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1、 专题 7.17：圆锥曲线离心率问题的研究与拓展 【课本溯源】 （1）人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆.设地球半径为，卫星近地点、远地点离地面R 的距离分别为，求卫星轨道的离心率. 1 r 2 r （2）已知双曲线的两条渐近线的夹角为，求双曲线的离心率.60 【探究拓展】 探究 1：离心率的值 （1）已知双曲线的一条准线与抛物线的准线重合，则双曲线的离心率是 2 2 2 10 x ya a 2 6yx _. 变式：在平面直角坐标系中，若双曲线的离心率为，则 m 的值为 xOy 22 2 1 4 xy mm 5 （2）过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线 与该椭圆交于、两点，若，则该椭圆
2、的F45lAB2BFAF 离心率是_. 变式 1：已知双曲线的右焦点为,过且斜率为的直线交于、两点， ， 22 22 10,0 xy Cab ab ：FF3CAB 若,则的离心率为_.4AFFB C 5 6 变式 2：已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为:C )0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 2 3 Fk （）的直线与相交于两点，若，则.0kCBA,FBAF3_k （3）如右图，和分别是双曲线的两 1 F 2 F 22 22 10,0 xy ab ab 个 焦 点 ，A 和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个BO 1 OF 交 点 ，且 是等边三角形，则双曲线的离心率为
3、_. 2 F AB 变式 1：椭圆的左右焦点分别为,焦 22 22 10 xy :ab ab 12 F ,F 距为，若直2c 线与椭圆的一个交点满足,则该椭圆的离心率为 .3yxcM 1221 2MFFMF F 变式 2：设是椭圆:的左、右焦点，为直线上一点，是底角 12 F ,FE 22 22 10 xy ab ab P 3 2 a x 21 F PF 为的等腰三角形，则的离心率为_.30E 变式 3：如图，已知椭圆的左、右准线分别为)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x ，且分别 21,l l 交 轴于两点， 从上一点发出一条光线经过椭圆的左焦点被xDC, 1 lAF 轴 反 射
4、 后x 与交 于 点， 若， 且， 则 椭 圆 的 离 心 率 等 2 lBAFBF75ABD 于 2 26 （4）,分别是双曲线:的左右焦点，是虚轴的端点，直线与的两条 1 F 2 FC 22 22 100 xy a,b ab B 1 FBC 渐近线分别交于,两点，线段的垂直平分线与轴交于点若，则的离心率是PQPQxM 212 MFFFC _. 变式：已知,分别是双曲线:的左右焦点，点的坐标为，直线与 1 F 2 FC 22 22 100 xy a,b ab B0,b 1 FB 双曲线的两条渐近线分别交于,两点，线段的垂直平分线与轴交于点若，求CPQPQxM 212 1 2 MFFF 双曲线
5、的离心率C （5）设椭圆的左、右顶点分别为,，点在椭圆上且异于,两点，为坐标 22 22 10 xy ab ab A BPA BO 原点若直线与的斜率之积为，则椭圆的离心率为_.APBP 1 2 变式：已知,分别为椭:的左右顶点，椭圆上异于,的点恒满足 1 A 2 AC 22 22 10 xy ab ab C 1 A 2 AP ，则椭圆的离心率为_. 12 4 9 PAPA kk C 探究 2：离心率的取值范围 （1）已知双曲线的焦距为，离心率为 ，若点与到直线的 22 22 110 xy a,b ab 2ce1 0 ,1 0 ,1 xy ab 距离之和，则 的取值范围是 . 4 5 Sce
6、（2）已知双曲线的左、右焦点分别为,，若双曲线上存在点，使 22 22 100 xy a,b ab 1 0Fc, 2 0Fc,P ，则该双曲线离心率的取值范围是 . 12 21 sinPFFa sinPF Fc 变式 1：已知椭圆的左、右焦点分别为、，若椭圆上存在一点 22 22 10 xy ab ab 1 0Fc, 2 0Fc,P （异于长轴的端点）使，则该椭圆离心率的取值范围为 .（答案： 1221 csinPFFasinPF F ） 211 , （3） 椭圆的右焦点， 其右准线与轴的交点为， 在椭圆上存在点满足线段 22 22 10 xy ab ab FxAPAP 的垂直平分线过点，则椭
7、圆离心率的取值范围是_. F 1 , 2 1 （4）如图椭圆的中心在坐标原点，顶点分别是,，焦点分别是,，延长交于点O 1 A 2 A 1 B 2 B 1 F 2 F 22 B F 21 A B .若是钝角，则此椭圆的离心率的取值范围是_.P 22 B PA 变式 1：设双曲线的左准线与两条渐近线交于、两点，左焦点在以为直径的圆内，则该双曲线的ABAB 离心率的取值范围为 . 变式 2：设,是椭圆的左、右焦点，若在右准线上存在点，使线段的中垂 1 F 2 F 22 22 10 xy ab ab P 1 PF 线过点，则椭圆离心率的取值范围是 . 2 F 变式 3： 点 M 是椭圆上的点，以 M
