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1、反 函 数反 函 数 吉林省松原市实验高级中学 陈天鸿 教材：人教版全日制普通高级中学教科书（必修）数学第一册（上） 教学目标：教学目标： 1了解反函数的概念，弄清原函数与反函数的定义域和值域的关系 2会求一些简单函数的反函数 3在尝试、探索求反函数的过程中，深化对概念的认识，总结出求反函数的一般步骤， 加深对函数与方程、数形结合以及由特殊到一般等数学思想方法的认识 4进一步完善学生思维的深刻性，培养学生的逆向思维能力，用辩证的观点分析问题， 培养抽象、概括的能力 教学重点：教学重点：求反函数的方法 教学难点：教学难点：反函数的概念 教学过程：教学过程： 教学活动教学活动设计意图设计意图 一、
2、创设情境，引入新课一、创设情境，引入新课 1复习提问 函数的概念 y=f(x)中各变量的意义 2同学们在物理课学过匀速直线运动的位移和时间的函 数关系，即S=vt和t=（其中速度v是常量） ，在S=vt 中位 v S 移 S 是时间 t 的函数；在t=中，时间t是位移S的函数在 v S 这种情况下， 我们说t=是函数S=vt的反函数 什么是反函数， v S 如何求反函数，就是本节课学习的内容 3板书课题 由实际问题引入新 课， 激发了学生学习兴趣， 展示了教学目标这样既 可以拨去“反函数”这一 概念的神秘面纱，也可使 学生知道学习这一概念的 必要性 二、实例分析，组织探究二、实例分析，组织探究
3、 1问题组一： （用投影给出函数与；与（ 3 1 xy 3 xy 2 1 xy 2 xy ）的图象）0x （1） 这两组函数的图像有什么关系？这两组函数有什么关 系？（生答：与的图像关于直线 y=x 对称； 3 1 xy 3 xy 2 1 xy 与（）的图象也关于直线 y=x 对称是求一 2 xy 0x 3 xy 个数立方的运算，而是求一个数立方根的运算，它们互 3 1 xy 为逆运算同样，与（）也互为逆运算 ） 2 1 xy 2 xy 0x （2）由，已知 y 能否求 x？ 3 xy （3）是否是一个函数？它与有何关系？ 3 1 yx 3 1 xy （4）与有何联系？ 3 1 yx 3 xy
4、 2问题组二： （1） 函数 y=2x+1(x 是自变量)与函数 x=2y+1(y 是自变量) 是否是同一函数？ （2） 函数(x是自变量)与函数x=2y+1(y是自变量) 2 1 x y 是否是同一函数？ （3） 函数 （） 的定义域与函数（1xy0x 2 ) 1( xy ）的值域有什么关系？1x 3渗透反函数的概念 （教师点明这样的函数即互为反函数，然后师生共同探究 其特点） 从学生熟知的函数出 发，抽象出反函数的概念， 符合学生的认知特点，有利 于培养学生抽象、概括的能 力 通过这两组问题，为反 函数概念的引出做了铺垫， 利用旧知， 引出新识， 在 “最近 发展区”设计问题，使学生 对反
5、函数有一个直观的粗 略印象，为进一步抽象反函 数的概念奠定基础 三、师生互动，归纳定义三、师生互动，归纳定义 1 （根据上述实例，教师与学生共同归纳出反函数的定义） 函数 y=f(x)(xA A) 中， 设它的值域为 C C 我们根据这个函 数中 x,y 的关系，用 y 把 x 表示出来，得到 x = (y) 如果对 于 y 在 C 中的任何一个值，通过 x = (y)，x 在 A 中都有唯一 的值和它对应，那么, x = (y)就表示 y 是自变量，x 是自变量 y 的函数这样的函数 x = (y)(y C C)叫做函数y=f(x)(xA A) 的反函数.记作: 考虑到“用 x表示自变量,
6、y表示)( 1 yfx 函数”的习惯，将中的 x 与 y 对调写成)( 1 yfx )( 1 xfy 2引导分析： 1）反函数也是函数； 2）对应法则为互逆运算； 3）定义中的“如果”意味着对于一个任意的函数 y=f(x) 来说不一定有反函数； 4） 函数 y=f(x)的定义域、 值域分别是函数 x=f(y)的值 1 域、定义域； 5）函数 y=f(x)与 x=f(y)互为反函数； 1 6）要理解好符号 f； 1 7）交换变量 x、y 的原因 3两次转换 x、y 的对应关系 xfyyfxxfy 11 （原函数中的自变量 x 与反函数中的函数值 y 是等价的，原函 数中的函数值 y 与反函数中的
