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1、第三讲第三讲 一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系 现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判断 式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着许多应用本节将对一元 二次方程根的判别式、根与系数的关系进行阐述 一、一元二次方程的根的判断式一、一元二次方程的根的判断式 一元二次方程，用配方法将其变形为： 2 0 (0)axbxca 2 2 2 4 () 24 bbac x aa (1) 当时，方程有两个不相等的实数根： ； 2 40bac 2 4 2 bbac x a (2) 当时，方程有两个相等的实数根：； 2
2、 40bac 1,2 2 b x a (3) 当时，方程没有实数根 2 40bac 由于可以用的取值情况来判定一元二次方程的根的情况 因此， 把叫做一元二次方 2 4bac 2 4bac 程的根的判别式根的判别式：. 2 0 (0)axbxca 2 4bac 【例 1】【例 1】不解方程，判断下列方程的实数根的个数： (1) (2) (3) 2 2310xx 2 4912yy 2 5(3)60xx 解：解：(1) ， 原方程有两个不相等的实数根 2 ( 3)42 110 (2) 原方程可化为： 2 41290yy ， 原方程有两个相等的实数根 2 ( 12)4490 (3) 原方程可化为： 2
3、 56150xx ， 原方程没有实数根 2 ( 6)45 152640 说明：说明：在求判断式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式 【例 2】【例 2】已知关于的一元二次方程，根据下列条件，分别求出的范围：x 2 320xxkk (1) 方程有两个不相等的实数根；(2) 方程有两个相等的实数根 (3) 方程有实数根；(4) 方程无实数根 解：解：. . 2 ( 2)43412kk (1) ；(2) ； 1 4120 3 kk 1 4120 3 kk (3) ；(4) 1 4 120 3 kk 1 4 120 3 kk 【例 3】【例 3】已知实数、满足，试求、的值xy 22 210xy
4、xyxy xy 解：解：把方程看作是关于的方程，整理得：.x 22 (2)10xyxyy 由于是实数，所以此方程有实数根，因此：x ， 222 (2)4(1)300yyyyy 代入原方程得：综上知：. 2 2101xxx 1,0xy 二、一元二次方程的根与系数的关系二、一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程的两个根为： 2 0 (0)axbxca . 22 12 44 , 22 bbacbbac xx aa 所以：， 22 12 44 22 bbacbbacb xx aaa . 22222 12 22 44()(4)4 22(2 )4 bbacbbacbbacacc xx aaaaa 定
5、理 ：定 理 ： 如 果 一 元 二 次 方 程的 两 个 根 为， 那 么 ：如 果 一 元 二 次 方 程的 两 个 根 为， 那 么 ： 2 0 (0)axbxca 12 ,x x . 1212 , bc xxx x aa 说明：说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为韦达 定理上述定理成立的前提是0 【例 4】【例 4】若是方程的两个根，试求下列各式的值： 12 ,x x 2 220090xx (1) ； (2) ；(3) ；(4) 22 12 xx 12 11 xx 12 (5)(5)xx 12 |xx 解：解：由题意，由根与系数的关系得：
6、. 1212 2,2009xxx x (1) . 2222 121212 ()2( 2)2( 2009)4022xxxxx x (2) . 12 1212 1122 20092009 xx xxx x (3) . 121212 (5)(5)5()2520095( 2)251974xxx xxx (4) . 222 12121212 |()()4( 2)4( 2009)2 2040xxxxxxx x 说明：说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形： ， 222 121212 ()2xxxxx x 12 1212 11xx xxx x 22 121212 ()()4xxxxx x ，
7、2 121212 |()4xxxxx x 22 12121212 ()x xx xx xxx 等等韦达定理体现了整体代换思想 333 12121212 ()3()xxxxx xxx 【例 5】【例 5】已知两个数的和为 4，积为12，求这两个数 解解：法一法一 设这两个数分别是，则或. .xy 4 12 xy xy 1 1 2 6 x y 2 2 6 2 x y 因此，这两个数是2 和 6 法二法二 由韦达定理知，这两个数是方程 24 120 的两个根xx 解方程得： 12，26 所以，这两个数是2 和 6xx 【例 6】【例 6】已知关于的方程，根据下列条件，分别求出的值x 22 1 (1)
8、10 4 xkxk k (1) 方程两实根的积为 5；(2) 方程的两实根满足 12 ,x x 12 |xx 解：解： . 22 13 (1)4(1)230 42 kkkk (1) .所以，当时，方程两实根的积为 5 2 12 1 154 4 x xkk 4k (2) 由得知： 12 |xx 当时，； 1 0x 12 xx 3 0 2 k 当时，不合题意，舍去 1 0x 1212 0101xxxxkk 综上可知，时方程的两实根满足 3 2 k 12 ,x x 12 |xx 说明：说明：根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即 所求的字母应满足0 【例
9、7】【例 7】已知是一元二次方程的两个实数根 12 ,x x 2 4410kxkxk (1) 是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；k 1212 3 (2)(2) 2 xxxx k 若不存在，请您说明理由 (2) 求使的值为整数的实数的整数值 12 21 2 xx xx k 解： 一元二次方程有两个实数根. 2 4410kxkxk . 2 40 0 ( 4 )44 (1)160 k k kk kk (1) 假设存在实数，使成立k 1212 3 (2)(2) 2 xxxx 222 121212121212 (2)(2)2()52()9xxxxxxx xxxx x ，但不存在实数，使成立 939 425 k k k 0k k 1212 3 (2)(2) 2 xxxx (2) . 222 121212 211212 ()44 2244 11 xxxxxxk xxx xx xkk 要使其值是整数，只需能被 4 整除，故，1k 11, 2, 4k 注意到，要使的值为整数的实数的整数值为0k 12 21 2 xx xx k2, 3, 5