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1、第四讲第四讲 二次函数二次函数 二次函数是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础.在初中，大家 2 (0)yaxbxc a 已经知道二次函数在自变量取任意实数时的最值情况.x 本节我们将在这个基础上继续学习当自变量在某个范围内取值时，函数的最值问题. x 一、二次函数的图像和性质一、二次函数的图像和性质 2 (0)yaxbxc a （1）当时，函数图象开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线0a 2 yaxbxc 2 4 (,) 24 bacb aa .在对称轴的左侧，随着的增大而减小；在对称轴的右侧，随着的增大而增大；当 2 b x a yxyx 时，函数取最小值 2 b x a 2 4 4
2、acb y a （2）当时，函数图象开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线0a 2 yaxbxc 2 4 (,) 24 bacb aa .在对称轴的左侧，随着的增大而增大；在对称轴的右侧，随着的增大而减小；当 2 b x a yxyx 时，函数取最大值y 2 b x a 2 4 4 acb a 今后解决二次函数问题时，要善于借助函数图像，利用数形结合的思想方法解决问题 【例 1】【例 1】 请您求出二次函数的图象的开口方向、 对称轴方程、 顶点坐标、 最大值 （或 2 361yxx 最小值） ，并指出当取何值时，随的增大而增大（或减小） ，并画出该函数的图象xyx 解：解：. 22 3613(1)
3、4yxxx 函数图象的开口向下， 对称轴方程x1，顶点坐标为(1，4)， 当时，.1x max 4y 在对称轴的左侧，随着的增大而增大；在对称轴的右侧，随着的增大而减小 (如图) .yxyx x y O x 2 b a A 2 4 (,) 24 bacb aa x y O x 2 b a A 2 4 (,) 24 bacb aa x1 二、二次函数的三种表示方式二、二次函数的三种表示方式 1一般式：1一般式：. 2 (0)yaxbxc a 2顶点式：2顶点式：，顶点坐标是)0()( 2 akhxay),(kh 3交点式：3交点式：，其中，是二次函数图象与轴交点的横坐标 12 ()() (0)y
4、a xxxxa 1 x 2 xx 【例 2】【例 2】已知二次函数的图象过点(1，22)，(0，8)，(2，8)，求此二次函数的表达式 解：解：设该二次函数为 2 (0)yaxbxc a 由条件得 .所求的二次函数为 222 812 4288 abca cb abcc 2 2128yxx 【例 3】【例 3】 已知二次函数的最大值为 2，图像的顶点在直线上，并且图象经过点（3，1），1yx 求此二次函数的解析式 解：解：由条件易知顶点坐标是（1，2）， 设该二次函数的解析式为， 2 (2)1(0)ya xa 图像经过点（3，1）， 2 1(32)12aa 二次函数的解析式为，即 2 2(2)1
5、yx 2 287yxx 【例 4】【例 4】已知二次函数的图象过点(3，0)，(1，0)，且顶点到轴的距离等于 2，求此二次函数的x 表达式 解：解：法一 二次函数的图象过点(3，0)，(1，0)， 可设二次函数为，即.(3)(1) (0)ya xxa 2 23yaxaxa 顶点的纵坐标为 ， 22 124 4 4 aa a a 二次函数图象的顶点到轴的距离为 2，x 1 | 4 | 2 2 aa 二次函数的表达式为或 2 13 22 yxx 2 13 22 yxx 解：解：法二 二次函数的图象过点(3，0)，(1，0)， 对称轴为直线1x 又顶点到轴的距离为 2， 顶点的纵坐标为 2 或2x
6、 可设二次函数为或. 2 (1)2ya x 2 (1)2ya x 函数图象过点(1，0)， 1 2 a 二次函数的表达式为或 2 13 22 yxx 2 13 22 yxx 说明：说明：在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题 通过上面的几道例题，同学们能否归纳出：在什么情况下，分别利用函数的一般式、顶点式、交点式 来求二次函数的表达式？ 三、二次函数的最值问题三、二次函数的最值问题 【例 5】【例 5】当时，求函数的最大值和最小值22x 2 23yxx 解：解：作出函数的图象当时，当时，1x min 4y 2x max 5y 【例 6】【例 6】当时，求函数的最大值和最小值12x 2 1yxx 解：解：作出函数的图象当时，当时，1x max 1y 2x min 5y 由上述两例可以看到，二次函数在自变量的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段那么最高x 点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值 根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量的范围的图象形状各异下面给出一些常见情况：x