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1、专题 3.4: “设而不求”的导数问题的研究与拓展 【探究拓展】 探 究 1: 若 函 数满 足, 且时 , 函 数)(Rxxfy)()2(xfxf1 , 1x 2 1)(xxf 则函数在区间上的零点个数为_.15 0, 1 , 0,lg )( x xx xg)()()(xgxfxh10, 5 思考:证明:函数在区间上有且仅有一个零点.)(xh10, 9 探究 2:已知函数 f(x)=lnx+ +axa2(其中 a0) 2 x (1)当 a=1 时,求 f(x)的最小值; (2)若 x1,3时,f(x)0 恒成立,求实数 a 的取值范围 (可以直接单刀直入的方法) 对于图像的要求:一开始必须单
2、调递增,否则不成立 解:函数 f(x)的定义域为(1,+) (1)a=1 时,f(x)=lnx+ +x3,f (x)= +1= 2 x 1 x 2 x2 (x- 1)(x+ 2) x2 当 01 时,f (x)0 所以,f(x)在区间(0,1)上为减函数,在区间(1,+)上为增函数. 所以,a=1 时,f(x)的最小值为 f(1)=0 (2)由(1)当 a=1 时,f(x)0 恒成立,即 lnx+ +x30 恒成立.所以当 a1,且 x1,2时,f(x)=lnx+ 2 x +a(x1)2lnx+ +x30所以,当 a1 符合要求 2 x 2 x 00),令 g(x)=ax2+x2,g(1)=a
3、10, ax2+x2 x2 所以方程 ax2(2a1)x3=0 一根大于 1,另一根小于 1, 不妨设两根为 x1,x2,x11x2,所以 1xx2时,f (x)0,f(x)在(1,x2)为减函数 故当 x(1,x2)时,f(x)f(1)=0,与 x1,3 ,f(x)0 恒成立矛盾所 0a1 不符合要求所以,a 的取 值范围是1,+) 探究 3:已知函数的图像在点(其中 为自然对数的底数)处的切线斜率为 3. ( )lnf xaxxxxee (1)求实数的值;a (2)若,且对任意恒成立,求的最大值;kZ ( ) 1 f x k x 1x k (3)当时,求证:.4nm()() nmmn mn
4、nm 解析:(1),由解得; 1lnfxax ( )3f e 1a (2), (换元)( )lnf xxxx ( )ln ( ) 11 f xxxx kg x xx 2 2ln ( ) (1) xx g x x 令,有,那么. (研究导函数的导数)( )2lnh xxx 1 ( )10h x x ( )(1)1h xh 不妨设,由,则可知,且. 0 ()0h x(3)0h(4)0h 0 (3,4)x 00 ln2xx (导函数零点估计) 因此,当时,;当时,; 0h x 0gx 0 xx 0h x 0gx 0 xx (得到函数单调性) 即可知, 0000 00 min 00 (ln1)(1)
5、( )() 11 xxxx g xg xx xx (设而不求代入化简) 所以,得到满足条件的的最大正整数为 3. 0 kxk (3)证明:()() nmmn mnnmln()ln() nm mmnnnm lnln lnlnmmnnnnmm (1)ln(1)lnm nmn mn ; (等价转化) lnln 11 mmnn mn 由,下只要证在为增函数即可: ,4nm ln ( ) 1 xx w x x 4,) 2 1 ln ( ) (1) xx w x x 令,由,那么, ( )1 lnv xxx 1 ( )10v x x ( )(4)3ln40v xv (研究导函数的导数) 得到,从而可知在为
6、增函数,得证.( )0w x ln ( ) 1 xx w x x 4,) 变式 1:函数,当时,不等式( )lnf xx 2 1 ( )2 2 g xxx1x 恒成立,则整数 k 的最大值为_ (1)( )2( )3k xxf xg x 4 先缩小再验证证明 变式 2:已知函数, 为何值时,方程有唯一解. 2 ( )2 ln(0)f xxtxtt( )2f xtx 解析: , (等价转化) 22 2 ln22 (ln )xtxtxt xxx 当时,有; (分离参数 step1)ln0xxtR 设,;又,不妨设,( )lnu xxx 1 ( )10u x x (1)10u 11 ( )10u e
7、e 00 ln0xx 则可知. (分母零点的估计) 0 1 ( ,1)x e 当时,得到; ,ln0xx 2 2( ) ln x tg x xx 2 22 2 ln(12ln ) ( ) (ln )(ln ) xxxxx xx g x xxxx 令,易知,且时,;时,;( )12lng xxx (1)0g1x ( )0g x 1x ( )0g x (导函数零点的发现) 综上可知在区间上为减函数,在区间上为增函数;画图函数图像:( )g x 00 (0,),(,1)xx(1,) 因此,可知所求 的范围为. (作图像时需要用极限!)t(,0)1 变式 3:已知函数 ,当时, 2 1 x f xex
8、ax 0x 0f x 求实数 a 的取值范围 ,首先,当时,在上恒成立,则有 12 x fxeax 0a 0,) 0fx 00f xf 其次,当时,令,由题 1 可知,当,即时,0a x g xe 21h xax021a 1 0 2 a g xh x 此时,同样有再者,当时,函数与相交于点和 0fx 0f x 1 2 a yg x yh x0,1 00 ,xy 同时,当时,; 当时,. 即可知 0 0,xx 0fx 0, xx 0fx 0 2 000 min 1 x f xf xexax ,将代入得到: 0 0 12 x eax ,令,则 0 0 000 1 1 2 x x e f xexx
9、0 0x 1 1 2 x x e F xexx 0x 11 2 x ex Fx 又 由 变 式 2 可 知, 那 么, 即在 区 间上 递 减 , 因 此 有1 x xe 1 0 2 xx ee Fx F x0, ,与矛盾,故不合题意 0 00f xf 0f x 1 2 a 综上可知,满足题意的实数 a 的取值范围为 1 (, 2 评注 2:上述解法中,若要验证不合题意,除了采用解法中的严谨论证,也可采用“验证性”做法: 1 2 a 即将代入到中, 得到 若时, 0 0 12 x eax 0 2 000 min 1 x f xf xexax 2 0000 2f xaxxax 0 0f x 则有,与矛盾,故不成立 0 1 02x a 0x 1 2 a 评注 3:若从“形”的角度去“还原”此题,可令, 2 1 x hxeax 易知, 要使在上恒成立, 2 1hxx 12 001hh 0f x 0, 由图 2 发现, 当时, 函数的图象在函数的图象上方, 1 2 a 1 hx 2 hx 其 中 当 时, 直线与曲线切于点; 1 2 a 0,1 【专题反思】你学到了什么?还想继续研究什么?