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1、 专题 6.4：数列有界性问题的研究与拓展 【探究拓展】 探究 1：设数列an满足：， * 311 8220() nnnn aaaaan N， 则 a1的值大于 20 的概率为_. 数列的生成方式 1 4 变式 1：已知数列 n a满足： 1 am（m 为正整数） ， 1 , 2 31, n n n nn a a a aa 当 为偶数时， 当 为奇数时。 若 6 a 1，则 m 所有可能的取值为_ 4/5/32 变式 2：已知数列的各项均为正整数，其前项和为若且， n an n S 1 , , 2 31, , n n n nn a a a aa 是偶数 是奇数 3 29S 则_；_. 5； 1
2、 a 3n S227 n 变式 3： 数列满足， 且若对于任意的， 总有成立， n a 1 0,1aa 1 1, 1, 2,1. n n nn nn a a aa aa nN 3nn aa 则 a 的值为 . 或 1. 1 2 探究 2：设数列满足：是整数，且是关于的方程 n a)( * Nnan nn aa 1 x 的根.02)2( 11 2 nn axax （1）若，且时，求数列的前 100 项和 S100；4 1 a2n84 n a n a （2）若，且，求数列的通项公式8 1 a1 6 a 1 nn aa * Nn n a 解：（1）由 an+1an是关于 x 的方程 x2( an+1
3、2)x2an+10 的根， 可得：， * 11 220() nnnn aaaanN 所以对一切的正整数，或， n 1 2 nn aa 1 1 2 nn aa 若 a14，且 n2 时，4an8，则数列an为：4,6,8,4,6,8, 所以，数列an的前 100 项和； 100 33(468)8598S （2）若 a18，根据 an（nN*）是整数，anan1（nN*） ，且或 1 2 nn aa 1 1 2 nn aa 可知，数列的前 6 项是：或或或 n a8, 6, 4, 2,0,28, 6, 4, 2, 1,18, 6, 3, 1,1,3 或8, 6, 2,0,2,48, 6, 2, 1
4、,1,3 因为 a61，所以数列的前 6 项只能是且 时，所以，数 n a8, 6, 4, 2, 1,1 * 4,nnN 1 2 nn aa 列an的通项公式是： 210,4 211,5 n nn a nn 拓展 1：已知各项均为正数的两个数列和满足： n a n b 1 22 nn n nn ab an ab N， （1）设，求证：数列是等差数列； 1 1 n n n b bn a N， 2 n n b a （2）设，且是等比数列，求和的值 1 2 n n n b bn a N， n a 1 a 1 b 证明：(1) 由 ， 1 22 nn n nn ab an ab N， 1 1 n n
5、n b bn a N， ，1)()( )( )1 ()()( 2 2 22 2 2 22 222 1 1 n n n nn n n nn nn n n n n n n a b a ba a b ba ba a b a b a b 所以数列是公差为 的等差数列 2 n n b a 1 (2）,从而0, 0 nn ba 222 2 )( 2 )( nnnn nn baba ba 1 22 nn n nn ab an ab N， ，设等比数列公比，由知下证*21 22 1 nn nn n ba ba a n aq0 n a0q1q 若，则，故当时，与矛盾，1q2 2 2 1 a q a a 1 1
6、log a n q 2 11 n n qaa 若，则，故当时，与矛盾，10 q1 2 2 1 a q a a 1 1 log a n q 1 11 n n qaa 综上，故，1q)( , * 1 Nnaan21 1 a n n n n b aa b b 1 1 2 2 )( * Nn 公比为的等比数列，若，则于是，又由得 n b 1 2 a 2 1 a1 2 1 a 321 bbb 22 1 1 1 n n ba ba a ，中至少有两项相同矛盾，从而 1 2 2 1 2 1 2 11 a aaa bn 321 ,bbb2 1 a ，2 1 2 2 1 2 1 2 11 a aaa bn2 1
7、1 ba 拓展 2：在数列an中，已知 a1=1,且对于每个 nN+，a4n3，a4n2，a4n1成等差数列，其 公差为 2，a4n1，a4n，a4n+1成等比数列，公比为 1 2 （1）令 bn =a4n1( nN+)，求数列bn的通项公式； （2）是否存在常数 M，对任意正整数 n，anM 恒成立？若存在求 M 的最小值，若不存在，请说明理由 解：(1) 由题设可知：b1=5，b2=，b3=，一般地，令 bn= 21 4 85 42 xn 4n - 1 因为 a4n1，a4n，a4n+1成等比数列，公比为 ，所以 a4n+1=，又因为 a4n+1，a4n+2，a4n+3成 1 2 xn 4
8、n 等差数列公差为 2，所以 bn+1=a4n+3=+4=+4 xn 4n bn 4 式两边同加上得 bn+1= (bn)，所以bn成等比数列公比为 ，首项 b1= ，所 16 3 16 3 1 4 16 3 16 3 1 4 16 3 1 3 以 bn= ( )n1所以 bn= ( )n1 16 3 1 3 1 4 16 3 1 3 1 4 (2)因为 bn+1bn=( )n0，所以数列bn是严格单调递增由于对每个正整数 n，a4n1是 1 4 a4n3，a4n2，a4n1 ，a4n，a4n+1中的最大数，故得当 k4n+1 时，ak a4n1 而 a4n1= bn= ( )n10，则当 nlog4+1 时，a4n1c 16 3 16 3 1 3a c 不是数列an上界 综上所述，存在常数 M，对任意正整数 n，anM 恒成立，且 M 的最小值为 16 3 【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？