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1、 专题 6.1：数列的子数列问题的研究与拓展 【问题提出】 问题 1： 已知数列满足， 求证 ： 数列为等差数列的充要条件是； n a)( 12 * 1 Nnnaa nn n a1 1 a 问题 2：已知正项数列满足，求证：数列为等比数列的充要条件是 n a)(2 *12 1 Nnaa n nn n a ；2 1 a 【探究拓展】 探究 1： 若数列为公差为的等差数列，试探究数列为等差数列的充要条件，并加以证明 ； 1 nn aad n a 探究 2：若正项数列满足：数列为公比为的等比数列，试探究数列为等比数列的充 n a 1 nn aaq n a 要条件，并加以证明. 思考：已知数列an满足
2、，an+1+ an4n3(nN*) （1）若数列an是等差数列，求 a1的值； （2）当 a12 时，求数列an的前 n 项和 Sn； 解:（1）若数列an是等差数列，则 an a1+ (n1)d，an+1 a1 + nd 由 an+1+ an4n3，得(a1+nd) + a1+(n1)d 4n3，即 2d4，2a1d43， 解得，d2，a1 1 2 （2）由 an+1+ an4n3，得 an+2 + an+14n + 1(nN*)两式相减，得 an+2an4 所以数列a2n-1是首项为 a1，公差为 4 的等差数列 ， 数列a2n是首项为 a2，公差为 4 的等差数列，由 a2 + a11，
3、a12，得 a21 所以 an2n， n为奇数， 2n5， n为偶数) 当 n 为奇数时，则 an2n，an+12n3 所以 Sna1+a2+an(a1+a2)+(a3+a4)+ +(an-2+an-1)+an 1+9+(4n11)+2n 2n23n+ 5 2 当 n 为偶数时，Sna1+a2+an(a1+a2)+(a3+a4)+ +(an-1+an) 1+9+(4n7) 2n23n 2 所以 Sn 2 2 235 2 23 2 nn n nn n ， 为奇数， ，为偶数 总结方法: （1）通过消项法得到子数列的特征； （2）求出各子数列的通项公式； 探究 3：数列 n a满足 1 ( 1)2
4、1 n nn aan ，则 n a的前60项和为_；_ 4 n S ， 1 ( 1)21 n nn aan 1 21 ( 1)21 n nn aan ，即， 2 1 ( 1)( 1)( 1) (21) nnn nn aan 1 ( 1)( 1) (21) nn nn aan ， 2 21 ( 1) (21) n nn aann 1 31 23( 1)(21) n nn aann ， 123 442( 1)n nnnn aaaan 4342414 166 nnnn aaaan 2 4 1 (10 166)82 2 n Snnnn 思考 1：数列满足(为常数),求的通项公式. n a 11 ,(
5、1)21. n nn aa aan a n a 思考 2：若数列满足且（其中为常数） ，是数列的前项和， n a 1= aa 1 ( 1)21 n nn aan a n S n an 数列满足. n b 2 = nn ba （1）求的值； 13 aa （2）试判断是否为等差数列，并说明理由； n b （3）求（用表示）. n Sa 20解：（1）由题意，得，. 21 32 1 3 aa aa 13 2aa （2）， 1 ( 1)21 n nn aan 212 2221 41 41 nn nn aan aan ，即， 222 8 nn aan 1 8 nn bbn 1 88 nn bbn ，于是
6、当且仅当，为等差数列，数列为等差数列，又， 11 8 nn bb 1 b 2 b 3 b n b 212 221 41 43 nn nn aan aan ， ， 2121 2 nn aa 1 aa 3 2aa ，由，为等差数列，得， 1 1ba 2 7ba 3 9ba 1 b 2 b 3 b1a 当时，数列为等差数列；当时，数列不为等差数列. 1a n b1a n b （3）， 1 ( 1)21 n nn aan 1 21 ( 1)21 n nn aan ，即， 2 1 ( 1)( 1)( 1) (21) nnn nn aan 1 ( 1)( 1) (21) nn nn aan ， 2 21
7、( 1) (21) n nn aann 1 31 23( 1)(21) n nn aann ， 123 442( 1)n nnnn aaaan 4342414 166 nnnn aaaan . 2 4 1 (10 166)82 2 n Snnnn 由（2）， ， 2121 2 nn aa 1 aa 43n aa 41 2 n aa 由， 221 43 nn aan 4243 87 nn aan 42 87 n ana 又，, 222 8 nn aan 424 168 nn aan 4 81 n ana ， 2 41 861 n Snna 2 42 8612 n Snna 2 43 8146 n
8、 Snna 2 2 2 2 11 (43) 22 11 22 (42) 22 ,(*) 11 (41) 22 11 (4 ) 22 n nna nk nna nk SkN nna nk nn nk 探究 4： 数列的各项均为正数.若对任意的，存在，使得成立，则称数 n a * nN * kN 2 2n knnk aaa 列为“型”数列. n a k J （1）若数列是“型”数列，且，求； n a 2 J 28 8,1aa 2n a （2）若数列既是“型”数列，又是“型”数列，证明：数列是等比数列. n a 3 J 4 J n a 思考 ： 设为部分正整数组成的集合， 数列的首项， 前项的和为， 已知对任意整数，M n a1 1 an n SkM 当时，都成立nk)(2 knknkn SSSS （1）设，求的值；1M 2 2 a 5 a （2）设，求数列的通项公式3,4M n a 【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？