江苏专版2019届高三数学备考冲刺140分问题06三角形中的不等问题与最值问题含解.pdf

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1、问题 6 三角形中的不等问题与最值问题问题 6 三角形中的不等问题与最值问题 一、考情分析 根据条件确定三角形中角、边、周长或面积的取值范围是解三角形中较难的一类问题,常作为客观题中的压 轴题或解答题中的第二问. 二、经验分享 (1)求角的范围或三角函数值的范围要注意三角形内角和为这一限制条件 (2)求边的范围可利用正弦定理把边转化为三角函数,利用三角函数的有界性求范围或根据角的范围利用 余弦定理求边的范围,同时要注意两边之和大于第三边. (3)求周长或面积的范围与最值可转化为边与角的范围,也可利用基本不等式求范围 三、知识拓展 (1)若ABC是锐角三角形,则,、 (2)若ABC中,若A是锐角

2、,则 222 abc ；若A是钝角,则 222 abc (3) ABC中,若 3 A ,则, , = . (4)若, ,a b c成等差数列,则 3 B . 四、题型分析四、题型分析 (一) 角或角的三角函数的范围或最值(一) 角或角的三角函数的范围或最值 【例 1】 【江苏省南京市、 盐城市 2019 届高三第二次模拟】 在中， 若， 则 的最大值为_. 【答案】 【分析】先由题得，再化简得=， 再利用三角函数的图像和性质求出最大值. 【解析】在ABC 中，有, 所以= =,当即时取等. 故答案为： 【点评】求三角函数式的范围一般是先确定角的范围,利用利用三角函数的单调性及有界性求范围与最值

3、, 有时也利用基本不等式求最值. 【小试牛刀】 【2018 江苏省南京市多校第一次段考】在ABC中，角A， B， C的对边分别为a， b， c，若 ， 4ab ，则的最小值是_ 【答案】 2 24 2 【解析】， 4ab ， , 0,C , , 当且仅当时成立. (二) 边的范围或最值(二) 边的范围或最值 【例 2】在ABC中,若,点E,F分别是AC,AB的中点,则 BE CF 的取值范围为 【分析】先得出,设 b t a ,转化为函数求值域. 【解析】设分别是,AC AB的中点, , 所以由正弦定理得 , 1 14 ,设 b t a ,结合 2 3 cb,由, abc acb bca 可得

4、. ,故答案为 1 7 ( , ) 4 8 . 【点评】本题主要考查三角形中位线定理、正弦定理及求范围问题,属于难题.求范围问题的常见方法有 配方法；换元法；不等式法；图象法；函数单调性法：将问题转化为关于某一参变量的函数后,首 先确定函数的定义域,然后准确地找出其单调区间 ,最后再根据其单调性求凼数的值域；本题就是先将 BE CF 表示为关于t的函数,再根据方法解答的. 【小试牛刀】 【江苏省如皋中学 2018-2019 学年高三第一学期期中】某公园准备在一圆形水池里设置两个观 景喷泉， 观景喷泉的示意图如图所示，两点为喷泉， 圆心 为的中点， 其中米， 半径 米，市民可位于水池边缘任意一点

5、 处观赏 （1）若当时，求此时 的值； （2）设，且 （i）试将 表示为 的函数，并求出 的取值范围； （ii）若同时要求市民在水池边缘任意一点 处观赏喷泉时，观赏角度的最大值不小于 ，试求两 处喷泉间距离的最小值 【解析】 （1）在中，由正弦定理得， 所以， 即 （2） （i）在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 又 所以， 即 又，解得， 所以所求关系式为， （ii）当观赏角度的最大时，取得最小值 在中，由余弦定理可得 ， 因为的最大值不小于 ， 所以，解得， 经验证知， 所以 即两处喷泉间距离的最小值为 (三) 周长的范围或最值 (三) 周长的范围或最值 【例 3】在锐角ABC中,

6、 2c ,. （1）若ABC的面积等于3,求a、b； （2）求ABC的周长的取值范围. 【分析】 （1）利用已知条件通过正弦定理集合三角形的面积,余弦定理转化求解即可； （2）利用正弦定理表示三角形的周长,利用三角函数的有界性求解即可 【解析】 （1）由及正弦定理得：, 又sin0A,.又C为锐角,故 3 C , 又, 4ab 由得, 所以由解得 2 2 a b . （2）由正弦定理得, ,记ABC周长为l,则 , 又 2 3 AB , , ABC为锐角三角形, . 【点评】周长问题也可看做是边长问题的延伸,所以在解决周长相关问题时,着眼于边长之间的关系,结合边 长求最值(范围)的解决方式,通

