专题7.2：三角函数定义在解析几何中的应用研究与拓展.pdf

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1、专题 7.2：三角函数定义在解析几何中的应用研究与拓展 【问题提出】 问题 1：已知,均为正数,满足,xy, 4 2 sincos xy 22 2222 cossin10 3()xyxy 则的值为_. x y 3 问题 2：如图，两个圆形飞轮通过皮带传动，大飞轮的半径为（为常数） ，小飞轮的半径为， 1 Or2r 2 Or .在大飞轮的边缘上有两个点， 满足，在小飞轮的边缘上有点设大飞rOO4 21 AB 3 1 ABOC 轮逆时针旋转一圈，传动开始时，点，在水平直线上mBC 21O O （1）求点到达最高点时，间的距离；AAC （2）求点，在传动过程中高度差的最大值来源BC : 【分析】把

2、A 看作主动点，C 为从动点，相同时间内两个飞轮传动的皮带长度相等，可以得到两个圆上的 圆心角的大小关系要求点，在传动过程中高度差，建立坐标系较方便BC 【解答】 （1）以为坐标系的原点，所在直线为轴，如图所示建立直角坐标系 1 O 12 OOx 当点 A 到达最高点时，点 A 绕 O1转过，则点 C 绕 O2转过 6 3 此时 A（0，2r） ，C 93 (,) 22 rr 22 93 ()(2)252 3 22 ACrrrr （2）由题意，设大飞轮转过的角度为 ， 则小飞轮转过的角度为 2， 其中0,2 此时 B（2r， 2r） ， C（4r rcossincos2，r A O Z O Z

3、 C Z B Z 1 2 x y ） sin2 记点高度差为，则,B Cd|2 sinsin2 |drr 即2 |sinsincos|dr 设，( )sinsincosf ，则 0,2( )(1cos )(2cos1)f 令，得或 1( )(1cos )(2cos1)0f 1 cos 2 则，0 或 2 2 3 4 3 列表： 0 2 (0,) 3 2 3 24 (,) 33 4 3 4 (,2) 3 2 ( )f +00+ ( )f 0Z 极大值 f() 2 3 极小值 f( ) 4 3 Z0 当 时，f()取得极大值为；当 时，f()取得极小值为 2 3 3 3 4 4 3 3 3 4 答

4、：点 B，C 在传动中高度差的最大值 max 3 3 2 dr 本题主要考查弧度制的定义，三角函数的定义并结合导数来考虑函数的最值问题 对于一些不能利用三角函数常见求解方法的三角函数问题，一般可以利用导数来求其最值 【探究拓展】 探究 1：已知曲线的参数方程是 ( 为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建 1 C sin3 cos2 y x x 立极坐标系，曲线的极坐标方程是.正方形的顶点都在上，且以逆时针次 2 C2ABC D 2 CA、B、C 、D 序排列，点的极坐标为 .A2, 3 （1）求点 的直角坐标；A、B、C 、D （2）设为曲线上任意一点，求的取值范围.P 1 C 222

5、2 PAPBPCPD 探究 2：过原点作两条相互垂直的直线分别与椭圆交于与，则四边形O 2 2 :1 2 x Ty,A C,B DABCD 面积的最小值为 . 3 8 探究 3：椭圆的离心率为，左顶点到直线的距离)0( 1: 2 2 2 2 ba b y a x C 2 3 eM1 b y a x ，为坐标原点.（1）求椭圆的方程；（2）设直线 与椭圆相交于两点，若以为5 5 4 dOClCBA,AB 直径的圆经过坐标原点，证明：点到直线的距离为定值；（3）试求面积的最小值.OABAOBS 探究 4：已知椭圆：（）经过C1 2 2 2 2 b y a x 0 ba 与) 1,1 ( 两点，过原

6、点的直线 与椭圆交于、 2 3 , 2 6 lCA 两点，椭圆B 上一点满足CM|MBMA （1）求椭圆的方程；C （2）求证：为定值 222 | 2 | 1 | 1 OMOBOA 【分析】 （1）待定系数法求椭圆方程；（2）求等价于求的值.在 222 | 2 | 1 | 1 OMOBOA 22 11 OAOM 求时，不要忘记讨论点 A、B、M 的特殊位置。 22 11 OAOM 【解答】 （1）将与代入椭圆的方程，得， ) 1,1 ( 2 3 , 2 6 C 1 4 3 2 3 1 11 22 22 ba ba 解得，所以椭圆的方程为3 2 a 2 3 2 bC1 3 2 3 22 yx （

