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1、函数与方程思想、数形结合思想函数与方程思想、数形结合思想 【2019 年高考考纲解读】【2019 年高考考纲解读】 数学教学的最终目标，是要让学生会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界.数学素养 就是指学生学习数学应当达成的有特定意义的综合性能力，数学核心素养高于具体的数学知识技能，具有 综合性、整体性和持久性，反映数学本质与数学思想，数学核心素养是数学思想方法在具体学习领域的表现. 二轮复习中如果能自觉渗透数学思想，加强个人数学素养的培养，就会在复习中高屋建瓴，对整体复习起 到引领和导向作用. 【高考题型示例】【高考题型示例】 题型一、函数与方程思想在不等式中的应用题型一、函
2、数与方程思想在不等式中的应用 函数与不等式的相互转化，把不等式转化为函数，借助函数的图象和性质可解决相关的问题，常涉及不等 式恒成立问题、比较大小问题.一般利用函数思想构造新函数，建立函数关系求解. 例 1.若 0ln x2ln x1 B. 21 ee xx - e xx xx D. 12 21 eg(x2)， 12 21 ee xx xx ，故选 C. 例 2.已知定义在 R 上的函数g(x)的导函数为g(x)， 满足g(x)g(x)1 的解集为_. gx ex 答案 (，0) 例 3.已知f(t)log2t，t，8，对于f(t)值域内的所有实数m，不等式x2mx42m4x恒成立，2 则x的
3、取值范围是_. 答案 (，1)(2，) 解析 t，8，f(t).2 1 2，3 问题转化为m(x2)(x2)20 恒成立， 当x2 时，不等式不成立，x2. 令g(m)m(x2)(x2)2，m. 1 2，3 问题转化为g(m)在上恒大于 0， 1 2，3 则Error!Error!即Error!Error! 解得x2 或x0， 设Snf(n)，则f(n)为二次函数， 又由f(7)f(17)知，f(n)的图象开口向上，关于直线n12 对称， 故Sn取最小值时n的值为 12. 例 8.设等差数列an的前n项和为Sn，若S42，S63，则nSn的最小值为_. 答案 9 解析 由Error!Error
4、!解得a12，d1， 所以Sn ，故nSn. n25n 2 n35n2 2 令f(x)，则f(x)x25x， x35x2 2 3 2 令f(x)0，得x0 或x， 10 3 f(x)在上单调递减，在上单调递增. (0， 10 3) ( 10 3 ，) 又n是正整数，故当n3 时，nSn取得最小值9. 题型三、函数与方程思想在解析几何中的应用 解析几何中求斜率、截距、半径、点的坐标、离心率等几何量经常要用到方程(组)的思想；直线与圆锥曲 线的位置关系问题，可以通过转化为一元二次方程，利用判别式进行解决；求变量的取值范围和最值问题 常转化为求函数的值域、最值，用函数的思想分析解答. 例 9.以抛物
5、线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点， 交C的准线于D，E两点.已知|AB|4， |DE|2，25 则C的焦点到准线的距离为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 答案 B 解析 不妨设抛物线C：y22px(p0)，圆的方程设为x2y2r2(r0)，如图， 又可设A(x0，2)，D，2 ( p 2， 5) 点A(x0，2)在抛物线y22px上，82px0，2 点A(x0，2)在圆x2y2r2上，x8r2，2 2 0 点D在圆x2y2r2上，5 2r2， ( p 2， 5) ( p 2) 联立，解得p4(负值舍去)，即C的焦点到准线的距离为p4，故选 B. 例 10.如图，已知双曲线C：1(a0
6、，b0)的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C x2 a2 y2 b2 的一条渐近线交于P，Q两点，若PAQ60，且3，则双曲线C的离心率为( )OQ OP A. B. C. D. 23 3 7 2 39 6 3 答案 B 解析 因为PAQ60，|AP|AQ|， 所以|AP|AQ|PQ|，设|AQ|2R， 又3，则|OP| |PQ|R.OQ OP 1 2 双曲线C的渐近线方程是yx，A(a，0)， b a 所以点A到直线yx的距离d， b a | b aa0| ( b a) 212 ab a2b2 所以 2(2R)2R23R2， ( ab a2b2) 即a2b23R2(a2b2)
7、， 在OQA中，由余弦定理得， 例 10.设双曲线C：1(a0，b0)的左、右顶点分别为A1，A2，左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为 x2 a2 y2 b2 直径的圆与双曲线左支的一个交点为P.若以A1A2为直径的圆与直线PF2相切， 则双曲线C的离心率为( ) A. B. C.2 D.235 答案 D 解析 如图所示，设以A1A2为直径的圆与直线PF2的切点为Q，连接OQ， 则OQPF2. 又PF1PF2，O为F1F2的中点， 所以|PF1|2|OQ|2a. 又|PF2|PF1|2a， 所以|PF2|4a. 在 RtF1PF2中，由|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，得 4a21
8、6a220a24c2，即e . c a 5 例 11.已知抛物线的方程为x28y，F是其焦点，点A(2，4)，在此抛物线上求一点P，使APF的周长最 小，此时点P的坐标为_. 答案 (2，1 2) 解析 因为(2)284，所以点A(2，4)在抛物线x28y的内部， 如图，设抛物线的准线为l， 过点P作PQl于点Q，过点A作ABl于点B，连接AQ， 由抛物线的定义可知，APF的周长为 |PF|PA|AF|PQ|PA|AF|AQ|AF|AB|AF|， 当且仅当P，B，A三点共线时，APF的周长取得最小值，即|AB|AF|. 因为A(2，4)，所以不妨设APF的周长最小时，点P的坐标为(2，y0)，
9、 代入x28y，得y0 . 1 2 故使APF的周长最小的点P的坐标为. (2， 1 2) 例 12.已知P是直线l：3x4y80 上的动点，PA，PB是圆x2y22x2y10 的两条切线，A，B是 切点，C是圆心，则四边形PACB面积的最小值为_. 答案 22 解析 连接PC， 由题意知圆的圆心C(1， 1)， 半径为 1， 从运动的观点看问题， 当动点P沿直线 3x4y80 向左上方或右下方无穷远处运动时，RtPAC的面积SPAC |PA|AC| |PA|越来越大，从而S四边形PACB也 1 2 1 2 越来越大； 当点P从左上、右下两个方向向中间运动时，S四边形PACB变小，显然，当点P到达一个最特殊的位置，即CP 垂直于直线l时，S四 边 形PACB有唯一的最小值，此时|PC|3，从而|PA| |3 14 18| 3242 2，所以(S四边形PACB)min2 |PA|AC|2.|PC|2|AC|22 1 2 2