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1、单元检测十二 概率、随机变量及其分布(提升卷)单元检测十二 概率、随机变量及其分布(提升卷) 考生注意： 1本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共 4 页 2答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上 3本次考试时间 100 分钟，满分 130 分 4请在密封线内作答，保持试卷清洁完整 第卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的) 1先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们六个面上分别标有点数 1,2,3,4,5,6)，骰子朝上的点数分 别为X，Y
2、，则 log2XY1 的概率为( ) A. B.C.D. 1 6 5 36 1 12 1 2 答案 C 解析 由题意知X，Y应满足Y2X，所以满足题意的有(1,2)，(2,4)，(3,6)三种，所以概率为 3 36 . 1 12 2一袋中装有大小相同，编号分别为 1,2,3,4,5,6,7,8 的八个球，从中有放回地每次取一个球，共 取 2 次，则取得两个球的编号和不小于 15 的概率为( ) A.B.C.D. 1 32 1 64 3 32 3 64 答案 D 解析 从中有放回地取 2 次，所取号码的情况共有 8864(种)，其中编号和不小于 15 的有 3 种， 分别是(7,8)，(8,7)
3、，(8,8)，共 3 种 由古典概型概率公式可得所求概率为P. 3 64 3已知ABCD为长方形，AB2，BC1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O 的距离大于 1 的概率为( ) A.B1C.D1 4 4 8 8 答案 B 解析 根据几何概型得，取到的点到O的距离大于 1 的概率P 1. d D 圆外部分的面积 矩形的面积 2 2 2 1 4 4欧阳修卖油翁中写道：“(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入， 而钱不湿” 卖油翁的技艺让人叹为观止设铜钱是直径为 4cm 的圆，它中间有边长为 1cm 的正方形 孔若随机向铜钱上滴一滴油，则油滴(不计油
4、滴的大小)正好落入孔中的概率为( ) A.B. C.D. 1 4 1 4 1 16 1 16 答案 A 解析 由题意得，所求的概率为，故选 A. 12 22 1 4 5一张储蓄卡的密码共有 6 位数字，每位数字都可以从 09 中任选一个，某人在银行自动提款机上 取钱时，忘记了密码最后一位数字，如果任意按最后一位数字，不超过 2 次就按对的概率为( ) A. B.C. D. 2 5 3 10 1 5 1 10 答案 C 解析 一张储蓄卡的密码共有 6 位数字，每位数字都可以从 09 中任选一个，某人在银行自动提款 机上取钱时，忘记了密码最后一位数字，任意按最后一位数字，不超过 2 次就按对的概率
5、为： P . 1 10 9 10 1 9 1 5 6.如图所示， 在圆心角为90的扇形AOB中， 以圆心O作为起点作射线OC，OD， 则使AOCBOD45 的概率为( ) A.B. 1 2 1 4 C.D. 1 8 1 16 答案 C 解析 设AOCx，BODy，把(x，y)看作坐标平面上的点，则试验的全部结果所构成的区域 为(x，y)|0x90,0y90，若事件A表示AOCBOD45，则其所构成的区域为A (x，y)|xy0)，若在(80,120)内的概率为 0.7，则其速度超过 120 的概率为( ) A0.05B0.1C0.15D0.2 答案 C 解析 由题意可得，100，且P(8012
6、0)0.7， 则P(80 或120)1P(80120)10.70.3. P(120)P(80 或120)0.15. 1 2 则他速度超过 120 的概率为 0.15. 9某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是 0.75，连续两天为优良的概率是 0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( ) A0.4B0.6C0.75D0.8 答案 D 解析 设“某一天的空气质量为优良”为事件A, “随后一天的空气质量为优良”为事件B， 则P(A)0.75，P(AB)0.6， P(B|A)0.8. PAB PA 0.6 0.75 10随机变量X的分布列如下表，且E(
