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1、【课时训练】第 30 节 数列求和 一、选择题 1 (2018 阳泉质检)已知数列an的前 n 项和为 Sn， 且满足 an2 2an1an，a54a3，则 S7( ) A7 B12 C14 D21 【答案】C 【解析】 由 an22an1an知数列an为等差数列， 由 a54a3 得 a5a34a1a7，所以 S714. 7a1a7 2 2 (2018辽宁五校联考)已知等差数列an满足a37， a5a726， bn(nN*)，数列bn的前 n 项和为 Sn，则 S100的值为( ) 1 a2 n1 A.B 101 25 35 36 CD 25 101 3 10 【答案】C 【解析】 在等差数
2、列an中， a5a72a626a613.又数列an 的公差 d2，所以 ana3(n3)d7(n3)2 a6a3 63 137 3 2n1， 那么bn， 故Snb1b2 1 a2 n1 1 4nn1 1 4( 1 n 1 n1) bnS100. 1 4( n n1) 1 4( 100 101) 25 101 3 (2018 河南郑州模拟)已知在等差数列an中， a1120， 公差 d 4.若 Snan(n2)，其中 Sn为该数列的前 n 项和，则 n 的最小值为 ( ) A60 B62 C70 D72 【答案】B 【解析】由题意得 an1204(n1)1244n，Sn120n (4)122n2
3、n2.由Snan， 得122n2n21244n， 即n2 nn1 2 63n620，解得 n62 或 n1(舍去)故选 B. 4(2018 嘉兴调研)已知 an(nN*)，数列an的前 n 项 3 2n101 和为 Sn，则使 Sn0 的 n 的最小值为( ) A99 B100 C101 D102 【答案】C 【解析】由通项公式得 a1a100a2a99a3a98a50a51 0，a1010.故选 C. 3 101 5 (2018 广东肇庆二模)已知数列an的前 n 项和是 Sn， 且 4Sn(an 1)2，则下列说法正确的是( ) A数列an为等差数列 B数列an为等差或等比数列 C数列an
4、为等比数列 D数列an既不是等差数列也不是等比数列 【答案】B 【解析】 4Sn(an1)2， 4Sn1(an11)2， 4Sn14Sn4an 1(an11)2(an1)2，化简得(an1an)(an1an2)0，an1 an2，或 an1an0，4a1(a11)2，a11.故选 B. 6 (2019 山西太原五中调考)在数列an中， an0， a1 ， 如果 an1 1 2 是 1 与的等比中项， 那么 a1的值是 2anan11 4a2 n a2 22 a3 32 a4 42 a100 1002 ( ) A. B 100 99 101 100 C D 100 101 99 100 【答案】
5、C 【解析】由题意得 a(2an1anan11)(2an1 2n1 2anan11 4a2 n anan11)0an1an11 1 2an an1 2an 1 an11 1 an1 1， 数列为以2 为首项， 1 为公差的等差数列， 1 an1 1 an1 2(n1)n1an .a1 n n1 an n2 1 nn1 1 n 1 n1 a2 22 1 . a100 1002 1 2 1 2 1 3 1 100 1 101 100 101 7 (2018 湖南衡阳模拟)已知数列an满足 a11， a21， an1|an an1|(n2)，则该数列前 2 017 项的和 S2 017( ) A1
6、345 B671 C1 342 D1 341 【答案】A 【解析】 由 a11， a21， an1|anan1|(n2)， 得 a30， a41， a51， a60， 则数列an是以 3 为周期的周期数列， 且 a1a2a32. 又 2 01767231，所以 S2 017672211 345. 二、填空题 8(2018 河北冀州中学月考)已知正项等比数列an的前 n 项和 为 Sn，且 S1，S3，S4成等差数列，则数列an的公比为_ 【答案】1 5 2 【解析】 设an的公比为q， 由题意易知q0且q1.因为S1， S3， S4 成等差数列， 所以 2S3S1S4， 即a1， 解得 q 2
7、a11q3 1q a11q4 1q . 1 5 2 9 (2018 泰安模拟)已知数列an中， a11， an1(1)n(an1)， 记 Sn为an的前 n 项和，则 S2 017_. 【答案】1 007 【解析】由 a11，an1(1)n(an1)可得，该数列是周期为 4 的数列， 且 a11， a22， a31， a40， 所以 S2 017504(a1a2a3 a4)a2 017504(2)11 007. 10(2018 山东枣庄质检)对于数列an，定义数列an1an为 数列an的“差数列” 若 a12，an的“差数列”的通项公式为 2n， 则数列an的前 n 项和 Sn_. 【答案】
8、2n12 【解析】 an1an2n, an(anan1)(an1an2) (a2a1)a12n12n2222222n22 22n 12 2n. Sn2n12. 22n1 12 三、解答题 11(2018 湖北稳派教育联考)设等差数列an的公差为 d，前 n 项和为 Sn， Snn2n(a11)(nN*)， 且 a1， a31， a57 成等比数列 (1)求数列an的通项公式； (2)设 bn，求数列bn的前 n 项和 Tn. 1 anan1 【解】(1)Snn2n(a11)， 又 Snna1d n2n， nn1 2 d 2(a 1d 2) d2. 又 a1，a31，a57 成等比数列 a1(a
9、57)(a31)2， 即a1(a115)(a13)2， 解得a11， an 12(n1)2n1. (2)由(1)可得 bn， 1 anan1 1 2n12n1 1 2( 1 2n1 1 2n1) 故Tnb1b2bn 1 bn 1 2 . (1 1 3)( 1 3 1 5)( 1 2n3 1 2n1)( 1 2n1 1 2n1) n 2n1 12(2018 辽宁五校联考)若数列an的前 n 项和为 Sn，点(an，Sn) 在 y x 的图象上(nN*) 1 6 1 3 (1)求数列an的通项公式； (2)若 c10，且对任意正整数 n 都有 cn1cnlog an.求证 ： 对任 1 2 意正整
10、数 n2，总有 . 1 3 1 c2 1 c3 1 c4 1 cn 3 4 (1)【解】 Sn an， 当 n2 时， anSnSn1 an1 an， 1 6 1 3 1 3 1 3 an an1. 1 4 又S1a1 a1，a1 ， 1 6 1 3 1 8 an是以 为首项， 为公比的等比数列 1 8 1 4 an n12n1. 1 8( 1 4)( 1 2) (2)【证明】由 cn1cnlog an2n1， 1 2 得当 n2 时，cnc1(c2c1)(c3c2)(cncn1)03 5(2n1)n21(n1)(n1)， 1 cn 1 n1n1 1 2 ， ( 1 n1 1 n1) 1 c2 1 c3 1 c4 1 cn 1 2(1 1 3)( 1 2 1 4)( 1 3 1 5)( 1 n1 1 n1) . 1 2(1 1 2)( 1 n 1 n1) 3 4 1 2( 1 n 1 n1) 3 4 又 ， 1 c2 1 c3 1 c4 1 cn 1 c2 1 3 原式得证