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1、函数与方程思想、数形结合思想函数与方程思想、数形结合思想 1.已知定义在 R R 上的函数f(x)的导函数为f(x)，且f(x)f(x)1，设af(2)1，bef(3)1， 则a，b的大小关系为 ( ) A.ab C.ab D.无法确定 答案 A 解析 令g(x)exf(x)ex， 则g(x)exf(x)f(x)10， 即g(x)在 R R 上为增函数. 所以g(3)g(2)， 即 e3f(3)e3e2f(2)e2， 整理得 ef(3)1f(2)1，即a0，b0)的右焦点F作直线yx的垂线， 垂足为A， 交双曲线左支于B点， 若2 x2 a2 y2 b2 b a FB ，则该双曲线的离心率为(
2、 )FA A. B.2 C. D.357 答案 C 解析 设F(c， 0)， 则直线AB的方程为y (xc)， 代入双曲线渐近线方程yx， 得A.由2 a b b a ( a2 c ，ab c) FB ，可得B，把B点坐标代入1，得1，FA ( 2a2c2 c ，2ab c) x2 a2 y2 b2 2a2c22 a2c2 4a2 c2 c25a2， 离心率e . c a 5 5.记实数x1，x2，xn中最小数为 minx1，x2，xn， 则定义在区间0， )上的函数f(x)minx21，x 3，13x的最大值为( ) A.5 B.6 C.8 D.10 答案 C 解析 在同一坐标系中作出三个函
3、数y1x21，y2x3，y313x的图象如图. 由图可知， 在实数集 R R 上， minx21，x3， 13x为y2x3 上A点下方的射线， 抛物线AB之间的部分， 线段BC与直线y313x在点C下方的部分的组合体.显然， 在区间0， )上， 在C点时，yminx21，x 3，13x取得最大值. 解方程组Error!Error!得点C(5，8). 所以f(x)max8. 6.已知函数f(x)|lg(x1)|，若 1ab且f(a)f(b)，则a2b的取值范围为( ) A.(32，) B.32，)22 C.(6，) D.6，) 答案 C 解析 由图象可知b2，1a2， lg(a1)lg(b1)，
4、 则a， b b1 则a2b2b2 (b1)3， b b1 2b2b b1 2b123b11 b1 1 b1 由对勾函数的性质知，当b时，f(b)2(b1)3 单调递增， ( 2 2 1，) 1 b1 b2， a2b2b6. b b1 7.已知函数f(x)Error!Error!若不等式f(x)mx恒成立，则实数m的取值范围为( ) A.32，3222 B.32，02 C.32，02 D.(，3232，)22 答案 C 解析 函数f(x)及ymx的图象如图所示，由图象可知，当m0 时，不等式f(x)mx不恒成立，设过原点 的直线与函数f(x)x23x2(x0 在 R R 上恒成立， ( 3x1
5、 3x1xsin x) 2ln 33x 3x12 即函数f(x)在 R R 上单调递增. 若x02，1，使得f(xx0)f(x0k)x2x0，令g(x)x22x，x2，1. 2 0 则kg(x)ming(1)1 故实数k的取值范围是(1，). 9.已知正四棱锥的体积为，则正四棱锥的侧棱长的最小值为_. 32 3 答案 23 解析 如图所示，设正四棱锥的底面边长为a，高为h.则该正四棱锥的体积Va2h， 1 3 32 3 故a2h32，即a2. 32 h 则其侧棱长为l. ( 2a 2 ) 2h2 16 h h2 令f(h)h2，则f(h)2h， 16 h 16 h2 2h316 h2 令f(h
6、)0，解得h2. 当h(0，2)时，f(h)0，f(h)单调递增， 所以当h2 时，f(h)取得最小值f(2)2212， 16 2 故lmin2.123 10.若函数f(x)|2x2|b有两个零点，则实数b的取值范围是_. 答案 (0，2) 解析 由f(x)|2x2|b有两个零点， 可得|2x2|b有两个不等的实根， 从而可得函数y1|2x2|的图象与函数y2b的图象有两个交点，如图所示. 结合函数的图象，可得 00)，若两条曲线没有公共点，则r的取值范围是 x2 9 y2 4 _. 答案 (0，1)(3 30 5 ，) 解析 方法一 联立C1和C2的方程，消去x， 得到关于y的方程y22y1
7、0r20， 5 4 方程可变形为r2y22y10， 5 4 把r2y22y10 看作关于y的函数. 5 4 由椭圆C1可知，2y2， 因此， 求使圆C2与椭圆C1有公共点的r的集合， 等价于在定义域为y2， 2的情况下， 求函数r2f(y) y22y10 的值域. 5 4 由f(2)1，f(2)9，f ， ( 4 5) 54 5 可得f(y)的值域为，即r， 1， 54 5 1， 330 5 它的补集就是圆C2与椭圆C1没有公共点的r的集合， 因此， 两条曲线没有公共点的r的取值范围是(0， 1) . ( 330 5 ，) 则Error!Error!又r0，解得 00， 故(x)在上单调递增， 1 2，) 所以(x) 0. ( 1 2) 7 8 e 2 因此g(x)0， 故g(x)在上单调递增， 1 2，) 则g(x)g2 ， ( 1 2) 1 81 1 2 e 9 4 所以a 2 ， 9 4 e 9 4 解得a2， e 所以a的取值集合为2.e