《江苏专版2019届高三数学备考冲刺140分问题12利用基本不等式处理最值证明不等式和实际问题含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《江苏专版2019届高三数学备考冲刺140分问题12利用基本不等式处理最值证明不等式和实际问题含解析.pdf（24页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、问题 12 利用基本不等式处理最值、证明不等式和实际问题问题 12 利用基本不等式处理最值、证明不等式和实际问题 一、考情分析 不等式问题始终是高考数学的热点题型之一,而基本不等式法是最为常见、应用十分广泛的方法之一下面 笔者以近几年高考试题及模拟题为例,对高考中考查利用基本不等式解题的基本特征和基本类型作一些分 类解析,供参考 二、经验分享 (1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提 ： “一正”“二定”“三相等” 所谓“一正”是指正数,“二 定”是指应用基本不等式求最值时,和或积为定值,“三相等”是指满足等号成立的条件 (2)在利用基本不等式求最值时,要根据式子的特征灵活变形,配凑出积、
2、和为常数的形式,然后再利用基本 不等式 (3)条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法,即根据条件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数式 转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形,利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子,然后利 用基本不等式求解最值 (4)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形,然后利用基本不等式求解 (5)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解 (6)求参数的值或范围：观察题目特点,利用基本不等式确定相关成立条件,从而得参数的值或范围 三、知识拓展 1(1)若Rba,则；(2)若Rba,则 2 22 ba ab （当且仅
3、当ba 时取“=” ） 2(1)若00a,b,则ab ba 2 ；(2)若00a,b,则（当且仅当ba 时取“=” ） ； (3)若00a,b,则（当且仅当ba 时取“=” ） 3若0x ,则 1 2x x （当且仅当1x 时取“=” ） ； 若0x ,则 1 2x x （当且仅当1x 时取“=” ） ； 若0x ,则 1 2x x ,即 1 2x x 或 1 2x x （当且仅当ba 时取“=” ） 4 若0ab,则2 a b b a （当且仅当ba 时取 “=” ） ； 若0ab ,则2 ab ba ,即2 ab ba 或2 ab ba （当且仅当ba 时取“=” ） 6若Rba,则（当且
4、仅当ba 时取“=” ） 7一个重要的不等式链： 8. 9函数图象及性质 (1)函数图象如右图所示： (2)函数性质： 值域：； 单调递增区间：；单调递减区间： 10.(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的 最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大” ； (2)求最值的条件“一正,二定,三相等” ； (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用 四、题型分析四、题型分析 (一) 利用基本不等式求最值(一) 利用基本不等式求最值 利用基本不等式求函数最值时,应注意三个条件：“一正,二定,三相等”
5、,这三个条件中,以定值为本因为 在一定限制条件下,某些代数式需经过一定的变式处理,才可利用基本不等式求得最值,而怎样变式,完全取 决于定值的作用主要有两种类型：一类是中条件给出定值式,一类是条件中无定值式 类型一 给出定值类型一 给出定值 【例 1】 【江苏省南通市三县（通州区、海门市、启东市)2019 届高三第一学期期末】已知实数，且 ，则的最小值为_ 【答案】 【解析】由于a+b2，且ab0，则 0b1a2， 所以， 令t2a1（1，3） ，则 2at+1， 所以， 当且仅当，即当时，等号成立 因此，的最小值为 故答案为： 【小试牛刀】设 , x y是正实数,且 1xy,则的最小值是_ 【
6、答案】 1 4 【分析一】考虑通法,消元化为单元函数,而后可用导数法和判别式法求解函数的最小值； 【解析一】 【分析二】考虑整体替换的方法,分母的和为常数 【解析二】设2xs,1yt ,则4st , 类型二 未知定值类型二 未知定值 【例 2】已知 , x y为正实数,则 43 3 xy xyx 的最小值为 A 5 3 B 10 3 C 3 2 D3 【答案】3 【解析】,当且仅当时取等 号. 【点评】配凑法是解决这类问题的常用方法,其目的是将代数式或函数式变形为基本不等式适用的条件,对 于这种没有明确定值式的求最大值（最小值）问题,要灵活依据条件或待求式合理构造定值式 【小试牛刀】已知函数在
7、 R 上是单调递增函数,则 23 c ba 的最小值是 【答案】1 【解析】 由题意的, 因为函数 f x在R上单调递增,所以满足,可得 2 3 b c a ,且0a 所以,当且仅当3ba时等号成立, 所以. 技巧一：凑项技巧一：凑项 【例 3】设0ab,则的最小值是 【分析】拼凑成和为定值的形式 【解析】 4(当且仅当和 1 ab ab ,即 2 2 2 b a 时取等号). 【点评】使用该公式时一定要牢牢抓住一正、二定、三相等这三个条件,如果不符合条件则：非正化正、非 定构定、 不等作图（单调性）.平时应熟练掌握双钩函数的图象,还应加强非定构定、 不等作图这方面的训练, 并注重表达的规范性
