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1、第七章第七章 常用解题方法常用解题方法 7.1一般解题方法 7.1.1、配方法 所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一 个或几个多项式正整数次幂的和形式. 通过配方解决数学问题的方法叫配方法. 其中，用的最多的是配成完全平方式. 配方法是数学中一种重要的恒等变形的方 法， 它的应用十分非常广泛， 在因式分解、 化简根式、 解方程、 证明等式和不等式、 求函数的极值和解析式等方面都经常用到它. 7.1.2、因式分解法 因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式. 因式分解是恒等变 形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的 解题中起着
2、重要的作用. 因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因 式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、 换元、待定系数等等. 7.1.3、换元法 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法.我们通常把未 知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变 元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决. 7.1.4、判别式法与韦达定理 一元二次方程 ax2+bx+c=0（a、b、c 属于 R，a0）根的判别，=b2-4ac，不 仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解 不等式，研究
3、函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用. 韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根 ； 已知两个数的和与积， 求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解 对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用. 7.1.5、待定系数法 在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些 待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系 数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称 为待定系数法. 它是中学数学中常用的方法之一. 7.1.6、构造法 在解题时，我们常常会采用这样的方法，通
4、过对条件和结论的分析，构造辅助 元素， 它可以是一个图形、 一个方程(组)、 一个等式、 一个函数、 一个等价命题等， 架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法， 我们称为构造法. 运用构造法解题，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互 相渗透，有利于问题的解决. 7. 1.7、反证法 反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从 这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原 命题正确的一种方法. 反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举 反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分
5、为：(1) 反设；(2)归谬；(3)结论. 反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形 式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直 于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有； 至少有 n 个/至多有(n 一 1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个. 归谬是反证法的关键， 导出矛盾的过程没有固定的模式， 但必须从反设出发， 否则推导将成为无源之水， 无本之木。 推理必须严谨.导出的矛盾有如下几种类型 ： 与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛 盾. 7.
6、1.8、面积法 平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算有关的性质定理， 不仅可用于计算面积，而且用它来证明平面几何题有时会收到事半功倍的效果. 运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法，称为面积方法，它是几何中的一 种常用方法. 用归纳法或分析法证明平面几何题，其困难在添置辅助线. 面积法的特点是 把已知和未知各量用面积公式联系起来，通过运算达到求证的结果. 所以用面积 法来解几何题，几何元素之间关系变成数量之间的关系，只需要计算，有时可以 不添置补助线，即使需要添置辅助线，也很容易考虑到. 7.2解填空的方法 要想迅速、正确地解填空题，除了具有准确的计算、严密的推理外，还要有
7、解选择题、填空题的方法与技巧. 下面通过实例介绍常用方法. 7.2.1 直接推演法：直接从命题给出的条件出发，运用概念、公式、定理等进行推 理或运算，得出结论，选择正确答案，这就是传统的解题方法，这种解法叫直接 推演法. 7.2.2 验证法：由题设找出合适的验证条件，再通过验证，找出正确答案，亦可将 供选择的答案代入条件中去验证， 找出正确答案， 此法称为验证法 （也称代入法）. 当遇到定量命题时，常用此法. 7.2.3 特殊元素法：用合适的特殊元素（如数或图形）代入题设条件或结论中去， 从而获得解答.这种方法叫特殊元素法. 7.2.3 排除、筛选法 ： 对于正确答案有且只有一个的选择题，根据数学知识或推理、 演算，把不正确的结论排除，余下的结论再经筛选，从而作出正确的结论的解法 叫排除、筛选法. 7.2.4 图解法：借助于符合题设条件的图形或图象的性质、特点来判断，作出正确 的选择称为图解法. 图解法是解选择题常用方法之一. 7.2.5 分析法：直接通过对选择题的条件和结论，作详尽的分析、归纳和判断， 从而选出正确的结果，称为分析法.