专题6.6：数列中的数阵（数表）问题的研究与拓展.pdf

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1、 专题 6.6：数列中的数阵（数表）问题的研究与拓展 【课本溯源】1934 年，东印度（今孟加拉国）学者森德拉姆（Sundaram）发现了“正方形筛子”： 47101316 712172227 1017243138 1322314049 1627384960 （1）这个“正方形筛子”的每一行有什么特点？每一列呢？ （2） “正方形筛子”中位于第 100 行的第 100 个数是多少？ 解：(1) 这个“正方形筛子”的每一行与每一列都是等差数列； (2) 因为第 100 行的第 1 个数是第 1 列的第 100 个数，而第 1 列的数组成以 4 为首项，3 为公差 100,1 a 的等差数列，通项

2、公式为，故；第 100 行的第 2 个数 ,1 4(1)331 n ann 100,1 3 1001301a 100,2 a 是第 2 列的第 100 个数，而第 2 列的数组成以 7 为首项，5 为公差的等差数列，通项公式为 ， 故. 所以， 第 100 行组成以 301 为首项， ,2 7(1)552 n ann 100,2 5 1002502a502301201 为公差的等差数列，通项公式为，从而第 100 行第 100 个数为 100, 301(1)201201100 n ann . 100,100 201 10010020200a 【探究拓展】 探究 1：求数阵所暗示的规律（通项公式

3、） 观察： 1 1+2+1 1+2+3+2+1 1+2+3+4+3+2+1 (1) 第 100 行是多少个数的和？这些数的和是多少？ (2) 计算第行的值.n 【解答】(1) 第 100 行是 199 个数的和，这些数的和是；2(12100)10010000 (2) 第行的值是.n 2 1233212(12)nnnn 变式：（2004 年春季高考北京，20）下表给出一个“等差数阵”： 47（ ）（ ）（ ） a j1 712（ ）（ ）（ ） a j2 （ ）（ ）（ ）（ ）（ ） a j3 （ ）（ ）（ ）（ ）（ ） a j4 ai1ai2ai3ai4ai5aij 其中每行、每列都是等

4、差数列，表示位于第 行第列的数aijij (1) 写出的值；a45 (2) 写出的计算公式；aij 文史类：写出的计算公式以及 2008 这个数在等差数阵中所在的一个位置. ij a (3) 证明：正整数在该等差数列阵中的充要条件是可以分解成两个不是 1 的正整数之积.N21N 【解答】(1) . 45 49a (2) 该等差数阵的第一行是首项为 4，公差为 3 的等差数列：. 1 43(1) j aj 第二行是首项为 7，公差为 5 的等差数列： 2 75(1) j aj 第 i 行是首项为，公差为的等差数列，43(1)i21i 因此，.43(1)(21)(1)2(21) ij aiijij

5、ijijj 文史类：要找 2008 在该等差数阵中的位置，也就是要找正整数，使得, i j ，所以.22008ijij 2008 21 i j i 当时，得,所以 2008 在等差数阵中的一个位置是第 1 行第 669 列 1i 669j (3) 必要性：若在该等差数阵中，则存在正整使得，N, i j(21)Nijj 从而，212 (21)21Nijj (21)(21)ij 即正整数可以分解成两个不是 1 的正整数之积.21N 充分性：若可以分解成两个不是 1 的正整数之积，由于是奇数，则它必为两个不是 1 的奇数21N 21N 之积，即存在正整数，使得，, k l21(21)(21)Nkl

6、从而，可见在该等差数阵中.(21) kl Nklla N 综上所述，正整数在该等差数阵中的充要条件是可以分解成两个不是 1 的正整数之积.N21N 探究 2：求数阵中指定的某些项 （2008 年高考江苏，10）将全体正整数排成一个三角形数表： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 按照以上排列的规律，第行（）从左向右的第 3 个数为 .n3n 【解答】通过列举、分析、归纳、猜想，前行共有个数，即共有个，因此1n 123(1)n 2 2 nn 第行第 3 个数是全体正整数中第+3 个数，即.n 2 2 nn 2 6 2 nn 变式：将自然数排成如下的螺旋状： 第一个拐弯处的数是 2，第二个拐

