4函数.pdf

《4函数.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《4函数.pdf（6页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、第四章第四章 二次函数二次函数 4.1 二次函数二次函数 yax2bxc 的图像和性质的图像和性质 二次函数 yax2bxc(a0)具有下列性质： （1）当 a0 时，函数 yax2bxc 图象开口向上；顶点坐标为， 2 4 (,) 24 bacb aa 对称轴为直线 x；当 x时，y 随着 x 的增大而减小；当 x时，y 随着 x 2 b a2 b a 2 b a 的增大而增大；当 x时，函数取最小值 y 2 b a 2 4 4 acb a （2）当 a0 时，函数 yax2bxc 图象开口向下；顶点坐标为， 2 4 (,) 24 bacb aa 对称轴为直线 x；当 x时，y 随着 x 的

2、增大而增大；当 x时，y 随着 x 2 b a2 b a 2 b a 的增大而减小；当 x时，函数取最大值 y 2 b a 2 4 4 acb a 上述二次函数的性质可以分别通过图 411 和图 412 直观地表示出来因此，在 今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题 二次函数 ya(xh)2k(a0)中，a 决定了二次函数图象的开口大小及方向； h 决定了二次函数图象的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移”； k 决定了二次函 数图象的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移” 例 1 求二次函数 y3x26x1 图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、 最大值

3、 （或最小值） ， 并指出当 x 取何值时， y 随 x 的增 大而增大 （或减小）？并画出该函数的图象 解：y3x26x13(x1)24， 函数图象的开口向下； 对称轴是直线 x1； 顶点坐标为(1，4)； 当 x1 时，函数 y 取最大值 y4； 当 x1 时，y 随着 x 的增大而增大 ； 当 x x y O x 2 b a A 2 4 (,) 24 bacb aa 图 4.1-1 x y O x 2 b a A 2 4 (,) 24 bacb aa 图 4.1-2 xO y x1 A(1,4) D(0,1) BC 图 4.13 1 时，y 随着 x 的增大而减小； 采用描点法画图，选顶

4、点 A(1，4)，与 x 轴交于点 B和 C 2 33 (,0) 3 ， 与 y 轴的交点为 D(0， 1)， 过这五点画出图象 （如图 4.13 所示） 2 33 (,0) 3 说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直 接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确 例 2 某种产品的成本是 120 元/件，试销阶段每件产品的售价 x（元）与产 品的日销售量 y（件）之间关系如下表所示： x /元130150165 y/件705035 若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润， 每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售

5、利润是多少？ 分析：由于每天的利润日销售量 y(销售价 x120)，日销售量 y 又是销售 价 x 的一次函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利 润与销售价 x 之间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利润的 最大值 解：由于 y 是 x 的一次函数，于是，设 ykx（B） 将 x130，y70；x150，y50 代入方程，有 70130, 50150, kb kb 解得 k1，b200 yx200 设每天的利润为 z（元） ，则 z(x+200)(x120)x2320x24000 (x160)21600， 当 x160 时，z 取最大值 1600 答：当售价

6、为 160 元/件时，每天的利润最大，为 1600 元 例 3 把二次函数 yx2bxc 的图像向上平移 2 个单位，再向左平移 4 个单位，得到 函数 yx2的图像，求 b，c 的值 解法一 ： yx2bxc(x+)2，把它的图像向上平移 2 个单位，再向左平移 4 2 b 2 4 b c 个单位，得到的图像，也就是函数 yx2的图像，所以， 2 2 (4)2 24 bb yxc 解得 b8，c14 2 40, 2 20, 4 b b c 解法二：把二次函数 yx2bxc 的图像向上平移 2 个单位，再向左平移 4 个单位， 得到函数 yx2的图像，等价于把二次函数 yx2的图像向下平移 2

7、 个单位，再向右平移 4 个单位，得到函数 yx2bxc 的图像 由于把二次函数yx2的图像向下平移2个单位， 再向右平移4个单位， 得到函数y(x 4)22 的图像，即为 yx28x14 的图像，函数 yx28x14 与函数 yx2bxc 表 示同一个函数，b8，c14 说明 ： 本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题，所以，同学们要 牢固掌握二次函数图像的变换规律 这两种解法反映了两种不同的思维方法 ： 解法一，是直接利用条件进行正向的思维来解 决的，其运算量相对较大 ； 而解法二，则是利用逆向思维，将原来的问题等价转化成与之等 价的问题来解，具有计算量小的优点今后，我们在

