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1、o x A C y y B o x A C y y B 专题 7.7：椭圆定义问题的研究与拓展 【问题提出】 问题 1：一动圆与已知圆 O1：(x+3）2+y2=1 外切，与圆 O2：(x-3）2+y2=81 内切，则动圆圆心的轨迹方程 为_ 问题 2：已知圆柱的底面半径为与圆柱底面成角的平面截这个圆柱得到一个椭圆，建立适当的坐标，4 30 系，求椭圆的标准方程与离心率_. 拓展：能否对结论做一般推广？ 问题 3:已知是椭圆左焦点，定点，为椭圆上的一个动点，则的最小F1 48 22 yx ) 1 , 3(APPFPA2 值为 . 7 问题 4：椭圆第三定义：与两个定点,连线的斜率乘积等于定值(
2、,0)Ba( ,0)C a 2 2 b a 的动点的轨迹方程是_，其轨迹是_.( ,0)a b A 思考：考虑其逆命题，成立吗？ 【探究拓展】 探究 1：椭圆长轴的两个顶点与椭圆上除这两个顶点外的任一点连线斜率之积 )0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 为 拓展 1：能否对结论作一般性推广？结论如何？ 拓展 2：在双曲线中能否给出类似的结论？ 变式 ： 已知 AB 是过双曲线的中心的一条弦，是双曲线上异于顶点的一点，设直线的 2 2 22 1 y x ab P,PA PB 斜率分别为，则=_ 12 ,k k 12 kk 探究 2：椭圆上任意经过原点的弦 )0( 1 2 2 2 2
3、ba b y a x o x P A D F E y y O B C F1F2 D x y 的两个端点与椭圆上的任一点（除这两点外）连线斜率 之积为 变式：如图，若为椭圆 1 24 22 yx 的右顶点，直线 AD、PD 交直线于两点，则的最小D3x,E FEF 值为 你能利用我们所探究的结论来解决吗？ 变式 2：已知椭圆的离心率，A、B 是椭圆的左、右顶点，P 是椭圆上不 22 22 1(0) xy ab ab 3 2 e 同于 A、B 的一点，直线 PA、PB 斜倾角分别为、，则=_. cos() cos() 5 3 变式 3：如图，在平面直角坐标系 xOy 中，F1，F2分别为椭圆()的
4、左、右焦点，B，C 2 2 22 1 y x ab 0ab 分别为椭圆的上、下顶点，直线 BF2与椭圆的另一交点为. 若D ，则直线的斜率为 12 7 cos 25 FBFCD 拓展 1：在平面直角坐标系xOy中，分别是椭圆 1 24 22 yx 的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于 P，A ,M N 两点，其中点 P 在第一象限，过 P 作轴的垂线，垂足为 C，连接 AC，并延长交椭圆于点 B.设直线 PAx 的斜率为 k. o x P C A B N M y y （1）若直线 PA 平分线段 NM 时，求 k 的值； （2）当 k=2 时，求点 P 到直线 AB 的距离；d （3）对任意的 k
5、0，求证：PAPB 你能利用我们所探究的结论来解决（3）吗？ 拓展 2：请将圆中的其它性质类比到椭圆中，进行探究 （1）圆的垂径定理：圆的垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦类比：椭圆中，类比：椭圆中，过原点平分椭圆弦的直线与 弦所在直线的斜率之积是否为一定值？（假设它们的斜率存在）； （2）圆的切线定理：圆的切线定理：过切点的直径垂直于圆的切线类比：椭圆中，类比：椭圆中，椭圆上一点与原点连线的斜率与该 点处切线的斜率之积是否为一定值？（假设它们的斜率存在） 拓展 3： 椭圆与轴交与两点，是椭圆上任一点，直线分别与直线交与 2 2 1 4 x yx,A BP,PA PB 10 3 x 两
6、点，问以为直径的圆是否过定点？定点为，,M NMN 14 (,0) 3 (2,0) 拓展 4：已知椭圆的左顶点为，过作两条互相垂直的弦，交椭圆于两点 2 2 1 4 x yAAAMAN,M N （1）当直线斜率为 1 时，求点的坐标AMM （2）当直线斜率为时，直线是否过轴上的一定点AMkMNx （1） 6 4 (, ) 5 5 M （2）由 （1）知过定点MN 6 (,0) 5 1 :(2),:(2)AMyk xAN yx K 由 222 22 (2) 4(2)4 44 yk x xkx xy 2 2222 2 164 (14)161640,2 14 M k kxk xkx k ，同理 2
7、2 2 22 2 28 284 14 (,) 14144 14 M M k x kk k M kkk y k 2 22 284 (,) 44 kk N kk 2 222 22 2 4 64205 14 (,0) 6 286516 1644 28(14) 5 145 PM k kkk k Pk kkk kk k 2 222 2 4 205 4 286 161644 45 PNPMPN k kk k kkk kkk k 拓展 5：已知是椭圆上关于轴对称的两点，是椭圆上任一点，直线分别与,A B 2 2 1 4 x yxP,PA PBx 轴交于点两点，求证：为定值( ,0),( ,0)M mN nm