7、常都能找到正确的解题途径. 【小试牛刀】CA中,角A、C所对的边为a、b、c,且 （1）求角A； （2）若2a ,求CA的周长的最大值 【答案】 （1）60A ；（2）6 【解析】 （1） , 解得60A （2）, 周长, 当 3 C 时,ABC 的周长的最大值为 6 (四) 面积的范围与最值 (四) 面积的范围与最值 【例 4】如图,在等腰直角三角形OPQ中,POQ90,OP2 2,点M在线段PQ上 (1)若5OM ,求PM的长； (2)若点N在线段MQ上,且MON30,问：当POM取何值时,OMN的面积最小？并求出面积的最小值 【分析】第(1)题利用余弦定理求MP的长,难度不大；第(2)题

8、求OMN的面积最小值,前面的要求也很明确： 以POM为自变量,因此,本题的中点就是如何将OMN的面积表示为POM的函数关系式,进而利用函数最值 求解.其中,利用正弦定理将OM和ON的长表示为POM的函数是关键. 【解析】(1)在OMP中, ,5OM , 2 2OP , 由余弦定理得, , 得, 解得1MP 或3MP (2)设, , 在OMP中,由正弦定理,得, 所以, 同理 故 因为, , 所以当30时,的最大值为1,此时OMN的面积取到最小值 即时,OMN的面积的最小值为84 3 【点评】面积问题是边长与角问题的综合,解题中既要考虑边的变化,也要考虑相关角的变化,通常是利用面 积公式,将其转

9、化为同一类元素,然后利用三角函数范围或者实数的不等关系求解. 【小试牛刀】 【江苏省常州一中、泰兴中学、南菁高中 2019 届高三 10 月月考】如图所示，某市政府决定在 以政府大楼 O 为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆为了充分利用这块 土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该 图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝 市政府大楼设扇形的半径，OB 与 OM 之间的夹角为 将图书馆底面矩形 ABCD 的面积 S 表示成 的函数 若，求当 为何值时，矩形 ABCD 的面积 S 有最大值？其最大值是多少？ 精确到 【解析】 由题意可知，点M为的中点，所以

10、 设OM于BC的交点为F，则， 所以 ， 因为，则 所以当，即时，S有最大值 故当时，矩形ABCD的面积S有最大值 (五) 与其它知识点的综合问题(五) 与其它知识点的综合问题 【例 5】 【江苏省盐城中学 2018 届高三上学期期末】已知ABC的周长为 6，且,BC CA AB成等比数列， 则BA BC 的取值范围是_ 【答案】 【 解 析 】 因 为,BC CA AB成 等 比 数 列 ， 所 以， 从 而02b， 所 以 ，又 ，即，解得，故 . 【点评】三角函数值也是一个实数,所以,它也可以与其他实数进行代数运算,也可以与其它知识点进行交汇, 如向量、数列、不等式等等,解题中要综合这些

11、知识和相关方法,灵活处理,才能既快又准的解决问题. 【小试牛刀】如图,已知平面上直线 12 / /ll,A,B分别是 1 l, 2 l上的动点,C是 1 l, 2 l之间的一定点,C 到 1 l的距离1CM ,C到 2 l的距离 3CN ,ABC三内角A、B、C所对边分别为a,b,c, ab,且. （）判断ABC的形状； （）记ACM, ,求( )f的最大值. 【答案】 （）ABC是直角三角形；（）( )f的最大值为 2 3 3 . 【解析】 （I）由正弦定理得：,集合,得, 又ab,所以AB,且,所以, 2 C , 所以ABC是直角三角形； （II）ACM,由（I）得,则 1 cos AC

12、, 3 sin BC , , 所以 6 时,( )f的最大值为 2 3 3 . 五、迁移运用五、迁移运用 1【江苏省如皋市 2018-2019 学年高三年级第一学期期末】 在锐角 ABC 中， 角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， 已知，则的最小值是_ 【答案】6 【解析】根据题意，已知，由余弦定理得 ，化简得 由正弦定理： 即（正弦平方差） 整理可得： 即 设 因为为锐角三角形，所以 此时即 所以= 令 当，f(x)递增；当，f(x)递减； 所以 故的最小值是 6 故答案为 6 2 【江苏省无锡市 2019 届高三上学期期末】在锐角三角形 ABC 中，已知 2sin2 A+

