《专题3.4： “设而不求”的导数问题的研究与拓展.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题3.4： “设而不求”的导数问题的研究与拓展.pdf（4页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、专题 3.4： “设而不求”的导数问题的研究与拓展 【探究拓展】 探 究 1： 若 函 数满 足， 且时 ， 函 数)(Rxxfy)()2(xfxf1 , 1x 2 1)(xxf 则函数在区间上的零点个数为_.15 0, 1 , 0,lg )( x xx xg)()()(xgxfxh10, 5 思考：证明：函数在区间上有且仅有一个零点.)(xh10, 9 探究 2：已知函数 f(x)=lnx+ +axa2(其中 a0) 2 x （1）当 a=1 时，求 f(x)的最小值； （2）若 x1,3时，f(x)0 恒成立，求实数 a 的取值范围 （可以直接单刀直入的方法） 对于图像的要求：一开始必须单
2、调递增，否则不成立 解：函数 f(x)的定义域为(1，+) （1）a=1 时，f(x)=lnx+ +x3，f (x)= +1= 2 x 1 x 2 x2 (x- 1)(x+ 2) x2 当 01 时，f (x)0 所以，f(x)在区间(0,1)上为减函数，在区间(1，+)上为增函数. 所以，a=1 时，f(x)的最小值为 f(1)=0 （2）由(1)当 a=1 时，f(x)0 恒成立，即 lnx+ +x30 恒成立.所以当 a1，且 x1,2时，f(x)=lnx+ 2 x +a（x1）2lnx+ +x30所以，当 a1 符合要求 2 x 2 x 00)，令 g(x)=ax2+x2，g(1)=a
3、10， ax2+x2 x2 所以方程 ax2(2a1)x3=0 一根大于 1，另一根小于 1， 不妨设两根为 x1，x2，x11x2，所以 1xx2时，f (x)0，f(x)在(1，x2)为减函数 故当 x(1，x2)时，f(x)f(1)=0，与 x1，3 ，f(x)0 恒成立矛盾所 0a1 不符合要求所以，a 的取 值范围是1，+) 探究 3：已知函数的图像在点(其中 为自然对数的底数)处的切线斜率为 3. ( )lnf xaxxxxee （1）求实数的值；a （2）若，且对任意恒成立，求的最大值；kZ ( ) 1 f x k x 1x k （3）当时，求证：.4nm()() nmmn mn
4、nm 解析：（1），由解得； 1lnfxax ( )3f e 1a （2）， （换元）( )lnf xxxx ( )ln ( ) 11 f xxxx kg x xx 2 2ln ( ) (1) xx g x x 令，有，那么. （研究导函数的导数）( )2lnh xxx 1 ( )10h x x ( )(1)1h xh 不妨设，由，则可知，且. 0 ()0h x(3)0h(4)0h 0 (3,4)x 00 ln2xx （导函数零点估计） 因此，当时，；当时，； 0h x 0gx 0 xx 0h x 0gx 0 xx （得到函数单调性） 即可知， 0000 00 min 00 (ln1)(1)
5、( )() 11 xxxx g xg xx xx （设而不求代入化简） 所以，得到满足条件的的最大正整数为 3. 0 kxk （3）证明：()() nmmn mnnmln()ln() nm mmnnnm lnln lnlnmmnnnnmm (1)ln(1)lnm nmn mn ； （等价转化） lnln 11 mmnn mn 由，下只要证在为增函数即可： ，4nm ln ( ) 1 xx w x x 4,) 2 1 ln ( ) (1) xx w x x 令，由，那么， ( )1 lnv xxx 1 ( )10v x x ( )(4)3ln40v xv （研究导函数的导数） 得到，从而可知在为
6、增函数，得证.( )0w x ln ( ) 1 xx w x x 4,) 变式 1：函数，当时，不等式( )lnf xx 2 1 ( )2 2 g xxx1x 恒成立，则整数 k 的最大值为_ (1)( )2( )3k xxf xg x 4 先缩小再验证证明 变式 2：已知函数， 为何值时，方程有唯一解. 2 ( )2 ln(0)f xxtxtt( )2f xtx 解析： ， （等价转化） 22 2 ln22 (ln )xtxtxt xxx 当时，有； （分离参数 step1）ln0xxtR 设，；又，不妨设，( )lnu xxx 1 ( )10u x x (1)10u 11 ( )10u e
7、e 00 ln0xx 则可知. （分母零点的估计） 0 1 ( ,1)x e 当时，得到； ，ln0xx 2 2( ) ln x tg x xx 2 22 2 ln(12ln ) ( ) (ln )(ln ) xxxxx xx g x xxxx 令，易知，且时，；时，；( )12lng xxx (1)0g1x ( )0g x 1x ( )0g x （导函数零点的发现） 综上可知在区间上为减函数，在区间上为增函数；画图函数图像：( )g x 00 (0,),(,1)xx(1,) 因此，可知所求 的范围为. （作图像时需要用极限！）t(,0)1 变式 3：已知函数 ，当时， 2 1 x f xex
8、ax 0x 0f x 求实数 a 的取值范围 ，首先，当时，在上恒成立，则有 12 x fxeax 0a 0,) 0fx 00f xf 其次，当时，令，由题 1 可知，当，即时，0a x g xe 21h xax021a 1 0 2 a g xh x 此时,同样有再者，当时，函数与相交于点和 0fx 0f x 1 2 a yg x yh x0,1 00 ,xy 同时，当时，； 当时，. 即可知 0 0,xx 0fx 0, xx 0fx 0 2 000 min 1 x f xf xexax ，将代入得到： 0 0 12 x eax ，令，则 0 0 000 1 1 2 x x e f xexx
9、0 0x 1 1 2 x x e F xexx 0x 11 2 x ex Fx 又 由 变 式 2 可 知， 那 么， 即在 区 间上 递 减 ， 因 此 有1 x xe 1 0 2 xx ee Fx F x0, ，与矛盾，故不合题意 0 00f xf 0f x 1 2 a 综上可知，满足题意的实数 a 的取值范围为 1 (, 2 评注 2：上述解法中，若要验证不合题意，除了采用解法中的严谨论证，也可采用“验证性”做法： 1 2 a 即将代入到中， 得到 若时， 0 0 12 x eax 0 2 000 min 1 x f xf xexax 2 0000 2f xaxxax 0 0f x 则有，与矛盾，故不成立 0 1 02x a 0x 1 2 a 评注 3：若从“形”的角度去“还原”此题，可令， 2 1 x hxeax 易知， 要使在上恒成立， 2 1hxx 12 001hh 0f x 0, 由图 2 发现， 当时， 函数的图象在函数的图象上方， 1 2 a 1 hx 2 hx 其 中 当 时， 直线与曲线切于点； 1 2 a 0,1 【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？