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1、单元检测七 不等式、推理与证明(提升卷)单元检测七 不等式、推理与证明(提升卷) 考生注意： 1本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共 4 页 2答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相 应位置上 3本次考试时间 100 分钟，满分 130 分 4请在密封线内作答，保持试卷清洁完整 第卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1若a 1 a 1 b ab C|a|bD. 1 ab 1 b 答案 A 解析 因为a0， 即 ， A 不成立 ； ab0
2、， B 成立 ； a 1 a 1 b ba ab 1 a 1 b ab |a|b|b，C 成立 ； 当a3，b1 时， ， 1，故 ，D 成立 1 ab 1 2 1 b 1 ab 1 b 2不等式0 的解集为( ) 2x1 3x A.1 2，3 B.1 2，3) C.(3，) (， 1 2 D.3，) (， 1 2 答案 C 解析 不等式0 可化为Error! 2x1 3x Error!解得x 或x3， 1 2 不等式0 的解集为(3，) 2x1 3x(， 1 2 3下面几种推理过程是演绎推理的是( ) A某校高三有 8 个班，1 班有 51 人，2 班有 53 人，3 班有 52 人，由此推
3、测各班人数都超 过 50 人 B由三角形的性质，推测空间四面体的性质 C平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分 D在数列an中，a11，an，由此归纳出an的通项公式 1 2(a n1 1 an1) 答案 C 解析 因为演绎推理是由一般到特殊，所以选项 C 符合要求，平行四边形对角线互相平分， 菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分 4“10”是“(x2)(x1)0”的( ) 3 x1 A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 答案 A 解析 由 10，得0，等价于(x1)(x2)0，且x1，解得x2 或x1. 3 x1 x2 x1
4、 由(x2)(x1)0， 得x2 或x1， 所以 “10” 能推出 “(x2)(x1)0” ， 3 x1 “(x2)(x1)0”推不出“10” ，故“10”是“(x2)(x1)0”的 3 x1 3 x1 充分不必要条件，故选 A. 5若 3x2y2，则 8x4y的最小值为( ) A4B4C2D222 答案 A 解析 因为 3x2y2， 所以 8x4y23x22y224， 当且仅当 3x2y，23x22y23x2y 即x ，y 时等号成立，故选 A. 1 3 1 2 6(2018山西省实验中学质检)已知a，b为正实数，且ab 5，则ab的取值 1 a 1 b 范围是( ) A1,4 B2，) C
5、(2,4) D(4，) 答案 A 解析 a，b为正实数， 2ab， ( ab 2) . 1 ab 4 ab2 ab 5，(ab)5(ab)，化为(ab)25(ab) 1 a 1 b(1 1 ab)1 4 ab2 40，解得 1ab4，当且仅当ab时等号成立，ab的取值范围是1,4，故选 A. 7若直线l：axby10(a0，b0)把圆C：(x4)2(y1)216 分成面积相等的两部 分，则 的最小值为( ) 1 2a 2 b A10B8C5D4 答案 B 解析 由题意知，已知圆的圆心C(4，1)在直线l上，所以4ab10，所以4ab1. 所以 (4ab)4428， 当且仅当， 即a ，b 1
6、2a 2 b( 1 2a 2 b) b 2a 8a b b 2a 8a b b 2a 8a b 1 8 时，等号成立所以 的最小值为 8.故选 B. 1 2 1 2a 2 b 8在不等式组Error!所表示的平面区域内随机地取一点M，则点M恰好落在第二象限的概率 为( ) A. B. C. D. 2 3 3 5 2 9 4 7 答案 C 解析 如图，不等式组Error!所表示的平面区域为一直角三角形，其面积为 3 ，其 1 2 3 2 9 4 中在第二象限的区域为一直角三角形，其面积为 11 .所以点M恰好落在第二象限的 1 2 1 2 概率为 ，故选 C. 1 2 9 4 2 9 9(201
7、8河南名校联盟联考)已知变量x，y满足Error!则z3yx的取值范围为( ) A1,2 B2,5 C2,6 D1,6 答案 D 解析 画出不等式组Error!表示的平面区域，如图中阴影部分所示(ABC边界及其内部) 因为z3yx，所以yxz.当直线yx 在y轴上的截距有最小值时，z有最小值 ； 1 3 1 3 1 3 z 3 当在y轴上的截距有最大值时，z有最大值由图可知，当直线yx 经过点A(1,0)， 1 3 z 3 在y轴上的截距最小，zmin0(1)1； 经过点C(0,2)时， 在y轴上的截距最大，zmax32 06.所以z3yx的取值范围为1,6，故选 D. 10 小王计划租用A，
