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1、 专题 2.20：二次函数零点问题的研究与拓展 【探究拓展】 探究 1：设分别是实系数一元二次方程和的一个根，且 21,x x0 2 cbxax0 2 cbxax 求证：方程有且仅有一根介于之间., 0, 2121 xxxx0 2 2 cbxx a 21,x x 变式 1：已知函数 f(x)ax24xb(a2c2b，求证： a 2 （1）a0 且3或( 1)(1)0ff 或或或 a1. ( 1)0 (1)0 48 (3)0 1 1.1 af af aa a 15a 37 2 a 5a 37 2 a 所以实数 a 的取值范围是或 a1. 37 2 a 点评：通过数形结合来解决一元二次方程根的分布
2、问题. 解析 2：a=0 时，不符合题意，所以 a0,又 =0 在-1， 1上有解，在-1， 1上有解在-1， 1 2 ( )223f xaxxa 2 (21)32xax 2 121 32 x ax 上有解，问题转化为求函数-1，1上的值域；设 t=3-2x，x-1，1，则，t1,5, 2 21 32 x y x 23xt ， 2 1 (3)217 (6) 22 t yt tt 设，时，此函数 g(t)单调递减，时，0,此函数 2 2 77 ( ). ( ) t g ttg t tt 1, 7)t( )0g t ( 7,5t( )g t g(t)单调递增，y 的取值范围是，=0 在-1，1上有
3、解 73,1 2 ( )223f xaxxa 1 a 73,1 或.1a 37 2 a 点评: 将原题中的方程化成的形式, 问题转化为求函数-1， 1上的值域的问题,是解析2 2 121 32 x ax 2 21 32 x y x 的思路走向. 变式 1：已知函数 2 ( )243f xaxxa （1）求证：函数 y = f(x) 的图象恒过两个定点 （2）若 y = f(x)在（1，3）内有零点，求 a 的取值范围 （1）设，即 2 243yaxxa 2 (4)23ya xx 令 x2 = 4，得 x = 2 或 2 则函数 y = f(x) 的图象恒过定点（2，7） ， （2，1） （2）
4、f(2) = 7 0，f(2) = 1 0，抛物线开口向上，y = f(x)在（1，3）内有零点， 当且仅当 f(1) 0，或 f(3) 0 则， 或(1)243310faaa (3)9643530faaa 0 0即 (1)243310faaa ，结合 a 0，得 a 0 1 3 a 3）若 a = 0，y = f(x)的零点为，在（1，3）内 3 2 综合 1） ，2） ，3） ，得 a 的取值范围为（，）（，） 1 3 3 5 变式 2：已知函数 2 ( )1f xaxbx （1）若的解集是，求实数的值；( )0f x )3 , 1(ba, （2）若为整数，且函数在上恰有一个零点，求的值a
5、2ba( )f x( 2, 1)a 探究 5：已知函数，若对于任意的mxmxxf4)4(2)( 2 mxxg)( 实数，与的值至少有一个为正数，则实数的取值范围是_. x)(xf)(xgm 变式 1：已知函数 f (x)2mx22(4m)xl，g(x)mx，若对于任一实数 x，f (x)与 g (x)的值至少有一个为 正数，则实数 m 的取值范围是 . 8 , 0 分析：问题可转化为数学符号语言：“已知函数 f (x)2mx22(4m)xl，g(x)mx，R，或x 0f x ” ，求实数 m 的取值范围. 不难发现，若利用上述解法 3，采用对立转化法，即可设命题， 0g x :qxR 或；则命
6、题，. 若命题成立时： 0f x 0g x :qxR 0 0 f x g x q 首先，当时，存在实数，使得不等式组成立.0m 81 0 f xx g x x 其次， 当时， 函数 f (x)为开口向下的二次函数， g (x)为上的减函数且值域为， 必存在，0m RR 0 xR 使得函数且. 0 0f x 0 0g x 再者， 当时， g(x)为上的增函数且值域为； 若存在实数使成立， 即要有 . 0m RRx 0f x min 0fx 又，解得或； 2 min 24 0 2 mm fx m 8m 02m 综上，若命题成立时：有或；即可知当命题成立时：.答案错了q2m 8m q2,8m 变式
7、2：设函数，函数，若存在，使得3)( 2 aaxxxfaaxxg2)(Rx 0 与同时成立，则实数的取值范围是_ 0)( 0 xf0)( 0 xga 挖掘题中隐含条件：存在，使得，从而对参数的范围进行局部缩小；Rx 0 0)( 0 xf 解析：由 2 ( )3f xxaxa知 03,14faf，又存在 0 Rx ，使得 0 ()0f x 知 2 430aa 即2a 或6a ，另( )2g xaxa中恒过2,0，故由函数 的图象知：若0a 时, 2 ( )3f xxaxa 2 3x恒大于 0，显然不成立。 若0a 时， 0 7 20 a a f 若0a 时，x对1 2 a ，另 14f， 显然不