13、sin2B = 2sin2C，则 的最小值为_ 【答案】 【解析】由正弦定理，得：， 如图，作 BDAC 于 D，设 ADx，CDy，BDh， 因为，所以，化简，得： ，解得：x3y ， ，当且仅当时取得最小值. 故答案为：. 3 【江苏省南京市 13 校 2019 届高三 12 月联合调研】已知的三边长 ， ， 成等差数列，且 ，则实数 的取值范围是_. 【答案】 . 【解析】 【解析】设公差为 d，则有 abd，cb+d，代入 a2+b2+c263，化简可得 3b2+2d263， 当 d0 时，b 有最大值为 ， 由三角形任意两边之和大于第三边，得到较小的两边之和大于最大边，即 a+bc，

14、 整理得：b2d， 可得：3b2+2（ ）263，解得：b3 ，则实数 b 的取值范围是（3， 故答案为：（3， 4 【江苏省清江中学 2019 届高三第二次教学质量调研】在中，设角的对边分别是若 成等差数列，则的最小值为_. 【答案】 【解析】由题得, 所以, 所以 因为 所以 故答案为： 5【江苏省镇江市 2019 届高三上学期期中】 在ABC 中， 角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 已知 4(tanAtanB) ，则 cosC 的最小值为_ 【答案】 【解析】4（tanA+tanB）= 则 4（sinAcosB+cosAsinB）=sinA+sinB， 即 4sin（A

15、+B）=sinA+sinB， 又A+B=C， 4sinC=sinA+sinB， 由正弦定理得，4c=a+b 由余弦定理得 cosC=, 4c=a+b， cosC=， cosC 的最小值为 故答案为： 6 【江苏省如皋市 2018-2019 学年高三数学第一学期教学质量调研】在ABC 中，D 为 AB 的中点，若 ，则的最小值是_ 【答案】 【解析】根据 D 为 AB 的中点，若，得到， 化简整理得，即， 根据正弦定理可得，进一步求得， 所以 ， 求导可得当时，式子取得最大值，代入求得其结果为 ， 故答案为. 7 【江苏省扬州中学 2019 届高三 10 月月考】在中，若则的最 大值为_. 【答

16、案】 【解析】已知等式即 ， ， 即 可得， 即， 即 所以， sinA 故答案为： 8 【江苏省苏州市 2017-2018 学年高三上学期期中】设ABC的内角, ,A B C的对边分别是, ,a b c,D为AB 的中点,若且 2CD ,则ABC面积的最大值是_ 【答案】 21 【解析】因为,所以,即 ,即sincosAA,即 4 A ,又因为D为AB的中点,且 2CD ,所 以, 即,即,则,则ABC面积的最大值 是 9【 百 校 联 盟 2018 届 TOP20 一 月 联 考 】ABC中 ， 角, ,A B C的 对 边 分 别 为, ,a b c， 若 ， 2b ，则ABC外接圆面积

17、的最小值为_ 【答案】 9 8 【解析】由条件及正弦定理得， ，整理得3ac 在ABC中，由余弦定理得， 1 cos 3 B ，当且仅当 3ac 时等号成立 2 2 sin 3 B 设ABC外接圆的半径为r，则，故 3 2 4 r 故ABC外接圆面积的最小值为 9 8 答案： 9 8 10 【南京市、盐城市 2018 届高三年级第一次模拟】若不等式对任意 ABC都成立，则实数k的最小值为_ 【答案】100 【解析】由正弦定理得 因此100k ，即k的最小值为 100 11 【山东省德州市 2018 届高三上学期期中考试】在ABC中， , ,a b c分别为内角, ,A B C的对边， ，则AB

