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1、考点测试 7 函数的奇偶性与周期性考点测试 7 函数的奇偶性与周期性 高考概览 本考点是高考的必考知识点，常考题型为选择题、填空题，分值5分，中等难度 考纲研读 1结合具体函数，了解函数奇偶性的含义 2会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性 3了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性 一、基础小题 1若函数f(x)为奇函数，则实数a( ) x 2 x 1 xa A B C D1 1 2 2 3 3 4 答案 A 解析 函数f(x)的定义域为xx 且xa奇函数定义域关于原点对称a 1 2 1 2 故选 A 2 已知定义在 R R 上的函数f(x)是奇函数， 且是以 2 为周期
2、的周期函数， 则f(1)f(4) f(7)( ) A1 B0 C1 D4 答案 B 解析 由题意知f(x)f(x)且f(x2)f(x)，所以f(1)f(4)f(7)f(1) f(0)f(1)0故选 B 3已知f(x)为奇函数，在3，6上是增函数，且在3，6上的最大值为 8，最小值为 1，则 2f(6)f(3)( ) A15 B13 C5 D5 答案 A 解析 因为函数在3， 6上是增函数， 所以f(6)8，f(3)1 又因为函数为奇函数， 所以 2f(6)f(3)2f(6)f(3)28115故选 A 4已知函数f(x)为奇函数，当x0 时，f(x)x2x，则当x0， 所以f(x)x2x， 又函
3、数f(x)为奇函数， 所以f(x) f(x)x2x 2 ，所以当x0 时，f(x)x2x 2 ，最小值为 ，因为函数f(x)为奇函数， (x 1 2) 1 4 1 4 所以当xf(3) Bf(2)f(5) Cf(3)f(5) Df(3)f(6) 答案 D 解析 由yf(x4)为偶函数， 得f(x4)f(x4)， 则f(2)f(6)，f(3)f(5)， C 错误 ； 又f(x)在(4，)上为减函数，则f(5)f(6)，即f(3)f(2)，A 错误 ；f(5)f(2)，B 错误；f(3)f(6)，D 正确故选 D 9已知函数yf(x)是定义在 R R 上的偶函数，且在(，0上是增函数，若不等式 f
4、(a)f(x)对任意x1，2恒成立，则实数a的取值范围是( ) A(，1 B1，1 C(，2 D2，2 答案 B 解析 因为函数f(x)为偶函数， 且在(， 0上是增函数， 所以函数f(x)在0， ) 上是减函数，则不等式f(a)f(x)对任意x1，2恒成立等价于f(a)f(x)maxf(1)， 所以|a|1，解得1a1，即实数a的取值范围为1，1，故选 B 10已知函数f(x)满足f(xy)f(xy)2f(x)f(y)，且f(0)0，则f(x)( ) A为奇函数 B为偶函数 C为非奇非偶函数 D奇偶性不能确定 答案 B 解析 令xy0， 则 2f(0)2f2(0)， 又f(0)0， 所以f(
5、0)1 令x0， 则f(y)f( y)2f(0)f(y)，即f(y)f(y)，所以函数f(x)是偶函数故选 B 11若f(x)(xa)(x4)为偶函数，则实数a_ 答案 4 解析 因为f(x)(xa)(x4)为偶函数，所以f(x)f(x)对于任意的x都成立， 即(xa)(x4)(xa)(x4)， 所以x2(a4)x4ax2(4a)x4a， 所以a4 4a，即a4 12设函数f(x)x3cosx1若f(a)11，则f(a)_ 答案 9 解析 记g(x)x3cosx，则g(x)为奇函数，故g(a)g(a)f(a)110， 故f(a)g(a)19 二、高考小题 13 (2018全国卷)已知f(x)是
6、定义域为(， )的奇函数， 满足f(1x)f(1 x)若f(1)2，则f(1)f(2)f(3)f(50)( ) A50 B0 C2 D50 答案 C 解析 因为f(x)是定义域为(， )的奇函数， 且f(1x)f(1x)， 所以f(1x) f(x1)，所以f(3x)f(x1)f(x1)，所以T4，因此f(1)f(2)f(3) f(50)12f(1)f(2)f(3)f(4)f(1)f(2)，因为f(3)f(1)，f(4) f(2)，所以f(1)f(2)f(3)f(4)0，因为f(2)f(2)f(2)，所以f(2)0，从 而f(1)f(2)f(3)f(50)f(1)2，故选 C 14 (2017全
7、国卷)函数f(x)在(， )单调递减， 且为奇函数 若f(1)1， 则满足1f(x2)1 的x的取值范围是( ) A2，2 B1，1 C0，4 D1，3 答案 D 解析 f(x)为奇函数，f(x)f(x)f(1)1，f(1)f(1)1故 由1f(x2)1， 得f(1)f(x2)f(1) 又f(x)在(， )单调递减， 1x 21，1x3故选 D 15(2017天津高考)已知奇函数f(x)在 R R 上是增函数，g(x)xf(x)若ag( log251)，bg(208)，cg(3)，则a，b，c的大小关系为( ) Aabc Bcba Cbac Dbca 答案 C 解析 依题意ag(log25 1
