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1、 专题 6.3：数列单调性问题的研究与拓展 【课本溯源】 （1）求以下数列中的最大项：； 58 2 nnan67 2 nnan 总结方法：图象法；代数法（恒成立） （2）若（其中为实常数） ，且数列为单调递增数列，求实数的取值范3 2 nnan * Nn n a 围. 【问题提出】 问题 1：设，数列是递增数列；，则是 的 条件. 必要不充分 Ra:s 2 ()na1:atst 可得： 2 3 aas的取值范围是中 问题 2： 数列满足（为实常数） ，其中，且数列为单调递增数列，则 n a35 2 nnan * Nn n a 求实数的取值范围为_. 问题 3：在数列中，. n a)( 11 1
2、0 ) 1( * Nnna n n （1）求证：数列先递增，后递减； n a （2）求数列的最大项. 最大. n a 109 aa 【探究拓展】 探究 1： 通项公式为 2 n aann的数列 n a， 若满足 12345 aaaaa， 且 1nn aa 对8n 恒成立， 则实数a的取值范围是_. 变式 1：数列满足（） ，最小项为第_项；最大项为第_项 n a 2012 2011 n n an * Nn 变式 2：数列满足（为实常数，） ，最大项为，最小项为， n a 172 n n an * Nn 8 a 9 a 则实数的取值范围为_. 变式 3：数列的通项公式为，若对任意正整数，均成立，
3、则实 n aknknan2n 43 aaan 数的取值范围是_ k 探究 2：数列的首项，其前项和为，且满足， n aaa 1 n n S), 2(3 *2 1 NnnnSS nn 若对任意的，恒成立，则的取值范围是 * ,Nnm 1 nn aaa 变式：已知数列an的首项 a1a，Sn是数列an的前 n 项和，且满足：S 3n2anS， 2 n 2 n1 an0，n2，nN* （1）若数列an是等差数列，求 a 的值； （2）确定 a 的取值集合 M，使 aM 时，数列an是递增数列 解：（1）在 S 3n2anS中分别令 n2，n3，及 a1a 得 2 n 2 n1 (aa2)212a2a
4、2，(aa2a3)227a3(aa2)2， 因为 an0，所以 a2122a，a332a 因为数列an是等差数列，所以 a1a32a2，即 2(122a)a32a，解得 a3 经检验 a3 时，an3n，Sn，Sn1满足 S 3n2anS 3n(n1) 2 3n(n1) 2 2 n 2 n1 （2）由 S 3n2anS，得 S S3n2an，即(SnSn1)(SnSn1)3n2an， 2 n 2 n1 2 n 2 n1 即(SnSn1)an3n2an，因为 an0，所以 SnSn13n2，(n2)， 所以 Sn1Sn3(n1)2， ，得 an1an6n3，(n2) 所以 an2an16n9，
5、，得 an2an6，(n2) 即数列 a2，a4，a6，及数列 a3，a5，a7，都是公差为 6 的等差数列， 因为 a2122a，a332a 所以 an a，n1， 3n2a6，n为奇数且n3， 3n2a6，n为偶数， ) 要使数列an是递增数列，须有 a1a2，且当 n 为大于或等于 3 的奇数时，anan1，且当 n 为偶数时，anan1， 即 a122a， 3n2a63(n1)2a6(n 为大于或等于 3 的奇数)， 3n2a63(n1)2a6(n 为偶数)， 解得 a 9 4 15 4 所以 M( ，)，当 aM 时，数列an是递增数列 9 4 15 4 探究 3：已知数列的通项公式
6、为， 若对于一切的自然数，不等式 n a 1 n a n 1n 恒成立,则实数的取值范围为_. 3 2 ) 1(log 12 1 . 221 aaaa annn a 解： 122 111 122 nnn aaa nnn 令， 122nnnn baaa 12322nnnn baaa 122211 1111 222112(21)(1) nnnnn bbaaa nnnnn ，恒成立； 数列对，上单调递增1,nnN 1 0 nn bb n b2n nN ；由题意可知 min234 117 () 3412 n bbaa min 12 log (1)() 123 an ab 又； log (1)1 a a
7、 1a 1 01a a 15 1 2 a 变式：设函数，数列是首项为，公( )log(0,1) a f xx aa * () () n f xnN 4 ()f a 差为 2 的等差数列，又，数列是递减数列，则的取值范围是_. 00 4 12 lglglg nnn ccc 由得，解得, 3 -1 lg-lg2013 4 n（）27.4n 由得，解得，即数列最多有 26 项. 3 lg-lg2013 4 n26.4n n b （4）证明：必要性：因为当时，的最大值为 1，1x ( )h x 则由 1 112 (1)(12 )1 dd hdhd 得 5 5 d ，且12dA. 充分性：当 5 12,