7、弯处的数是 3，第 20 个及第 25 个拐弯处的数分别 是 ， . 【解答】由图可知，前个拐弯处的数依次是 2，3，5，7，10，13，17，21，26，n 这是一个数列题目，要求找出它的第 20 项和第 25 项各是多少，因此要找出这个数列的规则，经观察，该 数列的后一项减去一项，得一新数列 1，2，2，3，3，4，4，5，5， 把数列的第一项添在数列的前面得 2，1，2，2，3，3，4，4，5，5， 观察数列，发现原数列的第项就等于数列的前项和,即，n n an 1 2a 2 213a ，, 3 21227a 故第 20 个拐弯处的数=2+1+2+2+10+10=1+2（1+2+10）=

8、111 20 a =2+1+2+2+12+12+13=170. 25 a 方法二：设第 个拐弯处的数为，显然 a1=2，i i a 221ii aai 212 (1) ii aai 20=210，25=212+1， =1+2(1+2+10)=11，=1+2(1+2+12)+13=170. 20 a 25 a 【评注】方法一到方法二由具体到抽象，体现出思维不断优化的过程。解决数表问题，需细心研究其元素 的排列的规律，即构成数列的元素，或数列的项是按照何种规则排列而成的，有时即使找到排列的规则， 但如果不能对所发现的规律所蕴含的信息进行整理再加工，解题同样会误入歧途. 探究 3：求数阵中某指定项的

9、位置 全体正奇数排成下表： 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 其构成规律是：第行恰有个连续奇数；从第 2 行起，每一行第一个数与上一行最后一个数是相邻奇数，nn 则 2005 是第 行的第 个数. 【解答】行共有个奇数，n (1) 12 2 n n n 因此，第行的最后一个数是.n 2 (1) 211 2 n n nn 从而第行的第一个数是，n 22 (1)2(1)1nnnnn 令，解得， 22 120051nnnn 45n 2 11981nn 故 2005 是第 45 行的第个数，则，得.m20051981(1)2m13m 故 2005 是第 4

10、5 行的第 13 个数. 探究 4：求数阵中所有项或某些指定项的和 个正数排成行列（如下表） ，其中每行数都成等差数列，每列数都成等比数列且公比都相 2 nnn 等已知，则 24 1a 42 1 8 a 43 3 16 a 1 n kk k a 111213141 212223242 313133343 414243444 1234 n n n n nnnnnn aaaaa aaaaa aaaaa aaaaa aaaaa 【解答】设第一行数列的公差为，各列数列公比为，则有且所有数均为正数，dq 2411 3 4211 3 4311 (3 )1 1 () 8 3 (2 ) 16 aad q aa

11、d q aad q ， ， ， 解得，故 11 1 2 a 1 2 d 1 2 q 11 111 (1) 2 kk kkk k k aa qakd q 从而有 2 1 12 222 n kk n k n a 231 1 1121 22222 n kk nn k nn a 由、两式错位相减，得故应填 1 1 1 2 22 n kk nn k n a 1 1 2 22 nn n 变式 1：如上右图，在杨辉三角中，斜线 l 的上方， 从 1 开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列： 1,3,3,4,6,5,10,记其前 n 项和为 Sn,则 S19等于 _. 变式 2：下图给出一个三角形数阵： 1 4

12、11 , 24 333 , , 4816 已知每一列的数成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，每一行的公比都相等. 记第 行i 第列的数为（，）.j ij aijij N、 (1) 求； 83 a (2) 试写出关于的表达式； ij a, i j (3) 记第行的和为，求数列的前项和的表达式.n n A n Am m B 【解答】(1) 由题意知，为等差数列，因为，所以公差，. 1 i a 11 1 4 a 21 1 2 a 1 4 d 81 11 (81)2 44 a 又各行成等比数列，公比都相等，所以每行的公比都是，所以. 31 3 4 a 32 3 8 a 1 2 q 2 83

13、11 2 22 a (2) 由(1)知，所以. 1 11 (1) 444 i i ai 111 1 111 2422 jjj iji i aai (3) . 2111 1 11111 12 2224222 nnn nn nn Aan . 11 123 (12) 22 2482 m m m Bm 设， 123 2482 m m m T 则. 1 1123 248162 m m m T 由，得， 111 111112 11 22422222 m mmmmm mmm T 所以，. 11 1(1)2(1)2 11 22242 m mm m mmm mm B 1 11 112 1133 11464 11