7、2）由，知在线段的垂直平分线上，由椭圆的对称性知、关于原点对称|MBMA MABAB 若点、在椭圆的短轴顶点上，则点在椭圆的长轴顶点上，此时ABM 2 11 2 211 | 2 | 1 | 1 22222222 baabbOMOBOA 同理，若点、在椭圆的长轴顶点上，则点在椭圆的短轴顶点上，此时ABM 2 11 2 211 | 2 | 1 | 1 22222222 babaaOMOBOA 若点、不是椭圆的顶点，设直线 的方程为（） ，ABMlkxy 0k O A B M x y 则直线的方程为设，OMx k y 1 ),( 11 yxA),( 22 yxM 由，解得， 1 3 2 3 22 y

8、x kxy 2 2 1 21 3 k x 2 2 2 1 21 3 k k y 所以，同理可得， 2 2 2 1 2 1 22 21 )1 (3 | k k yxOBOA 2 2 2 2 )1 (3 | k k OM 所以2 )1 (3 )2(2 )1 (3 21 )1 (3 21 | 2 | 1 | 1 2 2 2 2 2 2 222 k k k k k k OMOBOA 综上，为定值 222 | 2 | 1 | 1 OMOBOA 2 【 反 思 】 对 于 第 （ 2） 小 题 也 可 以 设 点 法 来 处 理 ， 即 设 点 A， B()OAcos ,OAsin ， 分别代入椭圆方程即

9、得结果.此法是运用了三角函数中的点的表示或者()() 22 OBcos,OBsin 说是极点在原点的极坐标表示法，同时免于了讨论. 变式 1： 在平面直角坐标系中， 已知,若三点按顺时针方向排列构成等边三角形xOy)3 , 4(),0 , 0(BACBA, ,且直线与轴交于点ABCBCxD （1）求的值；（2）求点的坐标CADcosC 本题本题 2 问也可以利用矩阵变换的方法完成问也可以利用矩阵变换的方法完成 变式 2：已知椭圆的离心率，一条准线方程为 22 22 :10 xy Cab ab 6 3 e 3 6 2 x （1）求椭圆的方程；C （2）设为椭圆上的两个动点，为坐标原点，且,G H

10、COOGOH 当直线的倾斜角为时，求的面积；OG60GOH 是否存在以原点为圆心的定圆，使得该定圆始终与直线相切？若存在，请求出该定圆方程；若OGH 不存在，请说明理由 解：（1）因为，解得，所以椭圆方程为 3 6 a c 2 63 2 c a 222 cba3, 3ba 1 39 22 yx （2）由，解得 ， 由 得 ， 1 39 3 22 yx xy 10 27 10 9 2 2 y x 1 39 3 3 22 yx xy 2 3 2 9 2 2 y x 所以，所以 6, 5 103 OHOG 5 153 GOH S 假设存在满足条件的定圆，设圆的半径为，则RGHROHOG 因为，故，

11、222 GHOHOG 222 111 ROHOG 当与的斜率均存在时，不妨设直线方程为：，OGOHOGkxy 由，得，所以， 1 39 22 yx kxy 2 2 2 2 2 31 9 31 9 k k y k x G G 2 2 2 31 99 k k OG 同理可得（将中的换成可得） ，当与 2 2 2 3 99 k k OH 2 OGk k 1 222 1 9 411 ROHOG 2 3 ROG 的斜率有一个不存在时，可得，OH 222 1 9 411 ROHOG 故满足条件的定圆方程为： 4 9 22 yx 变式 3：在平面直角坐标系中，已知双曲线：xOy 1 C12 22 yx （1

12、）过的左顶点引的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及轴围成的三角形的面积； 1 C 1 Cx （2） 设椭圆：， 若、分 2 C14 22 yxMN别是、 1 C 2 C 上的动点， 且， 求证 ：到直线ONOM OMN的 距 离 是 定 值. 变式 4： 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 22 22 1 xy ab (ab0)过点(1，1) （1）若椭圆的离心率为，求椭圆的方程； 2 2 （2）若椭圆上两动点 P，Q，满足 OPOQ 已知命题：“直线 PQ 恒与定圆 C 相切”是真命题，试直接写出圆 C 的方程； (不需要解答过程) 设中的圆 C 交 y 轴的负半轴于 M 点，