7、X)2，则D(2X3)等于( ) X02a P 1 6 p 1 3 A.2B3C4D5 答案 C 解析 p1 ， 1 6 1 3 1 2 E(X)0 2 a 2，则a3， 1 6 1 2 1 3 D(X)(02)2 (22)2 (32)2 1， 1 6 1 2 1 3 D(2X3)22D(X)4. 11(2018黑龙江省哈尔滨市第六中学考试)甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局 两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为 ，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的情况下， 2 3 比赛进行了三局的概率为( ) A. B. C. D. 1 3 2 5 2 3 4 5 答案 B 解析 由题
8、意，甲获得冠军的概率为 ， 2 3 2 3 2 3 1 3 2 3 1 3 2 3 2 3 20 27 其中比赛进行了 3 局的概率为 ， 2 3 1 3 2 3 1 3 2 3 2 3 8 27 所求概率为 . 8 27 20 27 2 5 12 口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球， 有放回地每次摸取一个球， 数列满足 ：anError!an 如果Sn为数列的前n项和，那么S73 的概率为( )an AC 25 BC 255 7(2 3)( 2 3) 2 7(2 3)( 1 3) CC 25 DC 255 7(1 3)( 1 3) 5 7(1 3)( 2 3) 答案 B 解析 据题意可知
9、 7 次中有 5 次摸到白球，2 次摸到红球，由独立重复试验即可确定其概率，故选 B. 第卷(非选择题 共 70 分) 二、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上) 13若某人在打靶时连续射击 2 次，则事件“至少有 1 次中靶”的对立事件是_ 答案 两次都未中靶 14 若连续掷两次骰子， 第一次掷得的点数为m， 第二次掷得的点数为n， 则点P(m，n)落在圆x2y216 内的概率是_(骰子为正方体，且六个面分别标有数字 1,2，6) 答案 2 9 解析 由题意得， 基本事件总数为 36， 点P落在圆内包含的基本事件有(1,1)， (1,2)， (1,3)，
10、 (2,1)， (2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，共 8 个， 由古典概型概率公式可得所求概率为 . 8 36 2 9 15 设随机变量的分布列为P(k)，k1,2,3，c为常数， 则P(0.52.5)_. c kk 1 答案 8 9 解析 随机变量的分布列为P(k)，k1,2,3， c kk 1 1， c 2 c 6 c 12 即1，解得c ， 6c2cc 12 4 3 P(0.52.5)P(1)P(2) . c 2 c 6 4 6 4 3 8 9 16某篮球运动员投中篮球的概率为 ，则该运动员“投篮 3 次至多投中 1 次”的概率是 2 3 _(结果用分数表示) 答案 7 2
11、7 解析 “投篮 3 次至多投中 1 次”包括只投中一次，和全部没有投中， 故“投篮 3 次至多投中 1 次”的概率是 C 2 C 3 . 2 3 ( 1 3) 2 3 3 3 ( 1 3) 7 27 三、解答题(本题共 4 小题，共 50 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17(12 分)甲、乙、丙 3 人投篮，投进的概率分别是 ， . 1 3 2 5 1 2 (1)现 3 人各投篮 1 次，求 3 人至少一人投进的概率； (2)用表示乙投篮 4 次的进球数，求随机变量的分布列及均值E()和方差D() 解 (1)记 “甲投篮 1 次投进” 为事件A， “乙投篮 1 次投进” 为事件
12、B， “丙投篮 1 次投进” 为事件C， “至 少一人投进”为事件D. P(D)1P( )P( )P( ) .ABC 4 5 (2)随机变量的可能取值为 0,1,2,3,4， 且B， (4， 2 5) 所以，P(k)C k4k (k0,1,2,3,4)，k4(2 5) ( 3 5) 故随机变量的分布列为 01234 P 81 625 216 625 216 625 96 625 16 625 E()01234 ， 81 625 216 625 216 625 96 625 16 625 8 5 D(). 24 25 18(12 分)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各 5 名同学的投篮命中次数，
13、乙组记录中有一个数 据模糊，无法确认，在图中用x表示 (1)若乙组同学投篮命中次数的平均数比甲组同学的平均数少 1，求x的值及乙组同学投篮命中次数 的方差； (2)在(1)的条件下，分别从甲、乙两组投篮命中次数低于 10 的同学中，各随机选取 1 名，求这 2 名 同学的投篮命中次数之和为 16 的概率 解 (1)依题意得1，解得x6， 乙 ， x8 2910 5 78911 2 5 x 41 5 s2Error! 1 5 Error!1.76. (2)记甲组投篮命中次数低于 10 次的同学为A1，A2，A3，他们的命中次数分别为 9,8,7. 乙组投篮命中次数低于 10 次的同学为B1，B2
