《专题7.24：直线与圆的相关问题的研究与拓展.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题7.24：直线与圆的相关问题的研究与拓展.pdf（5页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、专题 7.24：直线与圆的相关问题的研究与拓展 【探究拓展】 在平面直角坐标系中，圆的半径为 1，圆心在直线上.xOyC:24l yx 问题问题 1：若圆心也在直线上，求圆的方程.C1yxC 【答案】由得 圆的方程为 1, 24 yx yx 3, 2. x y C . 22 (3)(2)1xy 问题问题 2：对问题 1 中的圆，若过点作圆的切线，求切线方程.(0,2)PC 【答案】或2 24 20xy+2 24 20xy 问题问题 3：对问题 1 中的圆，若过点作圆的切线，切点为(0,2)PC，求,A B 的长. AB 【答案】 4 2 3 AB 思路： 2 212 2 3,1,2 2 33
2、PA AC PCCAAPAH PC 问题问题 4：对问题 1 中的圆，若过点作互相垂直的两条直线分别交圆于和两点，求四 5 ( ,2) 2 P 12 ,l l,A B,M N 边形面积的最大值.AMBN 【答案】设到、的距离分别为、，则CABMN 1 d 2 d 2 2 1 2 2 2 222 12 1 1, 2 1 1, 2 1 , 4 ABd MNd ddCP ，即， 22 111 2 444 ABMN 22 7ABMN ,当且仅当 22 117 () 244 AMBN SAB MNABMN 四边形 时取“=”. 14 2 ABMN 8 6 4 2 2 4 6 5510152025 C O
3、 4 3 2 1 1 2 3 4224681012 H B A PC O 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0.5 1 21123456789 d2 d1 N M B P C O A 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 86422468101214 B E A C C O N 的最大值为. AMBN S四边形 7 4 问题问题 5：对问题 1 中的圆和圆，若另一动圆同时平分圆、圆的周长，证明：圆 22 :(3)1CxyNC C 心在一条定直线上运动.N 【答案】设圆心，由题意，得，即，( , )N x yNCNC 22 NCNC 即，化简得， 2222 (3)(3)(2)
4、xyxy310xy 即动圆圆心在定直线上运动.N310xy 问题问题 6：证明问题 5 中的圆过定点. 【答案】圆过定点.NN 设圆心，则动圆的半径为，( , 31)N mmN 2222 11(3)( 31)1011NCmmm 动圆的方程.N 2 22 ()(31)1011xmymm 整理，得. 22 2102 (33)0xyym xy 由得或 22 330, 2100, xy xyy 3 110 , 10 110 1 10 x y 3 110 , 10 110 1. 10 x y 所以定点的坐标为，. 3 110110 ,1 1010 3 110110 ,1 1010 问题问题 7：若过点作
5、圆的切线，切点为，则的外接圆是否过定点？如有求出定点坐标. (0,2)PC,A BABP 【答案】的外接圆不过定点.ABP 设圆心，为的外接圆上的任意一点，则，( ,24)C mm ( , )M x yABP0MP MC 即，整理，得，()(2)(24)0x xmyym 22 (68)(24)0xyym xy 若的外接圆过定点， 则 消去， 得， 即ABP 22 68=0, 240, xyy xy x 22 (42 )680yyy 2 51080yy ， 此方程组无解，即的外接圆不过定点. 2 1045 8600 ABP 问题问题 8：若过点作圆的切线，切点为，若(0,2)PC,A B ，求圆
6、的方程. 7 sin 4 APBC 【答案】设，则，即(0,) 4 APC 7 sin2 = 4 ，即（或者先求出 22 2sincos7 = sincos4 2 2tan7 = tan14 ，得 3 cos2 4 4 3 2 1 1 2 3 4224681012 B A P O C ） ，即， 7 tan2 3 2 7 tan8tan70 解之得或(舍). 由得， . 7 tan 7 tan7tan AC PA 7 tan AC PA 2 8PC 设，则，即，( ,24)C mm 22 (242)8mm 2 524280mm(514)(2)0mm 或 2，圆心的坐标为或. 14 5 m C