18、C面积的最大值为_ 【答案】3 【解析】，, 由余弦定理得， 2bac，即2acb。又4ac，b 2. 由余弦定理的推论得， ， ，当且仅当a c 时等号成 立。 ABC面积的最大值为3。 12 【江苏省泰州中学 2018 届高三 10 月月考】在ABC中，角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c，若ABC 为锐角三角形，且满足 22 baac ，则的取值范围是_ 【答案】 7 3 2, 6 【解析】由正弦定理得：,由降幂公式得，再结合 和差化积得： 在 三 角 形 中 得2BA,所 以3CA,由 三 角 形 为 锐 角 三 角 形 得 ：,而 ， 32 B ，令， 函数 1 yt t

19、 在0,1递减，所以，故填 7 3 2, 6 . 13【江苏省南通市基地学校2019届高三3月联考】 在中， 角所对的边分别为 向量 ，且 （1）若，求角 的值； （2）求角 的最大值 【解析】 （1）因为，且 所以，即 由正弦定理，得 所以 整理，得 将代入上式得 又，所以 （2）方法一：由式，因为，所以 式两边同时除以，得 又 当且仅当，即时取等号 又，所以 的最大值为 方法二：由（1）知， 由余弦定理 代入上式并化简得 所以 又 当且仅当，即时取等号 又，所以 的最大值为 14 【江苏省南通、扬州、泰州、苏北四市七市 2019 届高三第一次（2 月)模拟】如图 1，一艺术拱门由两 部分组

20、成，下部为矩形，的长分别为和，上部是圆心为 的劣弧， （1）求图 1 中拱门最高点到地面的距离； （2） 现欲以 B 点为支点将拱门放倒， 放倒过程中矩形所在的平面始终与地面垂直， 如图 2、 图 3、 图 4 所示设与地面水平线 所成的角为 记拱门上的点到地面的最大距离为 ，试用 的函数表示 ，并求出 的最大值 【解析】 （1）如图，过 作与地面垂直的直线交于点，交劣弧于点 ，的 长即为拱门最高点到地面的距离 在中， 所以，圆的半径 所以 答：拱门最高点到地面的距离为 （2）在拱门放倒过程中，过点 作与地面垂直的直线与“拱门外框上沿”相交于点 当点 在劣弧上时，拱门上的点到地面的最大距离 等

21、于圆 的半径长与圆心 到地面距离之和； 当点 在线段上时，拱门上的点到地面的最大距离 等于点 到地面的距离 由（1）知，在中， 以 为坐标原点，直线 为 轴，建立如图所示的坐标系 当点 在劣弧上时， 由， 由三角函数定义， 得， 则 所以当即时， 取得最大值 当点 在线段上时，设，在中， ， 由，得 所以 又当时， 所以在上递增 所以当时， 取得最大值 因为，所以 的最大值为 综上，艺术拱门在放倒的过程中，拱门上的点到地面距离的最大值为（） 15 【江苏省常州市 2019 届高三上学期期末】某公园要设计如图所示的景观窗格（其结构可以看成矩形在 四个角处对称地截去四个全等的三角形所得， 如图二中

22、所示多边形） ， 整体设计方案要求:内部井 字形的两根水平横轴米，两根竖轴米，记景观窗格的外框（如图二实线部分， 轴和边框的粗细忽略不计）总长度为 米. （1）若，且两根横轴之间的距离为米，求景观窗格的外框总长度； （2） 由于预算经费限制， 景观窗格的外框总长度不超过 米， 当景观窗格的面积 （多边形的面积） 最大时，给出此景观窗格的设计方案中的大小与的长度. 【解析】 （1）米， 则米，米， 故总长度米； 答：景观窗格的外框总长度为米； （2）设，景观窗格的面积为 ， 则 ， ，当且仅当即时取等 ， ， 由知：， 答：当景观窗格的面积最大时，的长度为米. 16 【江苏省南通市三县（通州区、

23、海门市、启东市)2019 届高三第一学期期末联考】如图，某公园内有一 块矩形绿地区域 ABCD，已知 AB=100 米，BC=80 米，以 AD，BC 为直径的两个半圆内种植花草，其它区域种 值苗木. 现决定在绿地区域内修建由直路 BN，MN 和弧形路 MD 三部分组成的观赏道路，其中直路 MN 与绿地 区域边界 AB 平行， 直路为水泥路面， 其工程造价为每米 2a 元， 弧形路为鹅卵石路面， 其工程造价为每米 3a 元，修建的总造价为 W 元. 设. （1）求 W 关于 的函数关系式； （2）如何修建道路，可使修建的总造价最少？并求最少总造价. 【解析】 （1）连 NC，AM，设 AD 的

