《专题4.12：向量中求模和夹角取值范围问题研究与拓展.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题4.12：向量中求模和夹角取值范围问题研究与拓展.pdf（5页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、专题 4.12：向量中求模和夹角取值范围问题研究与拓展 【探究拓展】 探究 1：若平面向量,满足|=1，|1，且以向量，为邻边的平行四边形的面积 为，则与的夹角的取值范围是 1 2 6 5 6 ， 探究 2：已知平面向量 ， （ 0， ）满足| |=1，且 与 - 的夹角为 120，则|a| 的取值范围是 3 3 2 0， 设，由余弦定理可知：，要求的取值范围，xy 2 1 2 1 22 xy yx x 则将方程视为以为主元的一元二次方程，由判别式可得y 3 3 2 0， 或解：正弦定理也可以建立边和角的不等关系，从而求出结果 3 3 2 0， 变式 1：已知，b 是平面内两个互相垂直的单位向
2、量，若向量满足,则的最大值ac0)()(cbcac 是_ 函数方程的思想，和引例 2 方法一致 2 变式 2：设向量 a,b,c 满足|a|=|b|=1,a b=,=60 ,则|c|的最大值为 . 2 1 2 0 识：利用四点共圆的结论完成该题，|c|的最大值即为圆的直径 变式 3：已知向量，满足，则的最小值为 a b 1a 0)2)(babab 1 1 2 ， 探究 3： 已知，若对任意，则为_三角形.（在锐角、直角、ABCRt ACBCtBAABC 钝角中选择一个填写）直角 变式 1：已知，若对任意，则为_三角形ABCRt BABCtBAABC （在锐角、直角、钝角中选择一个填写） 直角
3、变式 2：已知，若对任意，则为_三角形（在锐角、ABCRt BCBABCtBA2ABC 直角、钝角中选择一个填写） 钝角 变式 3：已知，若对任意，则中哪一边最短？BCABCRt BCBCtBAABC 变式 4：已知，若对任意，则的取值范围是_ ABCRt BCBABCtBA 2 1 ACB 锐角 变式 5：（2012 年华约）向量，若对任意的，则_.（填满足ea 1eRteae ta 条件的序号） （1）；（2）；（3）ea )(aea)(aee （4） 3)()(aeea 拓展 1： 在平面上， 12 ABAB ， 12 1OBOB ， 12 APABAB . 若 1 2 OP ，则OA
4、的取值范围 是_. 7 ,2 2 解法 1（特殊化）：设，； 1 (1,0)B 2 cos ,sinB(1,sin )A 由 12 APABAB 可知点在轴上，当 1 2 OP 时，可知.Px 60 ,120 则OA . 2 7 1 sin(, 2 2 解法 2（一般化）：设，； 1 (1,0)B 2 cos ,sinB( , )A x y 由 12 ABAB 得到，化简得： 1,cos ,sin0xyxy (*)； 22 cossincosxyxxy 又由 12 APABAB 得到：.1cos ,sinPxy 由 1 2 OP 得到：； 22 1 0222 cos2cos2 sin 4 xx
5、xyy 将(*)式代入到上式中，得到，即. 22 1 02 4 xy 22 7 2 4 xy 因此，. 7 (, 2 2 OA 解法 3（更一般化）：设，； 1 (cos ,sin)B 2 cos,sinB( , )A x y 由 12 ABAB 得到，化简得： cos,sincos,sin0xyxy ； 22 coscossinsincosxyxy 又由 12 APABAB 得到：.coscos,sinsinPxy 1 2 OP 得：； 22 1 021coscossinsincos 4 xyxy 即有，得. 22 1 02 4 xy 7 (, 2 2 OA 拓展 2：已知中，点是线段（含端
6、点）上的一ABCABAC | 2ABAC MBC 点，且，则的取值范围是_.()1AMABAC |AM 解：由于点是线段（含端点）上的一点，故可设，其中；那么MBC=(1)AMABAC 01 ()(1)()AMABACABACABAC ，又 22 1ABACAB AC ABAC 0AB AC 则()AMABAC 22 1ABAC 22 41ACAC ， 2 412AC 得到，即有； 2 4121AC 2 14 12 AC 又，可计算得到； 2 0,4AC 3 ,1 4 2 (1)AMABAC 22 22 (1)ABAC ; 2 222 4(1)AC 2 44121 由得到. 3 ,1 4 |A
7、M 1 ,1 2 另解：建立如图所示的直角坐标系，由可知，点在以ABAC ABC 为直径的圆周上，设，；cos ,sinA0, 2 ,0 ,0,1M tt 由得到：；()1AMABAC 2 cos ,sincos , sin1t 即有：；由得到，则有. 1 2cos t 0, 2 cos0,1 11 2cos2 t 1 ,1 2 t 拓展 3：已知圆：，为坐标原点，若正方形的一边为圆的一条弦，则线段O 22 1xyOABCDABOOC 长度的最大值为 解：设，则由得到：，化简得到： 00 (1,0), (,),( , )AB xyC x yBDAC 00 1 (1, ) (,)0 22 xy xyxy 即. 22 000 ()()2(1).xxyyx 0 2(1)BCx 那么要求范围， 只要在中利用余弦定理， 又， 计算得到， 则OCOBCcossinOBCOBA 0 1 2 OA x d ， 2 022 0 00 0 12 11 cos12(1)2 1 22 2(1) xOCx OBCOCxx x 令，即亦即. 0 cosx 2 32cos2sin32 2,32 2,OC 21, 21OC 【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？