7、14 8 (, ) 5 5 (2,0) 所求圆的方程为或.C 22 148 ()()1 55 xy 22 (2)1xy 问题问题 9：若过点作圆的切线，切点为，求四边形面积的最小值.(0,2)PC,A BPABC 【思路】，又，要求四边形面积的最小，即 1 22 2 PACPABC SSPAACPA 四边形 22 1PAPCPABC 求最小，PC min 2 24 6 5 5 21 Pl PCd 2 min 3631 1 55 PA 的最小值为. PABC S四边形 155 5 问题问题 10：是否存在直线，使其交圆的弦长总为，如有，求出直线方程，没有，说明理由.C3 【答案】 设直线的方程为
8、， 圆心， 因为弦长总为， 所以圆心到直线的距离总为，ykxb( ,24)C mm 3 1 2 则对任意的恒成立，即对任意的恒成立， 2 24 1 2 1 kmmb k m 2 1 (2)41 2 kmbkm 2 20, 1 41, 2 k bk 2, 5 4. 2 k b 所求直线的方程为或. 5 24 2 yx 5 24+ 2 yx (也可从几何的角度考虑，所求直线应该与圆心所在的直线平行，且平行线间的距离为)C 1 2 问题问题 11：对于，若圆上存在点，使，求点横坐标的取值范围.(0,2)PCMMPMOC 【答案】要使得，在的中垂线上，设圆心，则圆的方程为MPMOMPO1y ( ,24
9、)C mm C ，依题意，点既要在上，又要在圆上，则，解之得 2 2 ()(24)1xmymM1y C2411m . 点横坐标的取值范围为.23mC2,3 问题问题 12：对于，若圆上存在点，使，求点横坐标的取值范围.(0,2)PCM2MPMOC 【答案】圆的圆心在在直线上，所以，设圆心C:24l yx( ,24)C mm 则圆的方程为：C 2 2 ()(24)1xmym 又，设，则整理得：，设为圆 D，点 M2MAMO( , )M x y 2222 (3)2xyxy 22 (1)4xy 应该既在圆 C 上又在圆 D 上，即：圆 C 和圆 D 有交点. ,由得； 2 2 21(24)( 1)2
10、1mm 2 5880mmxR 由得. 综上所述，点横坐标的取值范围为： 2 5120mm 12 0 5 mC 12 0, 5 问题问题 13：若圆被轴划得的弧长比为，求圆的方程.Cx 1 2 C 【答案】设圆心，圆与轴交于两点，则( ,24)C mm CxAB、 ， ，120ACB 1 24 2 m 或， 圆的方程为或. 9 4 m 7 4 C 22 91 ()()1 42 xy 22 71 ()( + )1 42 xy 问题问题 14：若圆和轴交点的横坐标为，求的最值.Cx 12 ,x x 12 21 xx xx 【答案】设圆心，则圆的方程为，( ,24)C mm C 2 2 ()(24)1
11、xmym 令，则是方程的两个不等的实根，0y 12 ,x x 22 2516150xmxmm 由得， 12 2 12 22 2 , 51615, 44(51615)0, xxm xxmm mmm 22 44(51615)0mmm (25)(23)0mm ， 3 5 ( , ) 2 2 m 2222 12121212 2 211212 ()24 2 51615 xxxxxxx xm xxx xx xmm 2 4 2 11 51615 mm 令，容易求得，. 12 2 , 5 3 t m 2 15165utt 11,1 15 u 12 21 38 4, 11 xx xx 拓展 1: 在平面直角坐标
12、系中，已知圆:，直线. xOyC 22 ()(21)2( 11)xayaa :()l yxb xR 若动圆总在直线 的下方且它们至多有 1 个交点，则实数的最小值是 . 【答案】6Clb 拓展 2：在平面直角坐标系中，圆C的方程为若直线上存在一点，使过xOy 22 40xyx(1)yk xPP 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数的取值范围是 k2 2,2 2 拓展 3：已知直线，若对任意，直线 与一定圆相切，则该定圆方: l 2 2(1)440mxmymmRl 4 3 2 1 1 2 3 4224681012 BA O C 程为 22 224xy 【答案】设定圆对任意的恒成立. 2 222 222 2(1)44 ()() 4(1) mam bm xaybrr mm m 【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？