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1、 三角函数、解三角形、平面向量三角函数、解三角形、平面向量 1 终边与 终边相同( 的终边在 终边所在的射线上)2k(kZ)，注意：相等的 角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等 任意角的三角函数的定义：设 是任意一个角，P(x，y)是 的终边上的任意一点(异于原点)， 它与原点的距离是 r0，那么 sin ，cos ，tan (x0)，三角函数值只与x2y2 y r x r y x 角的大小有关，而与终边上点 P 的位置无关 问题 1 已知角 的终边经过点 P(3，4)，则 sin cos 的值为_ 答案 1 5 2同角三角函数的基本关系式及诱导公式 (1)平方关系：sin2cos21.
2、(2)商数关系：tan . sin cos (3)诱导公式记忆口诀：奇变偶不变、符号看象限 2 2 sinsin sin sin sin cos coscos cos cos cos sin 问题 2 cos tansin 21 的值为_ 9 4 ( 7 6 ) 答案 2 2 3 3 3三角函数的图象与性质 (1)五点法作图； (2)对称轴：ysin x，xk ，kZ；ycos x，xk，kZ； 2 对称中心：ysin x，(k，0)，kZ；ycos x，kZ；ytan x，kZ. ( k 2，0) ( k 2 ，0) (3)单调区间： ysin x 的增区间： (kZ)， 22k， 22k
3、减区间： (kZ)； 22k， 3 2 2k ycos x 的增区间： (kZ)， 2k，2k 减区间：2k，2k (kZ)； ytan x 的增区间： (kZ) ( 2k， 2k) (4)周期性与奇偶性： ysin x 的最小正周期为 2，为奇函数；ycos x 的最小正周期为 2，为偶函数；ytan x 的 最小正周期为 ，为奇函数 易错警示：求 yAsin(x)的单调区间时，容易出现以下错误： (1)不注意 的符号，把单调性弄反，或把区间左右的值弄反； (2)忘掉写2k，或k 等，忘掉写 kZ； (3)书写单调区间时，错把弧度和角度混在一起如0,90应写为. 0， 2 问题 3 函数 y
4、sin的递减区间是_ ( 2x 3) 答案 (kZ) k 12，k 5 12 4两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式 sin()sin cos cos sin sin 22sin cos . 令 cos()cos cos sin sin cos 2cos2sin22cos2112sin2. 令 tan(). tan tan 1 tan tan cos2，sin2，tan 2. 1cos 2 2 1cos 2 2 2tan 1tan2 在三角的恒等变形中，注意常见的拆角、拼角技巧，如： ()，2()()， ()() 1 2 ()， . 4 ( 4) ( 4) 4 问题 4 已知 ，sin(
5、) ，sin，则 cos_. ( 3 4 ，) 3 5 ( 4) 12 13 ( 4) 答案 56 65 5解三角形 (1)正弦定理：2R(R 为三角形外接圆的半径)注意：正弦定理的一些 a sin A b sin B c sin C 变式 ： ()abcsin Asin Bsin C； ()sin A，sin B，sin C； ()a2Rsin a 2R b 2R c 2R A，b2Rsin B，c2Rsin C； 已知三角形两边及一对角，求解三角形时，若运用正弦定理， 则务必注意可能有两解，要结合具体情况进行取舍在ABC 中 ABsin Asin B. (2)余弦定理 ： a2b2c22b
6、ccos A， cos A等， 常选用余弦定理鉴定三角形的形状 b2c2a2 2bc 问题 5 在ABC 中，a，b，A60，则 B_.32 答案 45 6向量的平行与垂直 设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，且 b0，则 abbax1y2x2y10. ab (a0)ab0x1x2y1y20. 0 看成与任意向量平行，特别在书写时要注意，否则有质的不同 问题 6 下列四个命题：若|a|0，则 a0；若|a|b|，则 ab 或 ab；若 ab， 则|a|b|；若 a0，则a0.其中正确命题是_ 答案 7向量的数量积 |a|2a2aa， ab|a|b|cos x1x2y1y2， cos ， a
7、b |a|b| x1x2y1y2 x2 1y2 1x2 2y2 2 a 在 b 上的投影|a|cosa，b. ab |b| x1x2y1y2 x2 2y2 2 注意：a，b为锐角ab0 且 a、b 不同向； a，b为直角ab0 且 a、b0； a，b为钝角ab0， 0210， 21 5 21 得 ， 的取值范围是. 1 2 ( 1 2，) 找准失分点 为锐角，故 0 1 2且 2 答案 | 1 2且 2 1(2014大纲全国)已知角 的终边经过点(4,3)，则 cos ( ) A. B. 4 5 3 5 C D 3 5 4 5 答案 D 解析 因为角 的终边经过点(4,3)，所以 x4，y3，
8、r5，所以 cos . x r 4 5 2(2014大纲全国)设 asin 33，bcos 55，ctan 35，则( ) Aabc Bbca Ccba Dcab 答案 C 解析 asin 33，bcos 55sin 35，ctan 35， sin 35 cos 35 又 0ba. 3已知 sin cos (00，0， )， 2 2 其部分图象如图所示 若横坐标分别为1,1,5的三点M， N， P都在 函数f(x)的图象上， 记MNP，则 cos 2 的值是_ 答案 7 25 解析 由图可知，A1，f(x)的最小正周期 T8， 所以 T8，即 . 2 4 又 f(1)sin( )1，且 ， 4
9、 2 2 所以 ， 4 4 3 4 即 ，所以 . 4 2 4 所以 f(x)sin (x1) 4 因为 f(1)0，f(1)1，f(5)1， 所以 M(1,0)，N(1,1)，P(5，1) 所以(2，1)，(4，2)，6，NM NP NM NP |，|2，NM 5NP 5 则 cosMNP ， NM NP |NM |NP | 3 5 即 cos . 3 5 于是 cos 22cos21. 7 25 10(2014天津)已知函数 f(x)cos xsin(x )cos2x，xR. 3 3 3 4 (1)求 f(x)的最小正周期； (2)求 f(x)在闭区间 ， 上的最大值和最小值 4 4 解 (1)由已知，有 f(x)cos x( sin xcos x)cos2x 1 2 3 2 3 3 4 sin xcos xcos2x 1 2 3 2 3 4 sin 2x(1cos 2x) 1 4 3 4 3 4 sin 2xcos 2x 1 4 3 4 sin(2x ) 1 2 3 所以 f(x)的最小正周期 T. 2 2 (2)因为 f(x)在区间 ，上是减函数，在区间， 上是增函数， 4 12 12 4 f( ) ，f() ，f( ) ， 4 1 4 12 1 2 4 1 4 所以，函数 f(x)在闭区间 ， 上的最大值为 ，最小值为 . 4 4 1 4 1 2