14、510105 l 变式 3：下图是一个三角形数阵，已知每一列的数成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列且每 一行的公比都相等，记第 行第列的数为.ij ij a , ,ij i j N 1 2, 1 33 3, , 24 (1) 求. 43 a (2) 用 、表示.ij ij a (3) 设这个数阵共有行，求数阵中每行最右边的数的和.n 【解答】(1) 由已知第四行是首项为，公比为的等比数列，.4 1 2 2 43 1 41 2 a (2) 由已知第 行是首项为 ，公比为的等比数列，.ii 1 2 1 1 2 j ij ai (3) 由(2)每行最右边的数为. 1 1 1 2 i ii

15、aiin 21 111 123 222 n n Sn 23 11111 23 22222 n n Sn 得，. 21 1 1 1111112 1 1 222222 1 2 n nnn n Snn 42 4 2 n n n S 拓展 1：已知整数数列an满足：a1=1，a2=2，2an1an1 a n12an1(nN，n2). (1) 求数列an的通项公式； (2) 将数列an中的所有项依次按如图所示的规律循环地排成如下三角形数表： 依次计算各个三角形数表内各行中的各数之和，设由这些和按原来行的前后顺序构成的数列为bn，求 b5+b100的值； (3) 令 cn=2banb2(b 为大于等于3的

16、正整数)，问数列cn中是否存在连续三项成等比数列？若存 1 n a 在，求出所有成等比数列的连续三项；若不存在，请说明理由. 【解答】(1) 因为数列an是整数列，所以 an是整数， 所以 2an1，an1 a n1，2an1 都是整数，又 2an1an1 a n12an1(nN，n2)，所以 2an=an1 a n1， 即数列an是首项为 1，公差 d=a2a1=1 的等差数列， 所以 an=a1(n1)d=n. (2) 设每一个循环（4 行）记为一组，由于每一个循环含有 4 行，故 b100是第 25 个循环中第 4 行中各数之和. 由循环分组规律知，每个循环共有 10 项，故第 25 个

17、循环中的第 4 行内的 4 个数分别为数列an的第 247 项至第 250 项，又 an=n，所以 b100=247248249250=994. 又 b5=a11=11，所以 b5b100=11994=1005. (3) 因为 cn=2+banb2=2bnb2n1， 1 n a 设数列cn中，cn,cn1,cn2成等比数列，即 c2 n1=cncn1， 所以(2nbbb2n)2=(2nbbb2n1)(2nb2bb2n1)， 化简得 b=2n(n2)b2n1. (*) 当 n=1 时，b=1，等式(*)成立，而 b3，故等式(*)不成立； 当 n=2 时，b=4，等式(*)成立； 当 n3 时，

18、b=2n(n2)b2n1(n2)b2n14b，这与 b3 矛盾，这时等式(*)不成立. 综上所述，当 b4 时，数列cn中不存在连续三项成等比数列；当 b=4 时，数列 n c中的第二、三、四项 成等比数列，这三项依次是 18，30，50. 拓展 2：我们在下面的表格内填写数值：先将第 1 行的所有空格填上 1；再把一个首项为 1， 公比为的数列依次填入第一列的空格内；然后按照“任意一格的数是它上面一格的q n a 数与它左边一格的数之和”的规则填写其它空格 第 1 列第 2 列第 3 列第列n 第 1 行1111 第 2 行 q 第 3 行 2 q 第行n 1n q （1）设第 2 行的数依次为，试用表示的值； 12 , n B BBqn, 12n BBB （2） 设第 3 列的数依次为，求证：对于任意非零实数，； 123 , n c cccq 132 2ccc （3）请在以下两个问题中选择一个进行研究 （只能选择一个问题，如果都选，被认为选 择了第一问） 能否找到的值，使得（2） 中的数列的前项 （） q 123 , n c cccm 12 , m c cc3m 成为等比数列？若能找到，m 的值有多少个？若不能找到，说明理由 能否找到的值，使得填完表格后，除第 1 列外，还有不同的两列数的前三项各自依次q 成等比数列？并说明理由 【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？