8、解题时，可以根据题目的具体情况，选 择恰当的方法来解决问题 例 4 已知函数 yx2，2xa，其中 a2，求该函数的最大值与最小值，并求出函 数取最大值和最小值时所对应的自变量 x 的值 分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对 a 的取值进行讨论 解：（1）当 a2 时，函数 yx2的图象仅仅对应着一个点(2，4)，所以，函数的 最大值和最小值都是 4，此时 x2； （2） 当2a0 时， 由图 4 14可知， 当 x2 时， 函数取最大值 y4； 当 xa 时，函数取最小值 ya2； （3）当 0a2 时，由图 414可知，当 x2 时，函数取最大值 y4； 当 x0 时，函数

9、取最小值 y0； （4）当 a2 时，由图 414可知，当 xa 时，函数取最大值 ya2；当 x0 时， 函数取最小值 y0 说明：在本例中，利用了分类讨论的方法，对 a 的所有可能情形进行讨 论此外，本例中所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取 部分实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决 问题 练 习 1下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是_ （1）y2x2 （2）y2x24x2 （3）y2x21 （4）y2x24x 2.函数 y2(x1)22 的图像是将函数 y2x2 的图像 _得到的. 3二次函数 y2x2mxn 图象的顶点坐标为(1，2)，

10、则 m ，n 4.已知二次函数 yx2+(m2)x2m，当 m 时，函数图象的顶点在 y 轴上；当 m 时，函数图象的顶点在 x 轴上；当 m 时，函数图象经过原点 5. 函数 y3(x2)25 的图象的开口向 ，对称轴为 ，顶点坐标 为 ； 当 x 时，函数取最 值 y ； 当 x 时，y 随着 x 的增大而减小 6求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及 y 随 x 的变化情况，并 画出其图象 （1）yx22x3； （2）y16 xx2 7已知函数 yx22x3，当自变量 x 在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最 小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量 x 的

11、值： （1）x2；（2）x2；（3）2x1；（4）0x3 x y O 2 a x y O 2 a a2 4 图 4.14 x y Oa 2 2 4 a2 2 x y Oa a2 4 4.2 二次函数的三种表示方式二次函数的三种表示方式 通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式： 1一般式：一般式：yax2bxc(a0)； 2顶点式：顶点式：ya(xh)2k (a0)，其中顶点坐标是，其中顶点坐标是(h，k) 3交点式：交点式：ya(xx1) (xx2) (a0)，其中，其中 x1，x2是二次函数图象与是二次函数图象与 x 轴交 点的横坐标 轴交 点的横坐标 今后，在求二次函

12、数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一 般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题 例 1 已知某二次函数的最大值为 2，图像的顶点在直线 yx1 上，并且图象经过点 （3，1） ，求二次函数的解析式 分析 ： 在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件最大值、顶点位置，从而可以 将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数 a 解：二次函数的最大值为 2，而最大值一定是其顶点的纵坐标， 顶点的纵坐标为 2 又顶点在直线 yx1 上， 所以，2x1，x1 顶点坐标是（1，2） 设该二次函数的解析式为， 2 (2)1(0)ya xa 二次函数的图像经过点（3，1） ，

13、 ，解得 a2 2 1(32)1a 二次函数的解析式为，即 y2x28x7 2 2(2)1yx 说明 ： 在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然 后设出二次函数的顶点式， 最终解决了问题 因此， 在解题时， 要充分挖掘题目所给的条件， 并巧妙地利用条件简捷地解决问题 例 2 已知二次函数的图象过点(3，0)，(1，0)，且顶点到 x 轴的距离等于 2，求此二 次函数的表达式 分析一 ： 由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图 象与 x 轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式 解法一：二次函数的图象过点(3，0)，(1，0)，

14、 可设二次函数为 ya(x3) (x1) (a0)， 展开，得 yax22ax3a， 顶点的纵坐标为 ， 22 124 4 4 aa a a 由于二次函数图象的顶点到 x 轴的距离 2， |4a|2，即 a 1 2 所以，二次函数的表达式为 y，或 y 2 13 22 xx 2 13 22 xx 分析二：由于二次函数的图象过点(3，0)，(1，0)，所以，对称轴为直线 x1，又 由顶点到 x 轴的距离为 2，可知顶点的纵坐标为 2，或2，于是，又可以将二次函数的表达 式设成顶点式来解，然后再利用图象过点(3，0)，或(1，0)，就可以求得函数的表达式 解法二：二次函数的图象过点(3，0)，(1

