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1、 专题 2.26：利用递推关系求函数的解析式问题的研究与拓展 【探究拓展】 探 究 1： 已 知 函 数对 任 意 的 正 整 数都 有,且)(xfyx,1)(2)()()(yxyyfxfyxf ，求的解析式. . * , 1) 1 (Nxf)(xf *2 , 33)(Nxxxxf 变式 1：已知是定义在正整数集上的函数，且对于任意正整数都有)(xf 2 3 ) 1 (fyx, ，求的解析式. 22 )() 1 1 ()() 1 1 ()(xyxyyxyf y x xf x y yxf )(xf ) 12)(1( 4 1 )(xxxxf 变式 2：已知是定义在上的函数，且，对任意的都有以下两式
2、成立：)(xfR1) 1 (fRx ，若，则15)()5(xfxf1)() 1(xfxfxxfxg1)()(._)6(g 探究 2：设集合，记为同时满足下列条件的集合 A 的个数：；1 2 n Pn， ， ，n N( )f n n AP 若，则；若，则xA2xAACx n P ACx n P 2 （1）求；(4)f （2）求的解析式（用 n 表示） ( )f n 变式 1：如图，在边长为 的等边中，圆为的内切lABC 1 OABC圆 ， 且 与、相切，圆与圆外切，且与、相切，如ABBC 1n O n OABBC此 无 限 继续下去，记圆的面积为. n O() n a n N (1) 证明是等比
3、数列； n a (2) 求的值. 123 lim() n n aaaa 【解】(1) 记为圆的半径，则，. n r n O 1 3 tan30 26 l rl 1 1 1 sin30 2 nn nn rr rr 所以，于是，故是等比数列. 1 1 (2) 3 nn rrn 2 2 11 12 l ar 2 11 1 9 nn nn ar ar n a (2) 因为，所以. 1 1 1 () 9 n n aa n N 2 1 123 3 lim() 1 32 1 9 n n al aaaa 【评注】本小题主要考查数列、数列极限、三角函数等基本知识，考查逻辑思维能力. 在解决图形面积的数列问题时，
4、我们必须具备科学的思维方法和清晰的思维层次，抓住特殊与一般、有限 与无限、变形与化归、归纳推理与逻辑证明的关系，以及形式多样的数列递推关系式的转化策略，才能使 问题顺利获得解决. 变式 2：给一个边长互不相等的凸边形的边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，)3( nn 但是不允许相邻的边有相同的颜色.所有不同的染色方法记为.)(nP （1）求的值；)5(),4(),3(PPP （2）求的值.)(nP 变式 3： 如图，一颗棋子从三棱柱的一个顶点沿棱移到相邻的另一个顶点的概率均为 ，刚开始时，棋子在 1 3 上底面点 A 处，若移了 n 次后，棋子落在上底面顶点的概率记为 pn （1）
5、求 p1，p2的值；（2）求证： i = 1 1 4Pi1 n2 n1 AB C D E F （第 23 题） 解（1）p1 ，p2 (1 ) 2 分 2 3 2 3 2 3 1 3 2 3 5 9 （2）因为移了 n 次后棋子落在上底面顶点的概率为 pn，故落在下底面顶点的概率为 1pn 于是移了 n1 次后棋子落在上底面顶点的概率为 pn+1 pn (1pn) pn 4 分 2 3 1 3 1 3 1 3 从而 pn+1 (pn )所以数列pn 是等比数列，其首项为 ，公比为 1 2 1 3 1 2 1 2 1 6 1 3 所以 pn ( )n1即 pn 6 分 1 2 1 6 1 3 1
6、 2 1 2 1 3n 用数学归纳法证明： 当 n1 时，左式 ，右式 ，因为 ，所以不等式成立 1 4 1 3 5 1 2 3 5 1 2 当 n2 时，左式，右式 ，因为 ，所以不等式成立 1 4 1 1 4 1 78 55 4 3 78 55 4 3 假设 nk(k2)时，不等式成立，即 i = 1 1 4Pi1 k2 k1 则 nk1 时，左式 i = 1 1 4Pi1 1 4Pk + 11 k2 k1 1 4( )1 k2 k1 3k + 1 3k + 12 要证，只要证 k2 k1 3k + 1 3k + 12 (k1)2 k2 3k + 1 3k + 12 (k1)2 k2 k2 k1 只要证只要证 3k + 1 3k + 12 k23k1 k23k2 2 3k + 1 1 k23k1 只要证 3k+12k26k2因为 k2， 所以 3k+13(12)k3(12k4C )6k232k26k22k(2k3)12k26k2， 2 k 所以即 nk1 时，不等式也成立 k2 k1 3k + 1 3k + 12 (k1)2 k2 由可知，不等式对任意的 nN*都成立 10 分 i = 1 1 4Pi1 n2 n1 【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？