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1、平面向量的数量积,2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义,2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角,定义：,一般地，实数与向量a 的积是一个向 量，记作a，它的长度和方向规定如下： (1) |a|=| |a| (2) 当0时,a 的方向与a方向相同； 当0时,a 的方向与a方向相反；,已知两个非零向量a和b，作OA=a， OB=b，则AOB= （0 180）叫做向量a与b的夹角。,O,B,A,向量的夹角,我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）,F,S,力F所做的功W可用下式计算 W=|F| |S|cos 其中是F与S的夹角,从力所做的功出发，我们引入向量“数量
2、积”的概念。,定 义,|a| cos（|b| cos）叫做向量a在b方向上（向量b在a方向上）的投影。,注意：向量的数量积是一个数量。,思考：,ab=|a| |b| cos,当0 90时ab为正；,当90 180时ab为负。,当 =90时ab为零。,重要性质:,特别地,解：ab = |a| |b|cos= 54cos120 =54（-1/2）= 10,例2 已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角=120，求ab。,例3 已知a=(1,1),b=(2,0),求ab。,解： |a| =2, |b|=2, =45 ab=|a| |b|cos= 22cos45 = 2,ab的几何意义：,O,投影,O
3、,O,练习：,1若a =0，则对任一向量b ，有a b=0,2若a 0，则对任一非零向量b ,有a b0,3若a 0，a b =0，则b=0,4若a b=0，则a b中至少有一个为0,5若a0，a b= b c，则a=c,6若a b = a c ,则bc,当且仅当a=0 时成立,7对任意向量 a 有,二、平面向量的数量积的运算律：,数量积的运算律：,注：,则 (a + b) c = ON |c| = (OM + MN) |c| = OM|c| + MN|c| = ac + bc .,O,N,M,a+b,b,a,c,向量a、b、a + b在c上的射影的数量分别是OM、MN、 ON,证明运算律(3
4、),例 3：求证：,（1）(ab)2a22abb2；,（2）(ab)(ab)a2b2.,证明：（1）(ab)2(ab)(ab),(ab)a(ab)b,aabaabbb,a22abb2.,证明：（2）(ab)(ab)(ab)a(ab)b aabaabbb a2b2.,P116 例4,例4,小结：,1. 2.,可用来求向量的模,3.投影,作业：,4、已知a、b都是非零向量，且a + 3 b 与7 a 5 b 垂直，a 4 b 与7 a 2 b垂直，求a与b的夹角。,解： （a + 3 b ）（7 a 5 b） （a 4 b ）（7 a 2 b ） （a + 3 b ）（7 a 5 b） =0 且 （a 4 b ） （7 a 2 b ）=0 即 7a a + 16 a b 15 b b =0 7a a - 30 a b + 8 b b =0 两式相减得： 2 a b = b 2，,代入其中任一式中得: a 2= b 2,cos=,