8、n 解：设) 0 , (), 0 , (),(),(),( 001111 nNmMyxPyxByxA 01 010 0 01 01 0 0 )( yy xxy mx xx yy mx y = 0 xm 01 010 )( yy xxy 01 1010 yy xyyx 01 01 0 0 xx yy nx y )( 01 01 0 0 xx yy y nx 01 010 0 )( yy xxy xn 01 1010 yy xyyx 为定值4 44)44()44( 2 0 2 1 2 0 2 1 2 0 2 1 2 1 2 0 2 0 2 1 2 0 2 1 2 1 2 0 2 1 2 0 yy
9、yy yy xyyy yy xyyx mn 拓展 6： 如图， 已知椭圆方程为， 圆方程为， 过椭圆的左顶点 A 1 E 22 22 1(0) xy ab ab 2 E 222 xya 作斜率为直线与椭圆和圆分别相交于 B、C 1 k 1 l 1 E 2 E y xO D C B A （1）若时，恰好为线段 AC 的中点，试求椭圆的离心率； 1 1k B 1 Ee （2）若椭圆的离心率=，为椭圆的右焦点，当时，求值； 1 Ee 1 2 2 F 2 |2BABFa 1 k （3）设）设 D 为圆上不同于为圆上不同于 A 的一点，直线的一点，直线 AD 的斜率为，当时，试问直线的斜率为，当时，试问
10、直线 BD 是否过定点？是否过定点？ 2 E 2 k 2 1 2 2 kb ka 若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由 解：（1）当时，点 C 在轴上，且，则 1 1k y(0, )Ca ， 由 点B 在 椭 圆 上 ， 得， ，(,) 2 2 a a B 22 22 ()( ) 22 1 aa ab 2 2 1 3 b a ， 22 2 22 2 1 3 cb e aa 6 3 e （2） 设椭圆的左焦点为，由椭圆定义知， 1 F 12 |2BFBFa ，则点 B 在线段的中垂线上， 1 | |BFBA 1 AF 2 B ac x 又，
11、 1 2 c e a 1 2 ca 3 2 ba 3 4 B a x 代入椭圆方程得=，= 7 4 B yb 21 8 a 1 B B y k xa 21 2 （3）法一：由得， 1 22 22 (), 1, yk xa xy ab 2222 1 22 () 0 kxaxa ab ，或，xa 222 1 222 1 ()a bk a x ba k ，则 B xa 222 1 222 1 () B a bk a x ba k 2 1 1 222 1 2 () BB ab k yk xa ba k 由得， 2 222 (), , ykxa xya 2222 2( )0xakxa 得，或，同理，得，
12、xa 2 2 2 2 (1) 1 ak x k 2 2 2 2 (1) 1 D ak x k 2 2 2 2 1 D ak y k 当时， 2 1 2 2 kb ka 4 22 222 2 2 2 4222 22 2 2 2 () () B b a bk a ab k a x bab k bk a 2 2 222 2 2 B ab k y ab k ， BDAD，为圆， 2 22 2222 22 2222 222 2222 22 22 11 ()(1) 1 BD ab kak ab kk k ka ab kak ab kk 2 E ADB 所对圆的弦为直径，从而直线 BD 过定点（a,0）.
13、2 E 法二：直线过定点， BD( ,0)a 证明如下： 设，则：( ,0)P a(,) BB B xy 22 22 1(0) BB xy ab ab ， 222222 1 2222222 ()1 BBB ADPBPB BBB yyyaaaab kkk k bbxa xabxaba 所以，又PBADPDAD 所以三点共线，即直线过定点. , ,P B DBD( ,0)P a 拓展 7： 已知椭圆 C：+=1(ab0)的离心率为，且过点(，)设 M 是椭圆 C 上的一点，P、Q、T x2 a2 y2 b2 6 3 62 分别为点 M 关于 y 轴、原点、x 轴的对称点， N 为椭圆 C 上异于点
14、 M 的另一点，且 MNMQ，QN 与 PT 的交点为 E （1）求椭圆 C 的方程； （2）当 M 沿椭圆 C 运动时，求动点 E 的轨迹方程 （1）由题意得： 解之得：a2=12，b2=4，所以椭圆 C 的方程为： 22 6 , 3 62 1, c a ab 1 412 2 1 2 1 yx （2）设 M(x1，y1)为椭圆 C 上的任意一点（x1y10） ，N(x2，y2)，动点 E 的坐标为（x，y） ，则 P (x1，y1)，Q (x1，y1)，T(x1，y1) 所以，(1) 1 412 2 1 2 1 yx (2) (1)(2)，得1 412 2 2 2 2 yx 0 4 )( 12 )( 21212121 yyyyxxxx 所以，即 3 1 )( )( 2121 2121 xxxx yyyy1 3 MNQN kk 又 MNMQ，所以 1 MNQM kk 1 1 y x kMN 1 1 3 NQ y k x 直线 QN 的方程为，直线 PT 的方程为 11 1 1 )( 3 yxx x y yx x y y 1 1 从而得所以 11 2 1 , 2 1 yyxxyyxx2,2 11 由（1） ，可得，此即为所求的轨迹方程 )0( 1 3 2 2 xyy x 【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？