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1、 专题 4.7：平面向量与三角形四心问题的研究与拓展 【探究拓展】 探究 1：已知是ABC 所在平面上一定点，动点 P 满足：O （1），点形成的图形一定通过ABC 的 心.)( AC AC AB AB OAOP0,)P （填外心、内心、重心、垂心） （2），点形成的图形一定通过ABC 的_ sinsin ABAC OPOA ABBACC 0,)P 心. （3），点形成的图形一定通过ABC 的_) coscos ( CAC AC BAB AB OAOP0,)P 心. 探究 2：已知的重心为，且，则.ABCO332, 5ACBCAB，_BCAO 3 16 变式 1：已知的外心为，且，则ABCO3
2、32, 5ACBCAB，_BCAO -8 变式 2：已知ABC 的内角 A 的大小为 120，面积为3 （1）若 AB，求ABC 的另外两条边长；2 2 （2）设 O 为ABC 的外心，当时，求的值21BC AO BC uuu r uu u r 【解】 （1）2bCA 2222 2cos428414BCabcbcAbc （2） 由得， 即， 解得或4 设BC的中点为D， 则，21BC 22 421bc 2 2 16 170b b 1b AOADDO uuu ruuu ruuu r 因为 O 为ABC 的外心，所以，0DO BC uuu r uu u r 于是 22 1 22 bc AO BCA
3、D BCABACACAB uuu r uu u ruuu r uu u ruu u ruuu ruuu ruu u r 所以当时，；当时，1b 4c 22 15 22 bc AO BC uuu r uu u r 4b 1c 22 15 22 bc AO BC uuu r uu u r 拓展 1：若 O 点是内的外心, H 点是的垂心,且,求实数 m 的值. ABCABC()OHm OAOBOC 1 解：由,得,()OHm OAOBOC ()OHOAm OAOBOCOA 于是,(1)()HAmOAm OBOC (1)()HA BCmOA BCm OBOC BC 即,(1)() ()HA BCmO
4、A BCm OBOCOCOB 由题意,知,及,从而,0HA BC () ()0OBOCOCOB (1)0mOA BC 其中,因此.0OA BC 10,1mm 即 拓展 2：已知的内心为，且，则ABCO332, 5ACBCAB，_BCAO 法 1：两次运用内角角平分线定理（将进行向量的分解）AO 法 2：可直接利用射影定理（计算即可）)(ABACAOBCAO 拓展 3：是的所对的边，若点是内一点，、cba,ABCCBA,PABCBPC 、的面积分别为，求证：.APCAPB cba SSS,0PCSPBSPAS cba 思考 1：当分别为重心、外心、内心时，分别可得到什么结论？PABC 思考 2：设 P 是内任意一点，SABC表示的面积，1， 2，ABCABC ABc PBC S S ABC PCA S S 3，定义 f(P)=(1, , 3)，若 G 是的重心，f(Q)（，） ，则_. ABC PAB S S ABC 2 1 3 1 6 1 A A点 Q 在GAB 内 B点 Q 在GBC 内 C点 Q 在GCA 内 D点 Q 与点 G 重合 【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？