8、B两种型号的小车安排 30 名队友(大多有驾驶证， 会开车)出去游玩，A 与B两种型号的车辆每辆的载客量都是 5 人，租金分别为 1000 元/辆和 600 元/辆，要求租 车总数不超过 12 辆，不少于 6 辆，且A型车至少有 1 辆，则租车所需的最少租金为( ) A1000 元B2000 元 C3000 元D4000 元 答案 D 解析 设分别租用A，B两种型号的小车x辆、y辆， 所用的总租金为z元， 则z1000x600y， 其中x，y满足不等式组Error!(x，yN N)，作出可行域，如图阴影部分(包括边界)所示 易知当直线yx过点D(1,5)时，z取最小值， 所以租车所需的最少租金
9、为11000 5 3 z 600 56004000(元)，故选 D. 11(2018云南曲靖一中月考)设实数x，y满足Error!则x2y2的最小值为( ) A4B.C.D0 16 5 68 9 答案 B 解析 不等式组Error!所对应的平面区域为图中阴影部分所示(包括边界) x2y2的几何意义为可行域内的点与原点距离的平方 由图可得x2y2的最小值为原点到直 线x2y40 距离的平方，即(x2y2)min 2 . ( 4 5) 16 5 12已知函数f(x)Error!若关于x的不等式f(x)2af(x)0 时， a1 时，不等式的解集为x|1bc； 1 5 1 3 ( 1 5) 若不等式
10、2x1m(x21)对满足|m|2的所有m都成立， 则x的取值范围是. ( 71 2 ， 31 2) 其中正确的命题为_(把你认为正确的都填上) 答案 解析 对于， (xy) ， (xy)，2xy1,9，所以正确；对 1 2 1 2 3 2 3 2 3 2 15 2 于， 当a5，b3 时，a2b2， 所以错误 ； 对于，c 0.50， alog 3log53ab， 所以错误 ； 对于， 令f(m)m(x21)(2x 1 3 1)， 则原问题等价于f(m)m(x21)(2x1)0 的解集为x|xb (1)求a，b的值； (2)当cR R 时，解关于x的不等式ax2(acb)xbc1，a0， 所以
11、Error!解得Error! (2)由(1)得原不等式可化为x2(2c)x2c2 时，所求不等式的解集为x|20，b0，求ab的最大值； ( 2 3) 20 3 (2)当x0,1时，f(x)1 恒成立，且 2a3b3，求z的取值范围 ab2 a1 解 (1)因为f(x)(3a2)xba，f， ( 2 3) 20 3 所以ab ，即ab8. 4 3 20 3 因为a0，b0， 所以ab2，即 4，所以ab16，abab 当且仅当ab4 时等号成立， 所以ab的最大值为 16. (2)因为当x0,1时，f(x)1 恒成立，且 2a3b3， 所以Error!且 2a3b3，即Error! 作出此不等
12、式组表示的平面区域，如图阴影部分所示(含边界) 由图可得经过可行域内的点(a，b)与点(1，1)的直线的斜率的取值范围是， 2 5，2 所以z1 的取值范围是. ab2 a1 b1 a1 7 5，3 19(13 分)2019 年某企业计划引进新能源汽车生产设备，已知该设备全年需投入固定成 本 2500 万元，每生产x百辆新能源汽车，需另投入成本C(x)万元，且C(x)Error!由市场 调研知，若每辆新能源汽车售价 5 万元，则全年内生产的新能源汽车当年能全部售完 (1)求该企业 2019 年的利润L(x)万元关于年产量x(单位：百辆)的函数解析式(利润销售 额成本)； (2)2019 年产量
13、为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润 解 (1)当 01 500， 所以当x100， 即 2019 年年产量为 100 百辆时， 该企业所获利润最大， 且 最大利润为 1 800 万元 20(13 分)已知函数f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线方程为xy30. axb x21 (1)求函数f(x)的解析式； (2)设g(x)lnx，求证：g(x)f(x)在x1，)上恒成立； (3)已知 0. lnnlnm nm 2m m2n2 (1)解 将x1 代入切线方程xy30， 得y2， 所以f(1)2，化简得ba4. ba 11 又f(x)， ax21axb 2 x 1 x22 f(1
14、) 1， 2a 2 ba 4 2b 4 b 2 故b2，a2，所以f(x). 2x2 x21 (2)证明 由已知及(1)得所证即 ln x在x1，)上恒成立，化简得(x21)ln 2x2 x21 x2x2，即证x2ln xln x2x20 在x1，)上恒成立 设h(x)x2ln xln x2x2， 则h(x)2xln xx 2， 1 x 因为x1，所以 2xln x0，x 2，即h(x)0， 1 x 所以h(x)在1，)上单调递增，则h(x)h(1)0， 所以g(x)f(x)在x1，)上恒成立 (3)证明 因为 01， n m 由(2)知 ln ，整理得， n m 2n m2 ( n m) 21 ln nln m nm 2m m2n2 所以当 0. ln nln m nm 2m m2n2