《2020届高考数学（理）一轮复习课时训练：第13章 推理与证明、算法、复数 66 Word版含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020届高考数学（理）一轮复习课时训练：第13章 推理与证明、算法、复数 66 Word版含解析.pdf（6页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、【课时训练】第 66 节 数学归纳法 一、选择题 1 (2018德州模拟)用数学归纳法证明 “12222n22n3 1” ，在验证 n1 时，左边计算所得的式子为( ) A1B12 C1222D122223 【答案】D 【解析】当 n1 时，左边122223. 2 (2018 常德一模)数列an中， 已知 a11， 当 n2 时， anan1 2n1，依次计算 a2，a3，a4后，猜想 an的表达式是( ) A3n2Bn2 C3n1D4n3 【答案】B 【解析】计算出 a11，a24，a39，a416.可猜想 ann2. 3(2018 沈阳调研)用数学归纳法证明“n3(n1)3(n2)3(n
2、N*)能被 9 整除” ，利用归纳法假设证明 nk1 时，只需展开( ) A(k3)3B(k2)3 C(k1)3D(k1)3(k2)3 【答案】A 【解析】假设 nk 时，原式 k3(k1)3(k2)3能被 9 整除， 当 nk1 时，(k1)3(k2)3(k3)3为了能用上面的归纳假设， 只须将(k3)3展开，让其出现 k3即可 4 (2018 太原质检)平面内有 n 条直线， 最多可将平面分成 f(n)个 区域，则 f(n)的表达式为( ) An1B2n C.Dn2n1 n2n2 2 【答案】C 【解析】1 条直线将平面分成 11 个区域；2 条直线最多可将平 面分成1(12)4个区域 ；
3、 3条直线最多可将平面分成1(123) 7个区域 ； n条直线最多可将平面分成1(123n)1 个区域 nn1 2 n2n2 2 5(2018 山东菏泽模拟)对于不等式n1(nN*)，某同n2n 学用数学归纳法的证明过程如下： (1)当 n1 时，11，不等式成立121 (2)假设当 nk(kN*且 k1)时，不等式成立即k1，k2k 则当nk1 时， k12k1k23k2 (k1)1，所以当 nk1 时，不 k 23k2k2 k22 等式成立，则上述证法 ( ) A过程全部正确 Bn1 验得不正确 C归纳假设不正确 D从 nk 到 nk1 的推理不正确 【答案】D 【解析】在 nk1 时，没
4、用 nk 时的假设，不是数学归纳法 从 nk 到 nk1 的推理不正确 二、填空题 6(2018 合肥检测)已知 n 为正偶数，用数学归纳法证明 1 1 2 2时，若已假设 nk(k2， 1 3 1 4 1 n1( 1 n2 1 n4 1 2n) 且 k 为偶数)时命题为真， 则还需要用归纳假设再证 n_时等 式成立 【答案】k2 【解析】nk(k2，且 k 为偶数)的下一个偶数为 k2，根据数 学归纳法的步骤可知，应填 k2. 7(2018 淮北三校联考)设数列an的前 n 项和为 Sn，且对任意 的自然数 n 都有： 2anSn，通过计算 S1，S2，S3，猜想 Sn (S n 1) _.
5、 【答案】 n n1 【解析】 由(S11)2S 得 ： S1 ； 由(S21)2(S2S1)S2得 ： S2 2 1 1 2 ；由(S31)2(S3S2)S3得：S3 .猜想 Sn. 2 3 3 4 n n1 8 (2018 三亚模拟)用数学归纳法证明 123n2， n4n2 2 则当 nk1 时左端应在 nk 的基础上加上的项为_ 【答案】(k21)(k22)(k1)2 【解析】当 nk 时，左端为 123k(k1)(k2) k2， 则当 nk1 时， 左端为 123k2(k21)(k2 2)(k1)2，故增加(k21)(k22)(k1)2. 三、解答题 9 (2018 秦皇岛模拟)设数列
6、an的前 n 项和为 Sn， 且方程 x2anx an0 有一根为 Sn1(nN*) (1)求 a1，a2的值； (2)猜想数列Sn的通项公式，并给出证明 (1)【解】 当 n1 时， 方程 x2a1xa10 有一根为S11a11， (a11)2a1(a11)a10，解得 a1 . 1 2 当 n2 时， 方程 x2a2xa20 有一根为 S21a1a21a2 ， 1 2 2a2 a20，解得 a2 . (a 21 2)(a 21 2) 1 6 (2)【证明】由题意知(Sn1)2an(Sn1)an0， 当 n2 时，anSnSn1，代入上式整理得 SnSn12Sn10，解得 Sn. 1 2Sn
7、1 由(1)得 S1a1 ， 1 2 S2a1a2 .猜想 Sn(nN*) 1 2 1 6 2 3 n n1 下面用数学归纳法证明这个结论 当 n1 时，结论成立 假设 nk(kN*，k1)时结论成立，即 Sk， k k1 当 nk1 时，Sk1. 1 2Sk 1 2 k k1 k1 k2 即当 nk1 时结论成立 由知 Sn对任意的正整数 n 都成立 n n1 10(2018 长春三校联考)已知 f(n)1，g(n) 1 23 1 33 1 43 1 n3 ，nN*. 3 2 1 2n2 (1)当 n1,2,3 时，试比较 f(n)与 g(n)的大小关系； (2)猜想 f(n)与 g(n)的
8、大小关系，并给出证明 (1)【解析】当 n1 时，f(1)1，g(1)1，所以 f(1)g(1)； 当 n2 时，f(2) ，g(2)，所以 f(2)g(2)； 9 8 11 8 当 n3 时，f(3)，g(3)，所以 f(3)g(3) 251 216 312 216 (2)【证明】由(1)猜想 f(n)g(n)，下面用数学归纳法给出证明 当 n1,2,3 时，不等式显然成立 假设当 nk(k3，kN*)时不等式成立 即 1 ， 1 23 1 33 1 43 1 k3 3 2 1 2k2 那么，当 nk1 时， f(k1)f(k) ， 1 k13 3 2 1 2k2 1 k13 因为 1 2k
9、12 1 2k2 1 k13 0， k3 2k13 1 2k2 3k1 2k13k2 所以 f(k1) g(k1) 3 2 1 2k12 由可知，对一切 nN*，都有 f(n)g(n)成立 11 (2018 江苏南通模拟)数列xn满足 x10， xn1x xnc(n 2n N*) (1)证明：xn是递减数列的充分必要条件是 c0； (2)若 0c ，证明数列xn是递增数列 1 4 【证明】 (1)充分性 ： 若 c0， 由于 xn1x xncxncxn， 2n 数列xn是递减数列 必要性：若xn是递减数列，则 x2x1，且 x10. 又 x2x x1cc，c0. 2 1 故xn是递减数列的充分必要条件是 c0. (2)若 0c ，要证xn是递增数列 1 4 即 xn1xnx c0， 2n 即证 xn对任意 n1 成立c 下面用数学归纳法证明： 当 0c 时，xn对任意 n1 成立 1 4 c 当 n1 时，x10 ，结论成立c 1 2 假设当 nk(k1，kN*)时结论成立，即 xk . c 因为函数 f(x)x2xc 在区间内单调递增， 所以 xk (， 1 2 1f(xk)f( )，cc 当 nk1 时，xk1成立c 由知，xn对任意 n1，nN*成立c 因此，xn1xnx cxn，即xn是递增数列 2n