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1、【课时训练】第 69 节 坐 标 系 解答题 1(2018 武汉调研)在极坐标系中，已知圆 C 经过点 P， ( 2， 4) 圆心为直线 sin 与极轴的交点，求圆 C 的极坐标方程 ( 3) 3 2 【解】在 sin 中，令 0，得 1，所以圆 C 的 ( 3) 3 2 圆心坐标为(1,0) 因为圆 C 经过点 P， ( 2， 4) 所以圆 C 的半径 PC1，于是 22122 1 2cos 4 圆 C 过极点，所以圆 C 的极坐标方程为 2cos . 2 (2018兰州检测)设M， N分别是曲线2sin 0和sin ( 4) 上的动点，求 M，N 的最小距离 2 2 【解】因为 M，N 分
2、别是曲线 2sin 0 和 sin 上 ( 4) 2 2 的动点，即 M，N 分别是圆 x2y22y0 和直线 xy10 上的动 点，要求 M，N 两点间的最小距离，即在直线 xy10 上找一点 到圆 x2y22y0 的距离最小，即圆心(0，1)到直线 xy10 的距离减去半径，故最小值为11. |011| 2 2 3 (2018 安徽芜湖质检)在极坐标系中， 求直线 (cos sin )3 2 与圆 4sin 的交点的极坐标 【解】 (cos sin )2 化为直角坐标方程为xy2， 即 y33 x2.4sin 可化为 x2y24y，3 把 yx2 代入 x2y24y，3 得 4x28x12
3、0，即 x22x30，33 所以 x，y1.3 所以直线与圆的交点坐标为(，1)，化为极坐标为.3 (2， 6) 4 (2018 山西质检)在极坐标系中， 曲线 C 的方程为 2 3 12sin2 ，点 R. (2 2， 4) (1)以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系， 把曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程，点 R 的极坐标化为直角 坐标； (2)设 P 为曲线 C 上一动点， 以 PR 为对角线的矩形 PQRS 的一边 垂直于极轴，求矩形 PQRS 周长的最小值，及此时 P 点的直角坐标 【解】(1)曲线 C：2，即 222sin2 3， 3 12sin2 从而 2
4、sin2 1. 2cos2 3 xcos ，ysin ， 曲线 C 的直角坐标方程为 y21， x2 3 点 R 的直角坐标为 R(2,2) (2)设 P(cos ，sin )，3 根据题意可得|PQ|2cos ，|QR|2sin ，3 |PQ|QR|42sin ， ( 3) 当 时，|PQ|QR|取最小值 2， 6 矩形 PQRS 周长的最小值为 4， 此时点 P 的直角坐标为. ( 3 2， 1 2) 5(2018 南京模拟)已知直线 l： sin 4 和圆 C： 2kcos ( 4) (k0) 若直线l上的点到圆C上的点的最小距离等于2.求实数k ( 4) 的值并求圆心 C 的直角坐标
5、【解】圆 C 的极坐标方程可化为 kcos ksin ，22 即 2kcos ksin ，22 所以圆 C 的直角坐标方程为 x2y2kxky0，22 即 22k2， (x 2 2 k) (y 2 2 k) 所以圆心 C 的直角坐标为. ( 2 2 k， 2 2 k) 直线 l 的极坐标方程可化为 sin cos 4， 2 2 2 2 所以直线 l 的直角坐标方程为 xy40，2 所以|k|2. | 2 2 k 2 2 k4 2| 2 即|k4|2|k|， 两边平方，得|k|2k3， 所以Error!或Error! 解得 k1，故圆心 C 的直角坐标为. ( 2 2 ， 2 2) 6(2018
6、 河南开封模拟)已知圆 C：x2y24，直线 l：xy2. 以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴， 取相同的单位长度建立极坐标系 (1)将圆 C 和直线 l 方程化为极坐标方程； (2)P 是 l 上的点，射线 OP 交圆 C 于点 R，又点 Q 在 OP 上，且 满足|OQ|OP|OR|2， 当点 P 在 l 上移动时， 求点 Q 轨迹的极坐标方 程 【解】(1)将 xcos ，ysin 分别代入圆 C 和直线 l 的直角 坐标方程得其极坐标方程为 C：2，l：(cos sin )2. (2)设P， Q， R的极坐标分别为(1， )， (， )， (2， )， 则由|OQ|OP| |OR|2，得 1 . 2 2 又 22，1，所以4， 2 cos sin 2 cos sin 故点 Q 轨迹的极坐标方程为 2(cos sin )(0)