13、二次函数 y=x2-m 的图象过点 M点 A，B 在该图象上， 当 A，O，B 三点共线时，求MAB 的面积 S 的最小值 解解：(1)由，所以2 分 2 2 e : :2 :1:1a b c M N y x O Ox y A Bl 设椭圆方程为，将(1，1)代入得， 22 22 1 2 xy bb 22 11 1 2bb 所以，椭圆方程为5 分 22 3 ,3 2 ba 22 2 1 33 xy (2) 9 分 22 1xy 由题意，二次函数为 y=x2-110 分 设直线 AB 的方程为 y=kx 由，消去得， 2 1yx ykx y 2 10xkx 设，则，12 分 11 ( ,)A x

14、 y 22 (,)B xy 12 xxk 12 1x x 所以 14 分 2 211212 111 ()44 222 SOMxxxxx xk 当时，MAB 的面积 S 的最小值为 1 16 分0k 拓展 1：经过点(1，1)的椭圆 C1：上有两动点 P，Q，满), 0, 0( 1 2 2 2 2 qpqp q y p x 足 OPOQ （1）求证直线 PQ 恒与定圆 C 相切，并求出圆 C 的方程； （2）设（1）中的圆 C 交 y 轴的负半轴于 M 点，曲线 C2：y=x2-m 过 M 点过 M 作直线 l1交 C1于 D，交 C2于 A，过 M 作直线 l2交 C1于 E，交 C2于 B当

15、 A，O，B 共线时， 求AMB； 记MAB，MDE 的面积分别为 S1，S2，求的最小值 1 2 S S 求解时，可利用等面积法，得到，进而可证明直线 PQ 恒与 22222 11111 1 dOPOQab 单位圆相切可通过特例，由椭圆的四个顶点及连线围成的菱形，由猜测出圆 C 的方程， 进而只需探求圆心 O 到直线 PQ 的距离是否为 1 即可 拓展 2：在平面直角坐标系 xOy 中，设椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，短半轴长为 2，椭圆 C 上的 点到右焦点的距离的最小值为51 （1）求椭圆 C 的方程； （2）设直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，且 2 AOB 求证

16、：原点 O 到直线 AB 的距离为定值； 求 AB 的最小值 【解】 （1）由题意，可设椭圆 C 的方程为，焦距为 2c，离心率为 e 2 2 22 1(0) y x ab ab 于是2b 设椭圆的右焦点为 F，椭圆上点 P 到右准线距离为，d 则，于是当 d 最小即 P 为右顶点时，PF 取得最小值， AF eAFe d d 所以 51ac 因为 222 515 22 1 aca bb c abc ， ， ， 所以椭圆方程为 22 1 54 xy （2）设原点到直线的距离为 h，则由题设及面积公式知OAB OA OB h AB 当直线的斜率不存在或斜率为时，或OA0 5 2 OA OB ，5

17、 2 OB OA ， 于是 2 52 5 3 45 d 当直线的斜率存在且不为时，则，OAk0 22 222 1 154 54 xy xk x ykx ， 解得 同理 2 2 2 2 2 1 1 54 1 54 A A x k k y k ， 2 2 2 2 2 1 11 5 4 1 11 5 4 B B x k k y k ， 在 RtOAB 中， 2222 2 222 OAOBOAOB h ABOAOB 则 222 22 2 22222222 2 11 111 111 5 5445454 1 111 1 kkk OAOB k hOAOBOAOBkkk k ，所以 2 2 1111 4545

18、119 4520 1 k k 2 5 3 h 综上，原点到直线的距离为定值 OAB 2 5 3 另解： 22 2 2 2222 2 222 2 22 22 2 2 1 1 1 111 1 11 5 544 1 1111 1 11 1554 4 11 1 5 544 kk k k OAOBkk h OAOBk k kk kk k k ，所以 2 2 2 2 1 2 9 99920 2010 20 k k k k 2 5 3 h 因为 h 为定值，于是求的最小值即求的最小值ABOA OB ， 22 OAOB 2 2 22 2 2 2 2 11 12 1 114111 1 204005 54204 k k kk k k kk 令，则， 2 2 1 tk k 2t 于是， 22 OAOB 220401 2020 1 14120412041 20400 tt tt t 因为，所以， 2t 2211600 201 8181 OAOB 当且仅当，即，取得最小值，因而2t 1k OA OB 40 9 min 40 4 5 9 3 2 5 3 AB 所以的最小值为 AB 4 5 3 【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？