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1、 专题 1.5：集合中计数问题的研究与拓展 【拓展探究拓展探究】 探究 1：记集合 P = 0，2，4，6，8 ，Q = m | m = 100a1 10a2 a3，且 a1，a2，a3P ， 将集合 Q 中所有元素排成一个递增的数列，则此数列的第 68 项是_464 探究 2：设为整数，集合中的数由小到大组成数tsr,0 ,222|rstaa tsr 列, 则_.131 n a 36 a 思考 1：数列的第项为_. n a1 3 1n C32 1 n 思考 2：设为整数，集合中的数由小到大组成数列，试问当tsr, 0 , 222|rstaa tsr n a 时的数列的最小项为数列的第_项；)
2、, 3( * Nmmmt n a 探究 3： 记集合0,1,2,3,4,5,6T， 3124 234 ,1,2,3,4 7777 i aaaa MaT i ，将 M 中的元素按从大到小的顺序排列，则第 2009 个数是 . 392 2401 （本质是十进制转化为七进制表示） 探究 4：已知集合，其中， 12 (2) k Aaaak， ， ，(12) i aikZ， ， ， 由中的元素构成两个相应的集合：A ， ()Sab aAbAabA ，()Tab aAbAabA ， 其中是有序数对，集合和中的元素个数分别为和 ()ab，STmn 若对于任意的，总有，则称集合具有性质 aAaA AP （1）
3、 检验集合与是否具有性质并对其中具有性质的集合， 写出相应的集合和；012 3， ， ，12 3 ， ，PPST （2）对任何具有性质的集合，证明：；PA (1) 2 k k n （3）判断和的大小关系，并证明你的结论 mn 解：（1）集合不具有性质 012 3， ， ，P 集合具有性质，其相应的集合和是，12 3 ， ，PST( 13) (31)S ， (21) 2 3T ， ， （2）证明：首先，由中元素构成的有序数对共有个 A() ij aa， 2 k 因为，所以；0A()(12) ii aaT ik， ， ， 又因为当时，时，所以当时， aAaA aA () ij aaT，()(12)
4、 ji aaT ijk， ， ， 从而，集合中元素的个数最多为，T 2 1(1) () 22 k k kk 即 (1) 2 k k n （3）解：，证明如下：mn （1）对于，根据定义，且，从而 ()abS，aAbAabA ()abbT， 如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与()ab，()cd，Sacbdabcd 中也至少有一个不成立 bd 故与也是的不同元素 ()abb ，()cdd ，T 可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即，STmn （2）对于，根据定义，且，从而 如果()abT，aAbAabA ()abbS，()ab， 与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而
5、与中也不()cd，Tacbdabcdbd 至少有一个不成立， 故与也是的不同元素 ()abb ，()cdd ，S 可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即，TSnm 由（1） （2）可知， mn 探究 5：对于正整数，记，若的子集中至少含有两个元素，且中任意两个不nnIn, 4 , 3 , 2 , 1 n IAA 同的元素之和不是整数的平方，则称为的“稀疏集”.A n I （1）写出的所有稀疏集； 4 I （2）求n的最大值，使得能分成两个不相交的稀疏集的并. n I 拓展：拓展：对正整数n,记1,2,3, m In, mmm m PmIkI k . （1）求集合 7 P中元素的个数； （2）
6、若 m P的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方,则称A为“稀疏集”，求，使 m P能分成两人上 不相交的稀疏集的并. 探究 6：集 合，集合是 S 的子集，且满足1,2,3,9S 123 ,Aa a a 123 ,a a a ，且，那么满足条件的子集的个数为_83 123 aaa 32 6aaA 探究 7：对于集合及它的每一个非空真子集，定义一个“交替和”如下：nN, 3 , 2 , 1 按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大数开始交替的减、加后继的数. 例如集合 的交替和是， 集合的交替和是 5， 当集合中的时， 集合9 , 6 , 4 , 2 , 1612469 5N2n 2 , 1
7、N 的所有非空子集为、，则它的“交替和”的总和为1 2 2 , 1 .4) 12(21 （1）计算对于的情况，计算它们的“交替和”的总和；4, 3nn 43,S S （2）能否对（1）提出的问题进行一般性推广？并给出你的证明? 变式 1：设 A 是整数集的一个非空子集，对于，如果，那么是 A 的一个kA1kA k “孤立元”.给定，由 S 的 3 个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共1,2,3,4,5,6,7,8,S 有 个. 6 变式 2：从集合的子集中选出 4 个不同的子集，需同时满足以下两个条件：dcbaU, （1）都要选出；U, （2）对选出的任意两个子集，必有或，那么共有_种不同的选法.BA,BAAB 36 探究探究 8：设 a,b 为实数，我们称（a,b）为有序实数对. 类似地，设 A，B，C 为集合，我们称（A，B，C） 为有序三元组. 如果集合 A，B，C 满足,且,则我们称有序三1ABBCCAABC 元组（A，B，C）为最小相交（表示集合 S 中的元素的个数）S （1）请写出一个最小相交的有序三元组，并说明理由； （2） 由集合的子集构成的所有有序三元组中， 令为最小相交的有序三元组的个数， 求1 2 3 4 5 6，NN 的值. =7680 3 4120 【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？