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1、专题 4.12:向量中求模和夹角取值范围问题研究与拓展 【探究拓展】 探究 1:若平面向量,满足|=1,|1,且以向量,为邻边的平行四边形的面积 为,则与的夹角的取值范围是 1 2 6 5 6 , 探究 2:已知平面向量 , ( 0, )满足| |=1,且 与 - 的夹角为 120,则|a| 的取值范围是 3 3 2 0, 设,由余弦定理可知:,要求的取值范围,xy 2 1 2 1 22 xy yx x 则将方程视为以为主元的一元二次方程,由判别式可得y 3 3 2 0, 或解:正弦定理也可以建立边和角的不等关系,从而求出结果 3 3 2 0, 变式 1:已知,b 是平面内两个互相垂直的单位向
2、量,若向量满足,则的最大值ac0)()(cbcac 是_ 函数方程的思想,和引例 2 方法一致 2 变式 2:设向量 a,b,c 满足|a|=|b|=1,a b=,=60 ,则|c|的最大值为 . 2 1 2 0 识:利用四点共圆的结论完成该题,|c|的最大值即为圆的直径 变式 3:已知向量,满足,则的最小值为 a b 1a 0)2)(babab 1 1 2 , 探究 3: 已知,若对任意,则为_三角形.(在锐角、直角、ABCRt ACBCtBAABC 钝角中选择一个填写)直角 变式 1:已知,若对任意,则为_三角形ABCRt BABCtBAABC (在锐角、直角、钝角中选择一个填写) 直角
3、变式 2:已知,若对任意,则为_三角形(在锐角、ABCRt BCBABCtBA2ABC 直角、钝角中选择一个填写) 钝角 变式 3:已知,若对任意,则中哪一边最短?BCABCRt BCBCtBAABC 变式 4:已知,若对任意,则的取值范围是_ ABCRt BCBABCtBA 2 1 ACB 锐角 变式 5:(2012 年华约)向量,若对任意的,则_.(填满足ea 1eRteae ta 条件的序号) (1);(2);(3)ea )(aea)(aee (4) 3)()(aeea 拓展 1: 在平面上, 12 ABAB , 12 1OBOB , 12 APABAB . 若 1 2 OP ,则OA
4、的取值范围 是_. 7 ,2 2 解法 1(特殊化):设,; 1 (1,0)B 2 cos ,sinB(1,sin )A 由 12 APABAB 可知点在轴上,当 1 2 OP 时,可知.Px 60 ,120 则OA . 2 7 1 sin(, 2 2 解法 2(一般化):设,; 1 (1,0)B 2 cos ,sinB( , )A x y 由 12 ABAB 得到,化简得: 1,cos ,sin0xyxy (*); 22 cossincosxyxxy 又由 12 APABAB 得到:.1cos ,sinPxy 由 1 2 OP 得到:; 22 1 0222 cos2cos2 sin 4 xx
5、xyy 将(*)式代入到上式中,得到,即. 22 1 02 4 xy 22 7 2 4 xy 因此,. 7 (, 2 2 OA 解法 3(更一般化):设,; 1 (cos ,sin)B 2 cos,sinB( , )A x y 由 12 ABAB 得到,化简得: cos,sincos,sin0xyxy ; 22 coscossinsincosxyxy 又由 12 APABAB 得到:.coscos,sinsinPxy 1 2 OP 得:; 22 1 021coscossinsincos 4 xyxy 即有,得. 22 1 02 4 xy 7 (, 2 2 OA 拓展 2:已知中,点是线段(含端
6、点)上的一ABCABAC | 2ABAC MBC 点,且,则的取值范围是_.()1AMABAC |AM 解:由于点是线段(含端点)上的一点,故可设,其中;那么MBC=(1)AMABAC 01 ()(1)()AMABACABACABAC ,又 22 1ABACAB AC ABAC 0AB AC 则()AMABAC 22 1ABAC 22 41ACAC , 2 412AC 得到,即有; 2 4121AC 2 14 12 AC 又,可计算得到; 2 0,4AC 3 ,1 4 2 (1)AMABAC 22 22 (1)ABAC ; 2 222 4(1)AC 2 44121 由得到. 3 ,1 4 |A
7、M 1 ,1 2 另解:建立如图所示的直角坐标系,由可知,点在以ABAC ABC 为直径的圆周上,设,;cos ,sinA0, 2 ,0 ,0,1M tt 由得到:;()1AMABAC 2 cos ,sincos , sin1t 即有:;由得到,则有. 1 2cos t 0, 2 cos0,1 11 2cos2 t 1 ,1 2 t 拓展 3:已知圆:,为坐标原点,若正方形的一边为圆的一条弦,则线段O 22 1xyOABCDABOOC 长度的最大值为 解:设,则由得到:,化简得到: 00 (1,0), (,),( , )AB xyC x yBDAC 00 1 (1, ) (,)0 22 xy xyxy 即. 22 000 ()()2(1).xxyyx 0 2(1)BCx 那么要求范围, 只要在中利用余弦定理, 又, 计算得到, 则OCOBCcossinOBCOBA 0 1 2 OA x d , 2 022 0 00 0 12 11 cos12(1)2 1 22 2(1) xOCx OBCOCxx x 令,即亦即. 0 cosx 2 32cos2sin32 2,32 2,OC 21, 21OC 【专题反思】你学到了什么?还想继续研究什么?