15、，0)， 对称轴为直线 x1 又顶点到 x 轴的距离为 2， 顶点的纵坐标为 2，或2 于是可设二次函数为 ya(x1)22，或 ya(x1)22， 由于函数图象过点(1，0)， 0a(11)22，或 0a(11)22 a，或 a 1 2 1 2 所以，所求的二次函数为 y(x1)22，或 y(x1)22 1 2 1 2 说明 ： 上述两种解法分别从与 x 轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度， 利用交点式和顶点式来解题，在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当 的方法来解决问题 例 3 已知二次函数的图象过点(1，22)，(0，8)，(2，8)，求此二次函 数的表达式 解：设该二次函数

16、为 yax2bxc(a0) 由函数图象过点(1，22)，(0，8)，(2，8)，可得 22, 8, 842, abc c abc 解得 a2，b12，c8 所以，所求的二次函数为 y2x212x8 通过上面的几道例题，同学们能否归纳出：在什么情况下，分别利用函数的 一般式、顶点式、交点式来求二次函数的表达式吗？ 练 习 1函数 yx2x1 图象与 x 轴的交点个数是_. 2.函数 y (x1)22 的顶点坐标是_. 1 2 3.已知二次函数的图象经过与 x 轴交于点(1， 0)和(2， 0)， 则该二次函数的解析式可设为 ya (a0) 4.二次函数 yx2+2x1 的函数图象与 x 轴两交点

17、之间的距离为 3 5根据下列条件，求二次函数的解析式 （1）图象经过点(1，2)，(0，3)，(1，6)； （2）当 x3 时，函数有最小值 5，且经过点(1，11)； （3）函数图象与 x 轴交于两点(1，0)和(1，0)，并与 y 轴交于(0，2)22 习题 4 A 组 1把函数 y(x1)24 的图象的顶点坐标是_. 2. 函数 yx24x6 的最值情况是_. 3. 函数y2x24x5 中，当3x2 时，则y值的取值范围是_. 4已知某二次函数的图象与 x 轴交于 A(2，0)，B(1，0)，且过点 C（2，4） ，则该二次函 数的表达式为 5.已知某二次函数的图象过点（1，0） ， （

18、0，3） ， （1，4） ，则该函数的表达式 为 6把已知二次函数 y2x24x7 的图象向下平移 3 个单位，在向右平移 4 个单位，求所 得图象对应的函数表达式 7已知某二次函数图象的顶点为 A（2，18） ，它与 x 轴两个交点之间的距离为 6，求该 二次函数的解析式 B 组 1将二次函数y2x24x7 的图象关于直线x1 对称后， 所得图象对应的函数 表达式为 ；再将该图象关于直线y2 对称，所得图象对应 的函数表达式为 2. 函数 yx24x2 在 0x3 上的最大值为 ，最小值为 3. 函数 y=x2+4ax+2 在 x6 时，y 随着 x 的增大而减小，则 a 的取值范围是 4

19、某市空调公共汽车的票价按下列规则制定： （1）5km 以内，票价 2 元； （2）5km 以上，每增加 5km，票价增加 1 元（所增加的里程，不足 5km 的按 5km 的 按 5km 计算） 5. 已知两个相邻的公共汽车站间相距 1km，如果沿途（包括起点站和终点站）有 21 个汽车 站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数关系式，并画出函数图象 C 组 1 已知二次函数 ya(x )2+25 的最大值为 25， 且方程 a(x 1 2 )2+250 两根的立方和为 19， 求函数表达式 1 2 2 如图， 某农民要用 12m 的竹篱笆在墙边围出一块一面为墙、 另三面为篱笆的矩形地供他圈养小鸡已知墙的长度为 6m，问怎样围才能使得该矩形面积最大？ 3把二次函数 y2x24x3 的图象向下平移 3 个单位后，所得图象记为 C1； 再把 C1向 右平移 2 个单位的图象再将 C2沿着直线 y2 对称得图象 C3；最后，再将 C3以原点为 对称中心作其中心对称图形得到 C4分别求出 C1，C2，C3，C4所对应函数的表达式 5 4 3 2 第 2 题