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1、 专题 8.5：立体几何中折叠问题的研究与拓展 【课本溯源】【课本溯源】如图，E、F 分别为正方形 ABCD 的边 BC、CD 的中点，沿图中虚线折起来，它能围成怎样 的几何体？ 平面图形通过折叠变为立体图形，就在图形发生变化的过程中，折叠 前后有些量(长度、角度等)没有发生变化，我们称其为“不变量” 求解立体 几何中的折叠问题，抓住“不变量”是关键 【问题提出问题提出】 问题问题 1：折叠前后哪些线段的长度没有变化 由 E、F 为边 BC、CD 的中点可知，折叠前后 BE、EC、CF、FD 长度不变，从而折叠后 B、C、D 重合于 一点 P，得到三棱锥 PAEF 问题问题 2：折叠前后哪些角
2、度没有变化 由 ABCD 为正方形可知，折叠前B=C=D=90，而折叠后APE=APF=EPF=90保持不变 【探究拓展探究拓展】 探究 1： 已知矩形 ABCD 中，AB=2AD=4，E 为 CD 的中点，沿 AE 将AED 折起，使 DB=2，O、H3 分别为 AE、AB 的中点，求证： （1）直线 OH/面 BDE； （2）面 ADE面 ABCE 探究 2：如图（1） ，等腰直角三角形 ABC 的底边 AB=4，点 D 在线段 AC 上，DEAB 于 E，现将ADE 沿 DE 折起到PDE 的位置（如图（2） ） （1）求证：PBDE； （2）若 PEBE，直线 PD 与平面 PBC 所
3、成的角为 30，求 PE 长 来源:Zxxk.Com A B C D E F E A F P A B CD AB C E E D 探究 3：如图，在长方形 ABCD 中，AB=2，BC=1，E 为 CD 的中点，F 为线段 EC（端点除外）上一动 点 现将AFD 沿 AF 折起， 使平面 ABD平面 ABC 在平面 ABD 内过点 D 作 DKAB， K 为垂足 设 AK=t， 则t 的取值范围是 探究4：如图，矩形，满足在上，在上，且，且 1221 A A A A ,B C 12 A A 11 ,B C 12 A A 1111 /BBCCA A ，沿、将矩形折起成为一个直三棱柱， 使与、与
4、11121 ,2A AABCA BCAB 1 BB 1 CC 1221 A A A A 1 A 2 A 1 A 2 A 重合后分别记为、 ， 如图在直三棱柱中，点分别为、和的中D 1 D 111 DBCD BC,M N G 1 D B 11 BC 1 CC 点证明： （1）平面；（2）/MN 11 DD C CMNGN 证明：（1）连结，因为分别为和的中点，所以， 1 B D 1 C D,M N 1 D B 11 BC 1 /MNDC 又平面，平面，所以平面 MN 11 DD C C 1 DC 11 DD C C/MN 11 DD C C （2）连结，因为，,BN BG 11121 ,2A A
5、ABCA BCAB 所以，设，则， 1 2BCB B 1 1B B 2BC 由是的中点，是的中点，N 11 BCG 1 CC 所以， 633 , 222 BNGNBG 所以，所以 222 BNGNBGGNBN 因为，所以，在直三棱柱中， 1111 B DDC 111 D NBC 111 DBCD BC 平面平面，平面平面，所以平面， 111 B DC 11 B BCC 111 B DC 1111 B BCCBC 1 D N 11 B BCC BC 1 C 1 B 1 A 2 A 1 A 2 A 图 B C D 1 B 1 C 1 D M N G 图 B C D 1 B 1 C 1 D M N
6、G 图 A B CD AB C E F D F 因为平面，所以因为，平面，GN 11 B BCC 1 D N GN 1 D NBNN 1 D N 1 D NB 平面，所以平面，因为平面，所以 BN 1 D NBGN 1 D NBMN 1 D NBMNGN 探究 5：矩形中,点为线段上的一点，现沿虚线将折起，使得ABCD2AB1BCFCDAFADF 平面,过点作线段的垂线，垂足为点,则函数的最大ABCFADF DAB,ExDF yAE )(xfy 值为_ 2 1 探究6：如图，等腰梯形ABCD中，ADBC，AB=AD，ABC=60，E是BC的中点将ABE沿AE折起， 使二面角BAEC成直二面角，
7、连结BC，BD，F是CD的中点，P是棱BC的中点 （1）求证：AEBD； （2）求证：平面 PEF平面 AECD； （3）判断 DE 能否垂直于平面 ABC？ 并说明理由 变式：如图，在直角梯形ABCD中，ABCD，ABAD，且AB=AD=CD=1现以AD为一边向形外作正 1 2 方形ADEF，然后沿边 AD 将正方形ADEF翻折，使 平面ADEF平面ABCD， M为ED的中点 （1）求证：AM/平面 BEC； （2）求证：BC平面 BDE； （3）求点 D 到平面 BEC 的距离 【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？ A BC D E A B C D E F P FB D A F B D M E EC A C