8、成立。 解法 1（分离参数法）时，或者当时，都有.20xa当，20xa， 0g x 当时，则有：当时，；当时，； 0f x 2 31xa x1x 2 3 1 x a x 01x 2 3 1 x a x 0 因此，若R，使得与同时成立，则由上分析可知：只有当时，不等式 0 x 0 0f x 0 0g x 0 12x 成立. 2 0 0 3 1 x a x 设函数，. 令，易求. 则 2 3 1 x h x x 1,2x1 01txt 2 4h tt t 7h t 7.a 解法 2（数形结合法） 由于；. 0g x 02ax当时，02ax当时， 若存在R，使得，则，即；则： 0 x 0 0f x
9、2 =4120aa62aa 或 1当时， 由题意可知，. 二次函数对称轴， 在上为减函6a 0 2x 0 0f x3 2 a x yf x,2 数，则，即. 20f7a 2当时，. 而二次函数对称轴，在 上为增函数，又2a 0 2x 0 0f x0 2 a x yf x0, ，因此，此情形下. 14f2x 0f x a 综上，.7a 解法 3（对立转化法） 命题 p：若R，使得与同时成立. 0 x 0 0f x 0 0g x 则p：对R，或成立. x 0f x 0g x 下研究若命题p 成立时，参数的取值范围：a 1当时，R，恒成立，因此，适合题意.0a x 0g x 0a 2当时，；则，0a
10、 0g x 2x (,2|0x f x 2.1，即； 2 2 20 a f 47a 2.2，即；因此有. 02 2 0 a 04a07a 3当时，；则，有，即；因此，.0a 0g x 2x 2,)|0x f x 2 2 20 a f 0a 0a 综上，当时，p 成立；那么，命题 p 成立时，.7a 7a 变式 3：设函数，函数，若不存在，使得与3)( 2 aaxxxfaxxg)(Rx 0 0)( 0 xf 同时成立，则实数的取值范围是_0)( 0 xga 评注：（1）含参曲线的特征观察（定点？平行直线系？切线构成的包络线？） （2）充分挖掘题中的隐含条件，从而对参数的范围进行局部缩小； 变式
11、4：函数，对有)2)(2()(mnxmnxnxf 4 1 2 1 )( x xg,Rx 或成立.若，则实数的取值范围是_. 0)(xf0)(xgannm3 2 a 变式 5：已知)3)(2()(mxmxmxf，22)( x xg，若同时满足条件： Rx，0)(xf或 0)(xg；( -,-4), )(xf0)(xg，则 m 的取值范围是_x 2-4- ， 分析：对于条件，仍然采用对立转化法，分析命题“，且”. :pxR 0f x 0g x 又当时，函数，则只要存在实数使成立即可.1x 0g x 1,)x 0f x 首先，当时，则适合；0m 0f x 0m 其次，当时，二次函数开口向上，则总存在
12、实数使成立.0m f xx 0f x 再者，当时，二次函数开口向下，即要有；又此时二次函数对称轴方程为0m f x max 0fx ，则，解得； 33 0 2 m x max 11240fxfmmm4m 因此，命题成立时，或；那么条件成立时，；p0m 4m 4,0m 对于条件，当时，则可知存在，；并且.可分如下两种4x 0g x 4x 0f x 4,0m 情形：(1)，解得；(2)，解得； 24 34 ( 4)0 m m f 4, 2m 24 34 ( 4)0 m m f m 综上可知，当条件都成立时，.4, 2m 探究 6：设，方程的两个根是和，且，. 又若 2 ( )(0)f xaxbxc
13、 a( )f xx 1 x 2 x 1 0x 21 1 xx a ，试比较与的大小. 1 0tx ( )f t 1 x 【解】因为、是方程的两个根， 1 x 2 x 2 axbxcx 所以，. 12 1b xx a 12 c x x a 2 111 axbxcx 因此 22 111 ( )()()f txatbtcaxbxc . 11111 ()()()() b a txtxb txa txtx a 由，及，得. 所以，当 12212 111 0 b txtxtxxx aaaa 0a 1 0tx 1 ( )0f tx 时，有. 1 0tx 1 ( )f tx 探究 7：实数R，函数，且满足.
14、（1）求, ,a b ccbxaxxg23)( 2 0cba0) 1 ()0( gg c a 的取值范围； （2）设为常数，且 a 0，已知函数的两个零点为 x1，x2 ，令且，a)(xgcxbxaxxf 23 )( 11 ( ,()A xf x ，求证：. 22 (,()B xf x 6 , 9 2)()( 12 12 a a xx xfxf 探究 8：设函数 2 | ( ), 2 x f xaxaR x （1）当，求函数的零点；2a)(xf 2 22 , 2 22 , 2 62 , 0 （2）当时，求证：函数在内有且仅有一个零点；0a)(xf, 0 （3）若函数有四个不同的零点，求实数的取值范围. )(xfa1a 变式 1：若关于 x 的方程kx2有四个不同的实数根，则实数 k 的取值范围是_ |x| x1 4k 变式 2：已知函数有三个零点，则实数 a 的取值范围是 （0，3） 2 3 1 x yax x 【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？