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1、 专题 7.22：解析几何中面积问题的研究与拓展 【探究拓展】 探究 1： 如图，设,分别为椭圆的右顶点和上顶点，过原点作直线交线段A B 22 22 :1(0) xy Eab ab O 于点（异于点，） ，交椭圆于，两点（点在第一象限内） ，和的面积分ABMABCDCABCABD 别为与 1 S 2 S （1）若是线段的中点，直线的方程为，求椭圆的离心率；MABOM 1 3 yx （2）当点在线段上运动时，求的最大MAB 1 2 S S 值 解：（1）；2 3 2 e （2）设,（),(),( 0000 yxDyxC0, 0 00 yx ） abaybx ab abaybx abaybx a
2、baybx abaybx S S 00 00 00 00 00 2 1 2 1 令 00 aybxt 1：三角换元：)， 4 sin2 t 2 , 0( 当且仅当时（此时时等号成立） ，可取得最大值2t 4 2 1 S S 223 2：基本不等式的应用：,同理可得结果 2222 0 2 0 2 1 )()(tbaaybx 椭圆的外切矩形的对角线和椭圆的交点处的切线必和另一条对角线平行； 且在该交点处，此时,都是最大的. 21,S S 2 1 S S 探究 2：如图，椭圆的离心率为，x 轴被曲线 截得的线段 22 1 22 :1(0) xy Cab ab 3 2 2 2: Cyxb O M D
3、A C x B y 长等于 C1的长半轴长 （1）求 C1，C2的方程； （2）设 C2与 y 轴的焦点为 M，过坐标原点 O 的直线 与 C2相交于点 A,B,直线 MA,MBl 分别与 C1相交与 D,E （I）证明：MDME; （II）记 MAB,MDE 的面积分别是问： 是否存在 12 ,S S 直线 l,使得？请说明理由. 1 2 17 32 S S 解：（1）由题意知 . 1 , 2,2,2, 2 3 baabba a c e解得又从而 故 C1，C2的方程分别为 . 1 , 1 4 22 2 xyy x （2） （i）由题意知，直线 l 的斜率存在，设为 k，则直线 l 的方程为
4、.kxy 由得 . 1 2 xy kxy 01 2 kxx 设是上述方程的两个实根，于是212211 ,),(),(xxyxByxA则 . 1 , 2121 xxkxx 又点 M 的坐标为（0，1） ，所以 21 2121 2 21 21 2 2 1 1 1)( ) 1)(1(11 xx xxkxxk xx kxkx x y x y kk MBMA 故 MAMB，即 MDME. . 1 1 1 22 kk （ii）设直线 MA 的斜率为 k1，则直线 MA 的方程为解得 1 , 1 , 1 2 1 1 xy xky xky由 ，则点 A 的坐标为.又直线 MB 的斜率为， 1 , 1 0 2
5、1 ky kx y x 或) 1,( 2 11 kk 1 1 k 同理可得点 B 的坐标为).1 1 , 1 ( 2 11 kk 于是 2 2 1 111 1 111 11111 | |1|1| 222| k SMAMBkk kkk 由得 044 , 1 22 1 yx xky . 0 8)41 ( 1 22 1 xkxk 解得，则点 D 的坐标为 1 2 1 2 1 2 1 8 , 140, 141 14 k x kx yk y k 或 2 11 22 11 841 (,). 1414 kk kk 又直线 ME 的斜率为，同理可得点 E 的坐标为 k 1 ). 4 4 , 4 8 ( 2 1
6、 2 1 2 1 1 k k k k 于是.因此 )4)(1 ( |)1 (32 | 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 kk kk MEMDS 2 1 1 2 21 14 (417). 64 S k Sk 由题意知， 222 111 2 1 14171 (417),4,. 64324 kkk k 解得或 又由点 A、B 的坐标可知， 2 1 2 1 1 1 1 1 1 13 ,. 1 2 k k kkk k k k 所以 故满足条件的直线 l 存在，且有两条，其方程分别为. 2 3 2 3 xyxy和 探究 3： 如图， 已知椭圆的左焦点为， 过点的直线交椭圆于两点， 线段的中点为 22
