专题5.1：解集为整数点的不等式（组）问题的研究与拓展.pdf

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1、 专题 5.1：解集为整数/点的不等式（组）问题的研究与拓展 【课本溯源】【课本溯源】不等式组表示的平面区域内的整点个数为_. 12 0 , 5 , 0 y yx yx 【问题提出问题提出】 问题 1：如何研究上述整点问题？ 变式 ： 在不等式组所表示的平面区域内所有的格点（横、纵坐标均为整数的称为格点）中任取 303 1 yx x y x 个点，则该 3 点恰能成为一个三角形的三个顶点的概率为 10 9 问题 2：三边，的长都是整数，且，如果，则这ABCabcabcbm * mN 样的三角形共有_个. 2 ) 1(mm 问题 3：三边长均为整数，且最大边长为的的个数为_. 3611ABC 问

2、题 4：钝角三角形的三边长均为正整数，且组成公差为 3 的等差数列，这样的三角形有_个. 5 【拓展探究拓展探究】 探究 1： 若集合， ，且，则满足条件 |20Pxxa |30Qxxb, a bN1PQN 的整数对的个数为_.( , )a b 变式：已知集合 A,且只有 5 个整数解，则的取axxxBxxx223|,15352|BAa 值范围是_ . 6a 2 11 探究 2：若，且不等式的解集中有且只有三个整数，则所有满足条Za06 2 axx 件的值之和为_. 21a 探究 3：已知集合 A,且只有 5 个整数解，则的axxxBxxx223|,15352|BAa 取值范围是_ . 6a

3、2 11 探究 4：关于的不等式组的解集为.x ax ax 22 1 P （1）若集合，求实数的取值范围；32xxQQP a 20 , （2）若集合中有且只有两个整数，求实数的取值范围.Pa 探究 5：关于的不等式恰有 3 个整数解，求实数的取值范围. x23 axaa 变式：设全集，函数的定义域为，集合RU ) 1)(11lg()(aaxxfA ，恰好有两个元素，求实数的取值范围. 1cosxxBBACu)(a02a 探究 6：已知是实数，函数ba,)(1)(Rxxbaxxf （1） 若， 且函数在内存在最大值， 试在平面直角坐标系内， 求出动点2 , 2,ba)(xf, 0aObba, 运

4、动区域的面积；4 （2）若，且关于的不等式的解集中的整数恰有 2 个，试求的取值范围. 0bx0)(xf b a 2 1 , 3 2 （数形结合） 变式 1：已知函数axxxf22)(R)( x有最小值，则实常数a的取值范围是 变式 2：函数在上有最大值，则实数的取值范围是_1)(xaxxf, 0a 探究 7： （2009，天津）关于 x 的不等式的解集中的整数恰有 3 个，则实数 a 的取值范围是 22 ) 1-2(axx _. 2549 916 a 解法解法 1.1 令，易知当 a 2 21g xx 2 h xax 0时，不合 题意 分别作出函数图象， 见图 1.1； 由题意， 要使 g

5、xh x 成立， 则函数 的图象应在函数的图象上方 yh x yg x 又，由图象得到，原不等式解集中的 3 个 1 ( )0 2 g 整数只能为 1，2，3； 则有不等式组成立，解得 g(1)(1) g(2)(2) g(3)(3) g(4)(4) h h h h 2549 916 a 解法解法 1.2 当 x=0 时，对任意实数 a，不等式不成立，则有 2 2 21xax 2 2 2 21 1 2 x a xx 令，当时，单调递增，且； g xa 2 1 2f x x 0x yf x4y 当时，单调递减，且；当时，单调递增，且； 1 0 2 x yf x0y 1 2 x yf x04y 其图

6、象如图 1.2 所示，那么要使原不等式的解集中含有 3 个整数，则由函数图象得到，(3)(4)faf 即 2549 916 a 解法解法 1.3 易知当 a0 时， 原不等式的解集非空 对不等式两边同时 开平方， 得到 由得令21xa x0x 1 2a x ， 1 2f x x . 由于函数在每个单调区间内 g xa 1 ( )2h x x 都是增函数，则 的图象如图 1.3 所示 ( )f xh x 因此，当原不等式的解集中恰有 3 个整数时，应满足条件 ，解得(3)(4)gag 2549 916 a 变式 1：（2013 年连云港市高三数学期末）关于 x 的不等式 x2ax+2a0 的解集

7、为 A，若集 合 A 中恰有两个整数，则实数 a 的取值范围是 . 125 1,)(,9 33 参数分离：当时，此时，令，则2x 2 2 x x a02 xt4 4 t ta 通过画图可得：；当时，同理可得 9 , 3 25 a2x 3 1 , 1a 并且此方法可用于研究 3 个、4 个或者多个整数解均可研究 解 法解 法 2.1 原 不 等 式 可 转 化 为 令 2 2xa x， 2 ( )f xx ，( )2g xa x 在同一坐标系内分别作出两个函数的图象如图 2.1， 当时，设不等式解集为 A，且 A=0a 当时，首先，易知当时，函数0a 08a( )yg x 的图象始终在 函数图象

8、下方因此，要使函数图象在( )yf x( )yg x 上方时对应的 横坐标的取值集合 A 中有 2 个整数， 则； 同时，当时，直线和抛物线相切于点由图象知，8a 8a (4,16) 当时，为解集 A 中的一个整数那么另一个整数则为 3 或 5，即有： 或，由此可8a 4x 3 5 A A 3 5 6 A A A 解得：； 25 9 3 a 当时，由图象知，那么解集 A 另一个整数0a 0A为 1 或中的 一个同理有：或， 解得综 1 1 A A 1 1 2 A A A 1 1 3 a 上 ，满 足 条 件的实数 a 的取值范围是或 1 1 3 a 25 9 3 a 解法解法 2.2 原不等式