14、，B3，B4，他们的命中次数分别为 6,8,8,9. 依题意， 不同的选取方法有 ： (A1，B1)， (A1，B2)， (A1，B3)， (A1，B4)， (A2，B1)， (A2，B2)， (A2，B3)， (A2，B4)， (A3， B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(A3，B4)，共 12 种 设“这两名同学的投篮命中次数之和为 16”为事件C，其中恰含有(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B4)， 共 3 种 P(C) . 3 12 1 4 19(13 分)(2018武汉重点中学模拟)某校为了更好地管理学生用手机问题，根据学生每月用手机 时间(每月用手机时间总和)的长短将学
15、生分为三类：第一类的时间区间在0,30)，第二类的时间区间 在30,60)，第三类的时间区间在60,720(单位：小时)，并规定属于第三类的学生要进入“思想政 治学习班”进行思想和心理的辅导现对该校二年级 1014 名学生进行调查，恰有 14 人属于第三类， 这 14 名学生被学校带去政治学习由剩下的 1000 名学生用手机时间情况，得到如图所示频率分布直 方图. (1)求这 1000 名学生每月用手机时间的平均数； (2)利用分层抽样的方法从 1000 名选出 10 名学生代表，若从该 10 名学生代表中任选两名学生，求这 两名学生用手机时间属于不同类型的概率； (3)若二年级学生长期保持着
16、这一用手机的现状，学校为了鼓励学生少用手机，连续 10 个月，每个月 从这 1000 名学生中随机抽取 1 名，若取到的是第一类学生，则发放奖品一份，设X为获奖学生人数， 求X的均值E(X)与方差D(X) 解 (1)平均数为50.01010150.03010250.04010350.01010450.00610 550.0041023.4(小时) (2)由频率分布直方图可知，采用分层抽样抽取 10 名学生，其中 8 名为第一类学生，2 名为第二类学 生，则从该 10 名学生代表中抽取 2 名学生且这两名学生不属于同一类的概率为. C1 8C1 2 C 2 10 16 45 (3)由题可知，这
17、1000 名学生中第一类学生占 80%， 则每月从 1000 名学生中随机抽取 1 名学生，是第一类学生的概率为 0.8， 则连续 10 个月抽取， 获奖人数XB(10,0.8)， 其均值E(X)np100.88， 方差D(X)np(1p) 100.80.21.6. 20(13 分)现对某市工薪阶层关于“楼市限购令”的态度进行调查，随机抽调了 50 人，他们月收入 的频数分布及对“楼市限购令”赞成人数如下表. 月收入(单 位：百元) 15，25) 25， 35) 35， 45) 45， 55) 55，65)65，75 频数510151055 赞成人数4812521 (1)由以上统计数据填下面
18、22 列联表并问是否有 99%的把握认为月收入以 5500 为分界点对“楼市 限购令”的态度有差异； 月收入不低于 55 百元的人数 月收入低于55百 元的人数 合计 赞成a_c_ 不赞成b_d_ 合计 (2)若对在15,25)， 25,35)的被调查的人中各随机选取2人进行追踪调查， 记选中的4人中不赞成 “楼 市限购令”的人数为，求随机变量的分布列及均值 附：K2. nadbc2 abcdacbd P(K2k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828 解 (1)22 列联表如下： 月收入
19、不低于 55 百元的人数 月收入低于 55 百元的人数 合计 赞成a3c2932 不赞成b7d1118 合计104050 因为K26.2726.635，所以没有 99%的把握认为月收入以 5500 为分界点对“楼市限购令”的态度有 差异 (2)的所有可能取值为 0,1,2,3， P(0)， C2 4 C2 5 C2 8 C 2 10 6 10 28 45 84 225 P(1) C1 4 C2 5 C2 8 C 2 10 C2 4 C2 5 C1 8C1 2 C 2 10 ， 4 10 28 45 6 10 16 45 104 225 P(2) C2 4 C2 5 C2 2 C 2 10 C1 4 C2 5 C1 8C1 2 C 2 10 ， 6 10 1 45 4 10 16 45 35 225 P(3)， C1 4 C2 5 C2 2 C 2 10 4 10 1 45 2 225 所以的分布列是 0123 P 84 225 104 225 35 225 2 225 所以的均值 E()0123 . 104 225 35 225 2 225 4 5