7、 1 43 xy FF,A BAB ，的中垂线与轴和轴分别交于两点GABxy,D E （1）若点的横坐标为，求直线的斜率；G 1 4 AB （2）记的面积为，（为原点）的面GFD 1 SOEDO 积为试问：是否存在直线，使得？说明理由 2 SAB 12 SS 解：（1） 2 1 k （2）不存在，计算可得 8 9 2 k 探究 4：如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率xOyE 22 22 1(0) xy ab ab ，分别是椭圆的左、右两个顶点，圆的半径为，过点作圆的切 3 2 e 12 ,A AE 2 Aa 1 A 2 A 线，切点为，在轴的上方交椭圆于点 PxEQ （1）求直线的方
8、程；（2）求的值；OP 1 PQ QA 解：（1）连结，则，且，又，所以. 2 A P 21 A PAP 2 A Pa 12 2A Aa 12 60A A P 所以，所以直线的方程为. 2 60POA OP3yx 由知，直线的方程为，的方程为，解得. 2 A P3()yxa 1 AP 3 () 3 yxa 2 P a x 因为，即，所以，故椭圆的方程为. 3 2 e 3 2 c a 22 3 4 ca 22 1 4 baE 22 22 4 1 xy aa + P y x N M B A O 由解得，所以 22 22 3 (), 3 4 1 , yxa xy aa + 7 Q a x 1 ()
9、3 27 4 () 7 aa PQ a QA a 不妨设的方程为，OM(0)ykx k 联立方程组解得，所以； 22 22 , 4 1 , ykx xy aa + 22 (,) 1414 aak B kk 2 2 1 14 k OBa k 用代替上面的，得同理可得， 1 k k 2 2 1 4 k OCa k 2 2 1 a OM k 2 2 1 ak ON k 所以因为 4 12 22 1 4 (14)(4) k SSOB OC OM ONa kk ， 22 2 2 11 1 5 (14)(4) 4()17 k kk k k 当且仅当时等号成立，所以的最大值为1k 12 SS 4 5 a 探
10、究 5：在平面直角坐标系中，已知椭圆 C：过点 A，离心率为xOy 22 22 1 xy ab (0)ab( 1,1) 6 3 （1）求椭圆 C 的方程； （2）设点 B 是点 A 关于原点 O 的对称点，P 是椭圆 C 上的动点（不同于 A， B） ， 直线 AP， BP 分别与直线交于点 M，3x N，问：是否 存在点 P 使得和PABPMN 的面积相等？若存在，求出点 P 的坐标，若不存在，说 明理由 解：（1）由题意得 22 222 11 1, , 6 , 3 ab abc c e a 2 分 解得 4 分 22 4 4, 3 ab 椭圆 C 的方程为 5 分 22 3 1 44 xy
11、 （2）如图，B 点坐标为，假设存在这样的点 P ，(1, 1) 00 (,)xy 则直线 AP 的方程为， 0 0 1 1(1) 1 y yx x 探究 6： 已知点 M 是圆 C：上的动点， 定点 D（1， 0） ， 点 P 在直线 DM 上， 点 N 在直线 CM 22 (1)8xy 上，且满足，=0，动点 N 的轨迹为曲线 E。2DMDP NP DM （1）求曲线 E 的方程； （2）若 AB 是曲线 E 的长为 2 的动弦，O 为坐标原点，求AOB 面积 S 的最大值。 探究 7. 在平面直角坐标系 xOy 中， 过定点 T（t， 0）（t 为已知常数） 作一条直线与椭圆 22 22
12、 1(0) xy ab ab 相交于 A，B 两个不同点，求AOB 面积 S 的最大值 探究 8. 已知椭圆 G：过点 A（0，5） ， 22 22 1 (0) xy ab ab B（8，3） ，C，D 在椭圆 G 上，直线 CD 过坐标原点 O，且 在 线段 AB 的右下侧求： （1）椭圆 G 的方程； （2）四边形 ABCD 的面积的最大值 探究 9：如图,已知椭圆 1 C与 2 C的中心在坐标原点O,长轴均为MN且在x轴上,短轴长分 别为2m,2nmn,过原点且不与x轴重合的直线l与 1 C, 2 C的四个交点按纵坐标从大 到小依次为A,B,C,D.记 m n ,BDM和ABN的面积分别
