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1、专题 8.2：立体几何中性质定理的应用研究与拓展 【拓展探究拓展探究】 探究 1： 如图，在三棱锥中，平面已知，点，分别为，的PABCBC PABPAABDEPBBC 中点 （1）求证：平面；AD PBC （2）若在线段上，满足平面，求的值FAC/ADPEF AF FC 变式 1：如图，四棱锥中，PABCD 底面为菱形，平ABCD 0 60DAB 面底面PCD ，是的中点，为上的一点.ABCDEABGPA （1）求证：平面平面；GDE PCD （2）若平面，求的值./ /PCDGE PG GA 解：（1）证明：设菱形的边长为 1，则是的中点，ABCDEAB 0 60DAB ， 2 113 12
2、cos60 424 DE 222 DEAEADDEAEDECD 平面底面，平面底面，PCD ABCDPCD ABCDCD ，平面，平面平面；DEABCDDEPCDGDE PCD （2）连接，交于，连接，则平面，平面平面，ACDEHGH/ /PCDGEPCAGDEGH ，./ /PCGH2 PGCH GAHA 变式 2：如图，长方体中，底面是正方形， 1111 ABCDABC D 1111 ABC D 是棱上任意一点，是的中点E 1 AAFCD （1）证明：；BD 1 EC A P B C D E F P A BC D E G D1 C1 B1 A1 F E D C B A （2）若 AF平面
3、C1DE，求的值 1 AE A A 变式 3： 如图，在四棱锥 PABCD 中，O 为 AC 与 BD 的交点，AB平面 PAD，PAD 是正三角形， DC/AB，DADC2AB. （1）若点 E 为棱 PA 上一点，且 OE平面 PBC，求的值； AE PE （2）求证：平面 PBC平面 PDC. 证 （1）因为 OE平面 PBC，OE 平面 PAC，平面 PAC平面 PBCPC，所以 OEPC， 所以 AOOCAEEP 因为 DC/AB，DC2AB，所以 AOOCABDC12. 所以 AE PE 1 2 （2）法一：取 PC 的中点 F，连结 FB，FD 因为PAD 是正三角形，DADC，
4、所以 DPDC 因为 F 为 PC 的中点，所以 DFPC. 因为 AB平面 PAD，所以 ABPA，ABAD，ABPD 因为 DC/AB，所以 DCDP，DCDA 设 ABa，在等腰直角三角形 PCD 中，DFPFa2 在 RtPAB 中，PBa5 在直角梯形 ABCD 中，BDBCa5 因为 BCPBa，点 F 为 PC 的中点，所以 PCFB5 在 RtPFB 中，FBa 3 在FDB 中，由 DFa，FBa，BDa，可知 DF2FB2BD2，所以 FBDF235 由 DFPC，DFFB，PCFBF，PC、FB 平面 PBC，所以 DF平面 PBC 又 DF平面 PCD，所以平面 PBC
5、平面 PDC 法二：取 PD，PC 的中点，分别为 M，F，连结 AM，FB，MF， 所以 MFDC，MF DC 1 2 P A B C D O E 因为 DC/AB，AB DC，所以 MFAB，MFAB， 1 2 即四边形 ABFM 为平行四边形，所以 AMBF 在正三角形 PAD 中，M 为 PD 中点，所以 AMPD 因为 AB平面 PAD，所以 ABAM 又因为 DC/AB，所以 DCAM 因为 BF/AM，所以 BFPD，BFCD 又因为 PDDCD，PD、DC 平面 PCD，所以 BF平面 PCD 因为 BF 平面 PBC，所以平面 PBC平面 PDC. 变式 4：如图，在四棱锥中
6、，平面，点ABCDP /ADABC 分别为棱的中点，NM、BCAD、BCMN （1）求证：平面；/BCPAD （2）若,求证：PDPA PCPB 探究 2： 如图，在四棱锥中，平面，底面是平行四边形，为的两PABCDPAABCDABCD,E FPD 个三等分点 （1）求证平面；BEACF （2）若平面平面 求证： PAC PCDPCCD 变式 1： 如图，在四棱锥 P ABCD 中，四边形 ABCD 是矩形，平面 PCD平面 ABCD，M 为 PC 中点求 证： （1）PA平面 MDB； （2）PDBC 变式 2： 如图，在三棱锥中，点分别是棱的中点PABC,E F,PC AC (1) 求证：
7、/平面；PABEF (2) 若平面平面，求证：PAB ABCPBBCBCPA （1）在中，、分别是、的中点，所以，PACEFPCAC/PAEF P M D C BA P A B C F E A BC P D A BC P D H 又平面，平面，PABEFEF BEF 所以平面 /PABEF （2）在平面内过点作，垂足为PABPPDABD 因为平面平面，平面平面，PAB ABCPABABCAB 平面，所以平面,PD PABPD ABC 又平面，所以，BC ABCPDBC 又，平面，PBBCPDPBPPD PAB 平面，所以平面，PB PABBC PAB 又平面，所以 PAPABBCPA 变式 3
8、：如图，在四棱锥中，平面平面，BC/平面 PAD，PABCDPABABCD ,求证：PBC90 90PBA （1）平面；/ADPBC （2）平面平面PBC PAB 【证】 （1）因为 BC/平面 PAD， 而 BC平面 ABCD，平面 ABCD平面 PAD = AD，I 所以 BC/AD因为 AD平面 PBC，BC平面 PBC， 所以平面 /ADPBC （2）自 P 作 PHAB 于 H，因为平面平面，且平面平面=AB，PABABCDPABIABCD 所以平面因为 BC平面 ABCD，所以 BCPH ABCDPH 因为,所以 BCPB，PBC90 而，于是点 H 与 B 不重合，即 PBPH = H90PBA I 因为 PB，PH平面 PAB，所以 BC平面 PAB 因为 BC平面 PBC，故平面 PBC平面 PAB 变式 4：在六面体 1111 DCBAABCD （1）若平面,平面,求证：四点共面；/ 1 AA 11BCC B/ 1 AA 11DCC D 11 ,DDBB （2）若平面平面,平面,求证：ABCD 11BCC BABCD 11DCC DABCDCC 1 【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？