8、)(log25 1)f(log25 1)log25 1f(log25 1) g(log251)因为奇函数f(x)在 R R 上是增函数，可设 0x1x2，则 0f(0) 时，ff则f(6)( ) 1 2 (x 1 2) (x 1 2) A2 B1 C0 D2 答案 D 解析 当x 时， 由ff， 可得当x0时，f(x)f(x1)， 所以f(6)f(1)， 1 2 (x 1 2) (x 1 2) 而f(1)f(1)，f(1)(1)312，所以f(6)f(1)2，故选 D 17(2018全国卷)已知函数f(x)ln (x)1，f(a)4，则f(a)1x2 _ 答案 2 解析 f(x)f(x)ln
9、(x)1ln (x)1ln (1x2x2)1x21x2 22，f(a)f(a)2，f(a)4，f(a)2 18 (2016江苏高考)设f(x)是定义在R R上且周期为2的函数， 在区间1， 1)上，f(x) Error!Error!其中aR R若ff，则f(5a)的值是_ ( 5 2) ( 9 2) 答案 2 5 解析 f(x)是周期为2的函数， fff，fff ( 5 2) (2 1 2) ( 1 2) ( 9 2) (4 1 2) ( 1 2) 又ff， 所以ff， 即 a， 解得a ， 则f(5a)f(3)f(4 ( 5 2) ( 9 2) ( 1 2) ( 1 2) 1 2 1 10
10、3 5 1)f(1)1 3 5 2 5 三、模拟小题 19(2018河南洛阳一模)已知函数yf(x)满足yf(x)和yf(x2)是偶函数， 且f(1)，设F(x)f(x)f(x)，则F(3)( ) 3 A B C D 3 2 3 4 3 答案 B 解析 由yf(x)和yf(x2)是偶函数知f(x)f(x)， 且f(x2)f(x2)， 则f(x2)f(x2)，则f(x)f(x4)所以F(3)f(3)f(3)2f(3)2f(1) 2f(1)故选 B 2 3 20 (2018河北石家庄一模)已知奇函数f(x)在x0 时单调递增， 且f(1)0， 若f(x 1)0，则x的取值范围为( ) Ax|02
11、Bx|x2 Cx|x3 Dx|x1 答案 A 解析 奇函数f(x)在(0，)上单调递增，且f(1)0，函数f(x)在(，0) 上单调递增，且f(1)0，则11 时，f(x)0；x0 即11，解得 02，故选 A 21(2018湖北荆州一模)下列函数是奇函数且在定义域内是增函数的是( ) AyexBytanx Cyx3x Dyln 2x 2x 答案 D 解析 函数yex不是奇函数，不满足题意；函数ytanx是奇函数，但在整个定义域 内不是增函数， 不满足题意 ； 函数yx3x是奇函数， 当x，时，y3x210 且a1)是定义域 为 R R 的奇函数 (1)求k的值； (2)若f(1) ，不等式f
12、(3xt)f(2x1)0 对x1，1恒成立，求实数t 5 6 的最小值 解 (1)f(x)是定义在 R R 上的奇函数， f(0)2k110，解得k1 (2)由(1)知f(x)axax，因为f(1) ， 5 6 所以a ，解得a 或a (舍去)， 1 a 5 6 2 3 3 2 故f(x) xx， 2 3 3 2 则易知函数yf(x)是 R R 上的减函数， f(3xt)f(2x1)0，f(3xt)f(2x1)， 3xt2x1，tx1， 即tx1 在1，1上恒成立，则t2，即实数t的最小值是 2 2(2018安徽合肥质检)已知函数f(x)Error!Error!是奇函数 (1)求实数m的值；
13、(2)若函数f(x)在区间1，a2上单调递增，求实数a的取值范围 解 (1)设x0， 所以f(x)(x)22(x)x22x 又f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)， 于是x0，且a1) (1)求函数f(x)g(x)的定义域； (2)判断函数f(x)g(x)的奇偶性，并予以证明； (3)求使f(x)g(x)1 时，01，不等式无解， 综上，当a1 时，使f(x)g(x) xm恒成立，求实数m的取值范 1 2 围 解 (1)函数f(x)是奇函数，f(x)f(x)， 即 loglog， 1 2 1ax x1 1 2 1ax x1 1ax x1 x1 1ax 整理得 1x21a2x2，a21，解得a
14、1， 当a1 时，1，不符合题意舍去， 1ax x1 a1 (2)证明：由(1)可得f(x)log， 1 2 1x x1 设x1，x2(1，)，且x1x11，x1x20， log，即f(x2)f(x1) 1 2 1x2 x21 1 2 1x1 x11 f(x)是(1，)上的增函数 (3)依题意得mlog x在3，4上恒成立，设u(x)log x，x3，4， 1 2 1x x1 1 2 1 2 1x x1 1 2 由(2)知函数u(x)log x在3，4上单调递增， 1 2 1x x1 1 2 当x3 时，u(x)有最小值，且u(x)minu(3) ，所以m 故实数m的取值范 9 8 9 8 围为， 9 8