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1、坐标系与参数方程坐标系与参数方程 1在极坐标系中，过点且与极轴平行的直线方程是( ) (2， 2) A2 B Ccos 2 Dsin 2 2 解析 先将极坐标化成直角坐标表示，化为(0，2)，过(0，2)且平行于x轴的直线为y2，再化成 (2， 2) 极坐标表示，即sin 2.故选 D. 答案 D 2在直角坐标系xOy中，已知点C(3，)，若以O为极点，x轴的正半轴为极轴，则点C的极坐标(，3 )(0，0)的一个交点在极轴上，则a2 的值为_ 答案 2 13在平面直角坐标系下，曲线C1：(t为参数)， x2t2a， yt ) 曲线C2：(为参数)，若曲线C1，C2有公共点，则实数a的取值范围是
2、_ x2sin ， y12cos ) 解析 曲线C1的直角坐标方程为x2y2a0， 曲线C2的直角坐标方程为x2(y1)24，圆心为(0，1)，半径为 2， 若曲线C1，C2有公共点， 则有圆心到直线的距离2， |22a| 122 即|a1|，5 1a1，55 即实数a的取值范围是1，155 答案 1，155 14已知曲线C的参数方程为(t为参数)，曲线C在点(1，1)处的切线为l，以坐标原点为 x2cos t， y2sin t) 极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l的极坐标方程为_ 15已知点P(x，y)在曲线(为参数，R R)上，则 的取值范围是_ x2cos ， ysin ) y
3、x 解析 消去参数得曲线的标准方程为(x2)2y21， 圆心为(2，0)，半径为 1. 设 k，则直线ykx， y x 即kxy0，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离d1， |2k| k21 即|2k|，平方得k21 4k2k21，k2 ，解得k， 1 3 3 3 由图形知k的取值范围是k， 3 3 3 3 即 的取值范围是. y x 3 3 ， 3 3 答案 3 3 ， 3 3 16在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是(为参数) x22cos ， y2sin ) (1)将C1的方程化为普通方程； (2)以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系设曲线C2的极坐标方程是，求曲线C1与
4、C2的 3 交点的极坐标 解 (1)C1的普通方程为(x2)2y24. (2)设C1的圆心为A，原点O在圆上， 设C1与C2相交于O，B，取线段OB的中点C， 直线OB倾斜角为，OA2， 3 OC1，从而OB2， O，B的极坐标分别为O(0，0)，B. (2， 3) 17已知曲线C1：(t为参数)，C2：(为参数) x2cos t， y1sin t ) x4cos ， y3sin ) (1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； (2)过曲线C2的左顶点且倾斜角为的直线l交曲线C1于A，B两点，求|AB|的值 4 18在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐
5、标系，已知曲线C：sin22acos (a0)，已知过点P(2，4)的直线l的参数方程为 ：(t为参数)，直线l与曲线C分 x2 2 2 t， y4 2 2 t) 别交于M，N两点 (1)写出曲线C和直线l的普通方程； (2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值 解 (1)y22ax，yx2. (2)直线l的参数方程为(t为参数)， x2 2 2 t， y4 2 2 t) 代入y22ax，得到t22(4a)t8(4a)0，则有t1t22(4a)，t1t28(4a)，22 |MN|2|PM|PN|， (t1t2)2(t1t2)24t1t2t1t2， 即a23a40.解得a1 或a4
6、(舍去) 19在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为 Error!(为参数)，若以直角坐标系中的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N的极坐 标方程为sint(t为参数) ( 4) 2 2 (1)求曲线M的普通方程和曲线N的直角坐标方程； (2)若直线l交E于点A，B，且OAOB，求证：为定值，并求出这个定值 1 |OA|2 1 |OB|2 解 (1)将点P代入曲线E的方程， (1， 23 3 ) 得Error!Error! 解得a23， 所以曲线E的普通方程为1， x2 3 y2 2 极坐标方程为21. ( 1 3cos 21 2sin 2) (2)不妨设点A，B的极坐标分别
7、为 A(1，)，B，10，20， ( 2， 2) 则Error!Error! 即Error!Error! 所以 ，即 ， 1 2 1 1 2 2 5 6 1 |OA|2 1 |OB|2 5 6 所以为定值 . 1 |OA|2 1 |OB|2 5 6 29 已知在平面直角坐标系xOy中， 以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，P点的极坐标为， (3， 4) 曲线C的极坐标方程为2cos(为参数) ( 4) (1)写出点P的直角坐标及曲线C的直角坐标方程； (2)若Q为曲线C上的动点，求PQ的中点M到直线l：2cos 4sin 的距离的最小值2 解 (1)点P的直角坐标为， ( 32 2 ，
8、3 2 2 ) 由2cos， ( 4) 得2cos sin ，22 将2x2y2，cos x，sin y代入， 可得曲线C的直角坐标方程为 221. (x 2 2) (y 2 2) (2)直线 2cos 4sin 的直角坐标方程为 2x4y0，22 设点Q的直角坐标为， ( 2 2 cos ， 2 2 sin ) 则M， ( 2 cos 2 ， 2 sin 2 ) 点M到直线l的距离 d| 2( 2 cos 2 )4( 2 sin 2 ) 2| 2242 |5 2cos 2sin | 25 ，其中 tan . 5 2 5sin 25 1 2 d(当且仅当 sin()1 时取等号)， 5 2 5
9、 25 101 2 点M到直线l：2cos 4sin 的距离的最小值为.2 101 2 30已知0，)，在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为Error!Error!(t为参数)；在以坐标原点O为 极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l2的极坐标方程为cos()2sin(为参 ( 6) 数) (1)求证：l1l2； (2)设点A的极坐标为，P为直线l1，l2的交点，求|OP|AP|的最大值 (2， 3) (2)解 当2，时， 3 cos()2cos2sin， ( 3 ) ( 6) 所以点A在直线cos()2sin上 (2， 3) ( 6) 设点P到直线OA的距离为d，由l1l2可知，d的最大值为1. |OA| 2 于是|OP|AP|d|OA|2d2， 所以|OP|AP|的最大值为 2.