8、0 5 dAd时， 22 (1)1, (1)1, (12 )1 4hhddhdd ， 有(1)(1)(12 )0hhdhd，且 22 (1)(12 )(1)(1 4)1(1)hdhdddh ， 函数 2 ( )2h xxx ()是数列 ，()的“保三角形函数” 1, xA11d12d0d 综上，充要条件是 5 12,0 5 dAd. 拓展 5： 数列an满足 ： a1 = 5， an+1an = ， 数列bn的前 n 项和为 Sn满足 ： Sn = 2(1bn)2(an + 1an)15 （1）证明：数列an+1an是一个等差数列，并求出数列an的通项公式； （2）求数列bn的通项公式，并求出
9、数列anbn的最大项 解：（1）令 n = 1 得 a25 = ，解得 a2 = 12，由已知得2(a25)15 (an+1an)2 = 2(an+1an)15 (an+2an+1)2 = 2(an+2an+1)15 将得(an+2an)(an+22an+1an) = 2(an+2an)， 由于数列an单调递增，所以 an+2an0，于是 an+22an+1an = 2，即(an+2an+1)(an+1an) = 2， 所以an+1an是首项为 7，公差为 2 的等差数列，于是 an+1an = 72(n1) = 2n5，所以 an = (anan-1)(an-1an-2)(a2a1)a1=
10、(2n3)(2n1)75 = n(n4) （2）在 Sn = 2(1bn)中令 n = 1 得 b1 = 2(1b1)，解得 b1 = ， 2 3 因为 Sn = 2(1bn)，Sn+1 = 2(1bn+1)，相减得 bn+1 = 2bn+12bn，即 3bn+1 = 2bn，所以bn是首项和公比 均为 的等比数列， 所以 bn = ( )n 从而 anbn = n(n4)( )n 设数列anbn的最大项为 akbk， 则有 k(k4)( )k(k 2 3 2 3 2 3 2 3 1)(k5)( )k+1，且 k(k4)( )k(k1)(k3)( )k-1， 2 3 2 3 2 3 所以 k2
11、10，且 k22k90，因为 k 是自然数，解得 k = 4所以数列anbn的最大项为 a4b4 = 512 81 拓展 6：已知数列，满足，其中. n a n b nnn aab 1 1,2,3,n 若，且. 11 (2) nnn bbb n 12 1,2bb （1）记，求证：数列为等差数列；) 1( 16 nac nn n c （2）数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次. 求首项满足的条件. n an 1 a 设， （其中 为常数且） ，所以 )0( 6 nac inn i6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1i 所 以 数 列 166666162636465 7(0) nn
12、nin in in in in in in i ccaabbbbbbn 均为以 7 为公差的等差数列. 6in a 设， 6 777 (6 ) 77 666 66666 ii k ii k ii ikaa aak f kiikikik （其中， 为中的一个常数） ，ikn 6)0( ki6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 当时，对任意的有； 7 6 i i a ikn 6 n an7 6 当时， 7 6 i i a 1 77 711 66 ()() 6(1)666(1)6 ii kki ii aa i ffa kikikiki 76 ()() 66(1)(6) i i a kiki 若
13、，则对任意的有，所以数列为单调减数列； 7 6 i i a kN kk ff 1 6 6 ik a ik 若，则对任意的有，所以数列为单调增数列； 7 6 i i a kN kk ff 1 6 6 ik a ik 综上：设集合， 741111 632362 B 7 4 111 , 6 3 236 当时，数列中必有某数重复出现无数次.Ba 1 n an 当时， 均为单调数列，任意一个数在这 6 个数列中最多出现一次，所以Ba 1 6 6 ik a ik )6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1( i 数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次. n an 【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？