9、可转化为首先，当 2 2xa x 时，不2x 等式解集为A为， 故A中不可能含有整数2；当时，2x ；当 2 2 x a x 时，2x 2 2 x a x 再令，则当时，；当时，；2tx0t 4 4at t 0t 4 4at t 令， 由 函 数 的 图 象 图 2.2 可 知 ， g ta 4 4h tt t (1)(4)9hh(2)8h 25 (3) 3 h ，( 1)( 4)1hh ( 2)0h 1 ( 3) 3 h 因此，若 A 中整数为正整数时，则和 3 为满足条件的整数，那么此时 a 的取值范围为；2t 25 9 3 a 若 A 中整数为负整数时，则和3 为满足条件的整数，那么此时

10、 a 的取值范围为； 从而得2t 1 1 3 a 到满足条件的参数 a 的取值范围为或 1 1 3 a 25 9 3 a 变式 2：若关于 x 的不等式的解集为 A，若集合 A 中恰有两个整数，则实数 a 的取值 22+1 0xaxa 范围是 解 法解 法 3.1 原 不 等 式 可 转 化 为 令 2 1xa xa ，如图 3.1，下对参数 a 进行分 2 ( )1g xx( )h xa xa 类讨论： 当时，A 中没有整数；则当1a ( 1,0)A 01a 时 ， A 中 也没有整数； 当时，首先发现，那么另外一个整数必为 1，1a 0A则有 成立，解得； (1)(1) (2)(2) gh

11、 gh 161a 当时，A 中没有整数；则当时，A 中也没有整数；1a (0,1)A 10a 当时，那么另外一个整数必为 1，则有成立，1a 0A ( 1)( 1) ( 2)( 2) gh gh 解得. 611a 综上，可得所求参数 a 的取值范围为或611a 161a 解法解法 3.2 将原不等式转化为令， 2 ()1x xaa( )()f xx xa 2 ( )1g xa 首先，当时，；0a A 情形 1，如图 3.2.1，当时，包含如下两种情形：0a 情形 1.1，当时，即，由图知 A 中不可能有 2 个整数； 2 10a 01a 情形1.2， 当时， 即. 若要使A中恰有2个整数， 则

12、这两个整数必为0和1 因此有且， 2 10a 1a 1A2A 即，解得 2 2 11 2(2)1 aa aa 161a 情形 2，如图 3.2.2，当时，包含如下两种情形：0a 情形 2.1，当时，即，由图知 A 中不可能有 2 个整数； 2 10a 10a 情形 2.2，当时，即若要使 A 中恰有 2 个整数，则这两个整数必为 0 和:1因此有 2 10a 1a 1A 且，即，解得则有或2A 2 2 11 12( 2) aa aa 161a 611a 161a 解法解法 3.3 原不等式可转化为首先当时，即或； 22 1axax0x 2 1a 1a 1a 当时 ，； 当时 ，； 令0x 2

13、1a ax x 0x 2 1a ax x ， 2 1 ( ) a g xx x ( )f xa 又当时，或，不合题意；下只要考虑时 2 1a (0,1)A ( 1,0)A 2 1a 的 两 种 情形： 情形 1，当时，则有，设另一个整数为； 2 1a 0A 0 x 情形 1.1，如图 3.3.1，当时，有，即，解 0 0x 1A2A(1)(2)gag 得 ；161a 情 形 1.2， 如 图 3.3.2， 当时 ， 有， 即 0 0x 1A 2A ，解得 ；( 2)( 1)gag611a 情形 2，当时，如图 3.3.3，得，则中两个整数要么同为正数，要么同为负数 2 1a 0AA 情形 2.

14、1，若两个整数大于 0 时，则有，且，计算得；1A 2 2 1aa(2)(3)gaga 情形 2.2，若两个整数小于 0 时，则有，且1A 2 2 1aa ，计算得；即所求实数 a 的取值范围是( 3)( 2)gaga 或611a 161a 探究 8：(南京市 2014 届高三年级 12 月阶段调研卷-14-inequality) 若关于的不等式的解x02 2 axax 集中仅有 4 个整数解，则实数的取值范围为 a 解法 1：令，则由解集中有且只有 4 个整数可知； 2 2f xaxxa 0f x 0a 又，那么，对， 二次函数 过定点； 2 2f xa xx0a f x 2, 22,2 由

15、图 1 可知， 必为解集中的一个整数；并且解集中的最大整数小于；设解集为 A， 1 0x 2 1若适合题意，则，有. 2 1x +1 20aa1a 那么，即，解得：，则.1, 2, 3AAA 1 20 4220 9320 aa aa aa a1A 2由上分析可知，即1, 2, 3, 4AAAA ，解得. 1 20 4220 9320 16420 aa aa aa aa 23 77 a 综上，满足题意的实数的取值范围为.a 23 77 a 解法 2：；令，； 22 202axxaa xx 2 2f xa x g xx 则由转化为函数的图像在函数的图像下方； f xg x f x g x 1当时，

16、解集中含有无数个整数解，故舍去；0a 2当时，在同一个坐标系中作出函数图像，由图 2 可知，满足题意；0a 1 0x 2 1x 若，则有，可解得； 3 1x 4 2x 5 3x a 因此，解得. 3 2x 4 3x 5 4x 23 77 a 综上，满足题意的实数的取值范围为.a 23 77 a 解法 3：，又分析可知，故；令， 22 202axxaa xx 0a 2 1 2xx a 2 f xx ；在坐标系内画出函数图像：由图像可知，下同解法 1,2先排除，再说 1 2g xx a 1 0x 2 1x 明，此处略. 2 1x 3 2x 4 3x 5 4x 【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？