7、自变量 x 是等价的 ） 4函数与其反函数的关系 函数 y=f(x) 函数)( 1 xfy 定义域A AC C 值 域C CA A 在上述探究的基础上， 揭示反函数的定义，学生有 针对性地体会定义的特点， 进而对定义有更深刻的认 识，与自己的预设产生矛盾 冲突，体会反函数在剖析 定义的过程中，让学生体会 函数与方程、一般到特殊的 数学思想，并对数学的符号 语言有更好的把握 通过动画演示，表格对 照，使学生对反函数定义从 感性认识上升到理性认识， 从而消化理解 四、应用解题，总结步骤四、应用解题，总结步骤 1 （投影例题） 【例 1】求下列函数的反函数 （1）y=3x-1 (2)y=x +1 3
8、 【例 2】求函数的反函数)0( 1xxy （教师板书例题过程后，由学生总结求反函数步骤 ） 2总结求函数反函数的步骤: 1 由y=f(x)反解出 x=f(y) 1 2 把 x=f(y)中 x与y互换得. 1 )( 1 xfy 3 写出反函数的定义域. )( 1 xfy （简记为：反解、互换、写出反函数的定义域） 【例 3】 （1）有没有反函数?)( 2 Rxxy （2）的反函数是_)0( 2 xxy （3）(x0)的反函数是_ 2 xy 通过对具体例题的讲 解分析，在解题的步骤上和 方法上为学生起示范作用， 并及时归纳总结，培养学生 分析、思考的习惯，以及归 纳总结的能力 题目的设计遵循了从
9、 了解到理解，从掌握到应用 的不同层次要求，由浅入 深，循序渐进并体现了对 定义的反思理解学生思考 练习，师生共同分析纠正 五、巩固强化，评价反馈五、巩固强化，评价反馈 1已知函数 y=f(x)存在反函数，求它的反函数 y =f( 1 x) （1）y=-2x+3(xR) （2）y=-(xR,且 x) x 2 0 ( 3 ) y=(xR,且 x) 53 x x 3 5 2 已 知 函 数 f(x)=(xR,且 x)存 在 反 函 数 1 56 x x 1 ，求 f(7)的值)( 1 xfy 1 进一步强化反函数的 概念，并能正确求出反函 数反馈学生对知识的掌握 情况，评价学生对学习目标 的落实程
10、度具体实践中可 采取同学板演、分组竞赛等 多种形式调动学生的积极 性 五、反思小结，再度设疑五、反思小结，再度设疑 本节课主要研究了反函数的定义，以及反函数的求解步 骤互为反函数的两个函数的图象到底有什么特点呢？为什么 具有这样的特点呢？我们将在下节研究 （让学生谈一下本节课的学习体会，教师适时点拨） “问题是数学的心脏” 学生带着问题走进课堂又 带着新的问题走出课堂 六、作业六、作业 习题 2.4 第 1 题，第 2 题 进一步巩固所学的知 识 教学设计说明教学设计说明 “问题是数学的心脏” 一个概念的形成是螺旋式上升的，一般要经过具体到抽象，感性 到理性的过程本节教案通过一个物理学中的具体
11、实例引入反函数，进而又通过若干函数的 图象进一步加以诱导剖析，最终形成概念 反函数的概念是教学中的难点，原因是其本身较为抽象，经过两次代换，又采用了抽象 的符号由于没有一一映射，逆映射等概念的支撑，使学生难以从本质上去把握反函数的概 念为此，我们大胆地使用教材，把互为反函数的两个函数的图象关系预先揭示，进而探究 原因，寻找规律，程序是从问题出发，研究性质，进而得出概念，这正是数学研究的顺序， 符合学生认知规律， 有助于概念的建立与形成 另外， 对概念的剖析以及习题的配备也很精当， 通过不同层次的问题， 满足学生多层次需要， 起到评价反馈的作用 通过对函数与方程的分析， 互逆探索， 动画演示， 表格对照、 学生讨论等多种形式的教学环节， 充分调动了学生的探求欲， 在探究与剖析的过程中，完善学生思维的深刻性，培养学生的逆向思维使学生自然成为学 习的主人