24、中点为 O，连接 MO，过 N 作，垂足为 E. 由 BC 为直径知，又米， 所以米， 因为 MNAB，米，所以米， 由于米， 所以米， 因为直路的工程造价为每米 2a 元，弧形路的工程造价为每米 3a 元， 所以总造价为 , ， . 所以 W 关于 的函数关系式为 . （2）记， 则 ， 令，得，列表如下： 0+ 极小值 所以，当时，取得最小值， 此时，总造价 W 最少，最少总造价为元. 答：（1）W 关于 的函数关系式为 ； （2）当时，修建的总造价最少，最少总造价为元. 17 【福建省厦门市 2018 届高三年级上学期期末质检数学（理） 】如图，单位圆O与 , x y轴正半轴的交点分 别

25、为,A D，圆O上的点C在第一象限. （1）若点C的坐标为 3 1 , 22 ，延长CD至点B，使得2DB ，求OB的长； （2）圆O上的点E在第二象限，若，求四边形OCDE面积的最大值. 【解析】 （1）由点 3 1 , 22 C 在单位圆上，可知， 由图像可得； 在CDB中， 1OD ， 2DB ； 由余弦定理得； 解得7OB ； （2）设， ， 四边形OCDE的面积 ， 当 62 ，即 3 时，四边形OCDE的面积S的最大值为 3 2 . 18.【江苏省无锡市普通高中 2018 届高三上学期期中】 在一块杂草地上有一条小路 AB,现在小路的一边围出 一个三角形（如图）区域，在三角形 AB

26、C 内种植花卉.已知 AB 长为 1 千米，设角,CAC 边长为 BC 边长 的1a a 倍，三角形 ABC 的面积为 S（千米 2）. 试用和a表示S； （2）若恰好当60 时，S 取得最大值，求a的值. 【解析】(1)设边BCx ，则ACax ， 在三角形ABC中，由余弦定理得： ， 所以， 所以， （2）因为， ， 令0S ，得 且当 0 时， 0S ， 当 0 时， 0S， 所以当 0 时，面积S 最大，此时 0 0 60 ，所以 2 21 12 a a ， 解得23a ， 因为1a ，则23a . 19 【江苏省仪征中学 2018 届高三 10 月学情检测】如图，一块弓形余布料EMF

27、，点M为弧EF的中点，其 所在圆O的半径为 4 dm（圆心O在弓形EMF内） ，EOF= 2 3 将弓形余布料裁剪成尽可能大的矩形 ABCD(不计损耗)， ADEF，且点A、D在弧EF上，设AOD=2 （1）求矩形ABCD的面积S关于的函数关系式； （2）当矩形ABCD的面积最大时，求 cos的值 【解析】(1) 设矩形铁片的面积为S，AOM. 当 0 3 时(如图 1)，AB4cos2，AD24sin， SABAD (4cos2)(24sin)16sin(2cos1) 当 3 2 ， 时(如图 2)，AB24cos ，AD24sin ， 故SABAD64sincos32sin 2. 综上得，

28、矩形铁片的面积S关于的函数关系式为 (2) 当 0时，求导，得S16cos(2cos1)sin(2sin) 16(4cos2 cos 2) 令S0，得 cos. 记区间0 3 内余弦值等于的角为0(唯一存在)， 列表： (0，0)00 3 S0 S极大值 又当时，S32sin2是单调减函数，所以当0，即 cos 331 8 时，矩形铁片的面 积最大 20 【江苏省泰州中学 2018 届高三 10 月月考】如图，摩天轮的半径OA为50m，它的最低点A距地面的高 度忽略不计.地上有一长度为240m的景观带MN，它与摩天轮在同一竖直平面内，且60AMm.点P从 最低点A处逆时针方向转动到最高点B处，记. （1）当 2 3 时，求点P距地面的高度PQ； （2）试确定的值，使得MPN取得最大值. 【解析】 （1）由题意，得.从而，当 2 3 时，. 即点P距地面的高度为75m. （2）由题意，得，从而. 又，所以. 从而 令， 则.由 0g ，得，解得 2 . 当0, 2 时，为增函数；当, 2 时，为减函数， 所以，当 2 时， g有极大值，也为最大值.因为， 所以. 从而当取得最大值时， MPN取得最大值. 即 2 时， 取得最大值.