13、为 1 S和 2 S. （1）当直线l与y轴重合时,若 12 SS,求的值; （2）当变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线l,使得 12 SS?并说明理由. 解:(I) 12 SSmnmn , 1 1 1 1 m n m n 解得:21(舍去小于 1 的根) (II)设椭圆 22 1 22 :1 xy Cam am , 22 2 22 :1 xy C an ,直线l:kyx 22 22 1 kyx xy am 222 2 22 1 am k y a m 222 A am y am k 同理可得, 又BDM和ABN的的高相等 1 2 BDBA ABAB SBDyyyy SAByyyy 如果存在非
14、零实数k使得 12 SS,则有11 AB yy, 即: 22 2 2222222 11 an kan k ,解得 222 2 23 211 4 a k n 当12 时, 2 0k ,存在这样的直线l;当112 时, 2 0k ,不存在这样的直线l. 探究 10：平面直角坐标系x xO Oy y中,过椭圆 2 22 2 2 22 2 : :1 1( (0 0) ) x xy y M Ma ab b a ab b 的右焦点F F作直 3 30 0x xy y 交MM于, ,A A B B两点,P P为A AB B的中点,且O OP P的斜率为 1 1 2 2 . （1）求MM的方程; （2）, ,
15、C C D D为MM上的两点,若四边形A AB BC CD D的对角线C CD DA AB B ,求四边形A AB BC CD D面积的最大值. Ox y B A C D MN 探究 11： （2014 湖南） 如图，O为坐标原点， 椭圆 22 1 22 :1(0) xy Cab ab 的左、 右焦点分别为 12 ,F F， 离心率为 1 e；双曲线 22 2 22 :1 xy C ab 的左、右焦点分别为 34 ,F F，离心率为 2 e已知 1 2 3 , 2 ee 且 24 |31.F F （1）求 12 ,C C的方程； （2） 过 1 F作 1 C 的不垂直于y轴的弦AB， M 为
16、AB 的中点 当直线OM与 2 C交于,P Q两点时， 求四边形APBQ面积的最 小值 【解析】【解析】 （1） 因为， 所以， 即， 因此， 从而， 1 2 3 2 e e 2222 3 2 abab aa 444 3 4 aba 22 2ab 2( ,0) F b ，于时，所以，故的方程分别为， 4( 3 ,0) Fb 24 3|31bbF F1b 2 2a 12 ,C C 2 2 1 2 x y 2 2 1 2 x y （2）因不垂直于轴，且过点，故可设直线的方程为ABy 1( 1,0) F AB1xmy 由得， 2 2 1 1 2 xmy x y 22 (2)210mymy 易知此方程
17、的判别式大于 0，设， 1122 (,), (,)A x yB xy 则是上述方程的两个实根，所以 12 ,y y ， 12 2 2 2 m yy m 12 2 1 2 y y m 因此， 于是的中点为， 故直线的斜率为， 1212 2 4 ()2 2 xxm yy m AB 22 4 (,) 22 m M mm PQ 2 m PQ 的方程为，即 2 m yx 20mxy 由得，所以，且，从而 2 2 2 1 2 m yx x y 22 (2)4mx 2 20m 2 22 22 4 , 22 m xy mm 2 22 2 4 | 22 2 m PQxy m 设点到直线的距离为，则点到直线的距离
18、也为，所以APQdBPQPQ 1122 2 |2|2| 2 4 mxymxy d m 因为点在直线的异侧，所以，于是,A B20mxy 1122 (2)(2)0mxymxy 11221122 |2|2| |22|mxymxymxymxy 从而 2 12 2 (2)| 2 4 myy d m 又因为，所以 2 2 121212 2 2 21 |()4 2 m yyyyy y m 2 2 2 21 2 4 m d m 故四边形的面积APBQ 2 2 2 12 213 | 22 21 22 2 m SPQd m m 而，故当时，取得最小值 2 2 022m0m S 综上所述，四边形在面积的最小值为 2APBQ 【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？