， 8k 14k2 |BP|x1x2|.1k2 8|k| 14k2 1k2 由于以点B为圆心，线段BP长为半径的圆与椭圆E的公共点有 4 个，由对称性可设在y轴左侧的椭圆上有 两个不同的公共点P，T，满足|BP|BT|，此时直线BP的斜率k0， 记直线BT的斜率为k1，且k10，k1k， 则|BT|， 8|k1| 14k2 1 1k2 1 故，所以0， 8|k1| 14k2 1 1k2 1 8|k| 14k2 1k2 k2 1k4 1 14k2 1 k2k4 14k2 即(14k
4、2)(14k)，k2 1k4 1 2 1 k2k4 所以(k2k)(1k2k8k2k)0， 2 12 12 1 由于k1k，因此 1k2k8k2k0， 2 12 1 故k2 . k2 11 8k2 11 1 8 9 88k2 11 因为k20，所以 8k10，所以k2 . 2 1 1 8 9 88k2 11 1 8 又k0，所以k. 2 4 又k1k，所以 1k2k28k2k20， 所以 8k42k210.又k0，解得k， 2 2 所以k. ( 2 4 ， 2 2) ( 2 2 ，) 根据椭圆的对称性，k也满足题意 (， 2 2) ( 2 2 ， 2 4) 综上所述，k的取值范围为. (， 2
5、 2) ( 2 2 ， 2 4) ( 2 4 ， 2 2) ( 2 2 ，) 解法二 (1)设点M(x，y)，A(x1，y1)，则Q(x1,0) 因为 2，所以 2(x1x，y)(0，y1)，所以Error!Error!解得Error!Error!MQ AQ 因为点A在圆C：x2y24 上，所以x24y24， 所以动点M的轨迹E的方程为y21. x2 4 (2)由(1)知，E的方程为y21，所以B的坐标为(0,1)，易得直线l的方程为ykx1(k0) x2 4 由Error!Error!得(14k2)x28kx0， 设B(x1，y1)，P(x2，y2)因此x10，x2， 8k 14k2 |BP
6、|x1x2|.1k2 8|k| 14k2 1k2 则点P的轨迹方程为x2(y1)2， 64k21k2 14k22 由Error!Error!得 3y22y50(1y1) (*) 64k21k2 14k22 依题意，得(*)式在y(1,1)上有两个不同的实数解 设f(x)3x22x5(1x1)， 64k21k2 14k22 易得函数f(x)的图象的对称轴为直线x ， 1 3 要使函数f(x)的图象在(1,1)内与x轴有两个不同的交点， 则Error!Error! 整理得Error!Error! 即Error!Error!所以Error!Error! 得k (， 2 2) ( 2 2 ， 2 4)
7、 ( 2 4 ， 2 2) ， ( 2 2 ，) 所以k的取值范围为 (， 2 2) ( 2 2 ， 2 4) . ( 2 4 ， 2 2) ( 2 2 ，) 【方法技巧】 1解决圆锥曲线中范围问题的方法 一般题目中没有给出明确的不等关系，首先需要根据已知条件进行转化，利用圆锥曲线的几何性质及曲线 上点的坐标确定不等关系；然后构造目标函数，把原问题转化为求函数的值域或引入参数根据参数范围求 解，解题时应注意挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量之间的转化 由MQONQO，得直线MQ与NQ的斜率之和为零，易知x1或x2等于 0 时，不满足题意，故 y1m x1 y2m x2 0， kx11 2m x1 kx21 2m x2 2kx1x2(1 2m)x 1x2 x1x2 即 2kx1x2(x1x2)2k0，当k0 时，m6，所以存在 ( 1 2m) 11 34k2 ( 1 2m) 4k 34k2 4km6 34k2 定点(0,6)，使得MQONQO；当k0 时，定点(0,6)也符合题意 易知当直线MN的斜率不存在时，定点(0,6)也符合题意 综上，存在定点(0,6)，使得MQONQO.