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1、 专题 6.24：数列中一类唯一性问题的研究与拓展 【探究拓展】 探究：已知两个等比数列，满足, nn ab(),aa abababa （1）若，求数列的通项公式；a n a （2）若数列唯一，求的值 n aa 解：（1）设的公比为 q，则 n a 22 123 12,22,33babaqq baqq 由成等比数列得 123 ,b b b 22 (2)2(3)qq 即 2 12 420,22,22qqqq解得 所以的通项公式为 n a 11 (22)(22). nn nn aa 或 （2）设的公比为 q，则由 n a 22 (2)(1)(3),aqaaq 得 2 4310(*)aqaqa 由，
2、故方程（*）有两个不同的实根 2 0440aaa 得 由唯一，知方程（*）必有一根为 0，代入（*）得 n a 1 . 3 a 变式：（1）已知两个等比数列， n a n b(),aa abababa 若数列唯一，求的值； n aa （2）是否存在两个等比数列，使得成公差不 n a n b 11223344 ,ba ba ba ba 为 0 的等差数列？若存在，求，的通项公式；若不存在，说明理由 n a n b 解：（1）设的公比为 q，则 n a 2 123 1,2,3ba baq baq 由成等比数列得，即 123 ,b b b 22 (2)(1)(3)aqaaq 2 4310aqaqa
3、由，故方程有两个不同的实根 2 0440aaa 得 再由唯一，知方程必有一根为 0，将 q=0 代入方程得 n a 1 . 3 a （2）假设存在两个等比数列，, nn ab 使成公差不为 0 的等差数列， 11223344 ,ba ba ba ba 设的公比为的公比为，则 n a 1, n qb 2 q 22121 1 babqa q ，由成等差数列得 22 33121 1 33 44121 1 babqa q babqa q 11223344 ,ba ba ba ba 22 121 111121 1 2233 121 1121121 1 2()() 2()() bqa qbabqa q b
4、qa qbqa qbqq q 即 22 1211 22 1221 11 (1)(1)0 (1)(1)0 b qa q bq qa q q 得 2 q 2 1121 ()(1)0a qqq 由得 1 0a 121 1qqq或 i）当时，由，得， 12 qq 1112 1baqq或 这时与公差不为 0 矛盾 2211 ()()0baba ii）当时，由，得或， 1 1q 1 0b 2 1q 这时与公差不为 0 矛盾， 2211 ()()0baba 综上所述，不存在两个等比数列，, nn ab 使成公差不为 0 的等差数列。 11223344 ,ba ba ba ba 拓展：已知数列成等比数列，且。 n a0 n a （1）若，.8 12 aama 3 当时，求数列的通项公式；48m n a 若数列 是唯一的，求的值； n am （2）若 ，求 的最小值. N kaaaaaa kkkkk , 8)( 111122 kkk aaa 32212 【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？