8、 为圆 22 22 1 (0) xy ab ab 心的圆与 x 轴相切于椭圆的焦点 F， 圆 M 与 y 轴相交于 P， Q， 若PQM 是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是 _ （5）设，则双曲线的离心率 的取值范围是_.1a 22 22 1 1 xy a a e （6） ,是椭圆：与双曲线的公共焦点，,分别是,在第二、 1 F 2 F 1 C 2 2 1 4 x y 2 CA B 1 C 2 C 四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是_. 12 AFBF 2 C 变式 1： 共焦点的椭圆与双曲线的离心率分别为,， 若椭圆的短轴长为双曲线的虚轴长的 2 倍， 则 1 e 2 e 12
9、 11 ee 的最大值为 . 变式 2：已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且,则椭圆和双曲线 12 F ,FP 12 3 FPF 的离心率的倒数之和的最大值为_. 拓展 1：在平面直角坐标系中，椭圆的标准方程为，右焦点为,右准线xOyC)0, 0( 1 2 2 2 2 ba b y a x F 为 ，短轴的一个端点为，设原点到直线的距离为，到 的距离为.若，则椭圆的lBBF 1 dFl 2 d 12 6dd 离心率为 . 解：由题意知，所以有 22 12 , bcab ddc acc 2 6 bbc ca 两边平方得到，即 224 6a bc 4224 6aa cc 两边同除以
10、得到，解得，即 4 a 24 16ee 2 1 3 e 3 3 e 拓展 1：如图,在平面直角坐标系中,分别是椭圆的左、右焦点，顶点xOy 21,F F 22 22 1(0) xy ab ab B 的坐标为，连结并延长交椭圆于点 A，过点 A 作), 0(b 2 BFx 轴 的 垂 线 交椭圆于另一点 C，连结.CF1 （1）若点 C 的坐标为,且,求椭圆的方程；) 3 1 , 3 4 (2 2 BF （2）若求椭圆离心率 e 的值., 1 ABCF 解：（1）由题意知，则； 2 (0, ),( ,0)Bb F c 22 2 2BFbca 则椭圆方程为. 点 C在椭圆上，故，解得； 22 2
11、1 2 xy b ) 3 1 , 3 4 ( 2 1 161 1 299b 2 1b 所求椭圆方程为. 2 2 1 2 x y （2）解法 1：（垂直关系的先行表征）设，由 000012 (,), (.),(,0),( ,0)C xyA xyFcF c F1F2 Ox y B C A 得，由在上，则；联立, 1 ABCF 0 0 1 yb xcc A 2 BF 00 1 xy cb 2 00 00 , . cxbyc bxcybc 解得：，在椭圆上，代入椭圆方程整理得 2 0 22 2 0 22 , 2 . ca x bc bc y bc 00 (,)C xy ，即，所以椭圆的离心率为 224
12、222 4(2)c acac 22 5ac 5 . 5 e 解法 2：（垂直关系的最后表征）由题意知直线方程：，与椭圆联立方程组得: 2 BF() b yxc c 得到，解得，； 22 22 () 1 b yxc c xy ab 2 22 112 ()0 x x acc 0 B x 2 22 2 A a c x ac 则； 又 由可 知 ：， 代 入 化 简 有 22 22 (3) () A bbac yxc cac 12 FCBF 2 A A cxc y b ，将代入化简得，即，. 222222 ()(3)b accac 222 bac 422 5aa c 2 1 5 e 5 5 e 拓展
13、2：如图,是椭圆 C：的左、右顶点,是椭圆上异于的任意一点,已知椭,A B 22 22 1(0) xy ab ab M,A B 圆的离心率为 ,右准线 的方程为.elxm （1）若，求椭圆 C 的方程； 1 2 e 4m （2）设直线交 于点，以为直径的圆交于，若直线恰过原点，求 .AMlPMPMBQPQe OB A M Q P y x l 解：（1）由题意：，解得 椭圆的方程为 2 222 1 2 4 c a a c abc 2 3 a b C 22 1 43 xy （2）设， 三点共线, 2 ( , ), (,) a M x y P c ,A M P 2 2 () , a ya y c axaxa a c 2 2 222 () () 1 ()() OPBM a cya yyac c kk axaxaa xa 222 22 33 ()()() 0 bacacac caca aa ,解得. 2 10ee 51 2 e 【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？