8、,才能灵活应对这类题型. 【小试牛刀】 【江苏省无锡市 2019 届高三上学期期中】设为正实数，且，则的最小值 为_. 【答案】27 【解析】因为，所以 因此 当且仅当时取等号，即的最小值为 27. 技巧二：凑系数技巧二：凑系数 【例 4】 当04x时,求的最大值 【分析】由04x知820x,利用基本不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此题为两个式子积的 形式,但其和不是定值注意到为定值,故只需将凑上一个系数即可 【解析】,当282xx,即2x 时取等号, 当2x 时,的最大值为 8 【评注】本题无法直接运用基本不等式求解,但凑系数后可得到和为定值,从而可利用基本不等式求最大值 【小试牛刀】
9、设 2 3 0 x,求函数的最大值 【解析】 2 3 0 x,023 x,当且仅当 232xx= -,即时等号成立 【点评】总的来说,要提高拼凑的技巧,设法拼凑出乘积或和为定值的形式 技巧三： 分离技巧三： 分离 【例 5】 求的值域 【分析一】本题看似无法运用基本不等式,不妨将分子配方凑出含有( ) 1x+的项,再将其分离 【解析一】,当,即时, （当且仅当1x =时取“”号） 【小试牛刀】已知 a,b 都是负实数,则的最小值是 【答案】2（1） 【解析】 2 22 技巧四：换元技巧四：换元 【例 6】已知a,b为正实数,2baba30,求y的最小值 1 ab 【分析】这是一个二元函数的最值
10、问题,通常有两个途径,一是通过消元,转化为一元函数问题,再用单调性 或基本不等式求解,对本题来说,这种途径是可行的；二是直接用基本不等式,对本题来说,因已知条件中既 有和的形式,又有积的形式,不能一步到位求出最值,考虑用基本不等式放缩后,再通过解不等式的途径进 行 【解法一】由已知得a,abba0,0b15令tb+1,则 302b b1 302b b1 2 b 230b b1 1t16,ab2（t） 34 t28,ab18,y,当且仅当t 2t 234t31 t 16 t 16 t t 1 18 4,即a6,b3 时,等号成立 【解法二】由已知得：30aba2ba2b2,30ab2令u,则2
11、ab2 abab u22u300,5u3,3,ab18,y222ab2 1 18 【点评】本题考查不等式的应用、不等式的解法及运算能力；如何由已知 不等式出发求得ab的范围,关键是寻找到abba与之间的关系,由此想 到不等式,这样将已知条件转换为含ab的不等式,进而解得ab的范围 【小试牛刀】设正实数 yx, 满足1 yx,则的取值范围为 【答案】 8 9 , 1 【解析】因为,所以 4 1 0 xy 设,所以 当 4 1 t时,上式取得最大值 当 2 1 t时,上式取得最小值 所以的取值范围为 8 9 , 1 【点评】基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能
12、,因此可以用 在一些不等式的证明中,还可以用于求代数式的最值或取值范围如果条件等式中,同时含有两个变量的和 与积的形式,就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化,然后通过解不等式进行求解 技巧五：整体代换技巧五：整体代换 多次连用最值定理求最值时,要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错 【例 7】已知0,0xy,且 19 1 xy ,求x y 的最小值 【错解】0,0xy,且 19 1 xy ,故 【错因】 解法中两次连用基本不等式,在等号成立条件是x y ,在 199 2 xyxy 等号成立条件 是 19 xy ,即9yx,取等号的条件的不一致,产生错误因此,在利用基本不等式处理
13、问题时,列出等号成 立条件是解题的必要步骤,而且是检验转换是否有误的一种方法 【正解】, ,当且仅当 9yx xy 时, 上式等号成立,又 19 1 xy ,可得时, 【小试牛刀】 【江苏省苏北四市 2019 届高三第一学期期末】已知正实数满足，则的 最小值为_ 【答案】 【解析】正实数x，y满足1， 则：x+yxy， 则： 4x+3y， 则： 437+4， 故的最小值为 故答案为：. 技巧六：取平方技巧六：取平方 【例 8】已知x,y为正实数,3x2y10,求函数W的最值3x2y 【解析】W0,W23x2y210210()2()2 10(3x2y)20, 3x2y3x2y3x2y W2 20
14、5 【小试牛刀】求函数的最大值 【解析】注意到21x与52x的和为定值 ,又0y , , 当且仅当21x=52x,即 3 2 x 时取等号,故 max 2 2y 【点评】本题将解析式两边平方构造出“和为定值”,为利用基本不等式创造了条件 技巧七：构造技巧七：构造 要求一个目标函数),(yxf的最值,我们利用基本不等式构造一个以),(yxf为主元的不等式 （一般为二次不 等式）,解之即可得),(yxf的最值 【例 9】设 , x y为实数,若 ,则2xy的最大值是 【分析】 利用基本不等式将已知定值式中 22 4xy ,xy的均转化成含2xy的不等式,再求2xy的最大值 【答案】 2 10 5
15、【解析】,可解得2xy的最大值为 2 10 5 【点评】本题的解法过程体现了“消元”的思想,所求目标函数是和的形式,那我们就设法消去条件等式中 的乘积,方法就是利用基本不等式,这里它的作用,一个是消元,还有就是把条件的等式变为了不等式 【小试牛刀】若正实数x,y,满足,则x y 的最大值为 【分析】构成关于x y 的不等式,通过解不等式求最值 【解析】由,得.即, .计算得出:. yx 的最大值是4. 技巧八：添加参数技巧八：添加参数 【例 10】若已知0,cba,则的最小值为 【解析】时可取得函数的最小值,此时 ,此时 5 1 ,最小值为 5 52 【小试牛刀】设 wzyx, 是不全为零的实
16、数,求的最大值 【解析】 显然我们只需考虑的情形,但直接使用基本不等式是不行的,我们假设可以 找到相应的正参数, 满足： 故依据取等号的条件得, ,参数t就是我们要求的最大值消去, 我 们得到一个方程,此方程的最大根为我们所求的最大值,得到 21 2 t 【 点 评 】 从 这 个 例 子 我 们 可 以 看 出 ,这 种 配 凑 是 有 规 律 的 ,关 键 是 我 们 建 立 了 一 个 等 式 ,这个等式建立的依据是等号成立的条件,目的就是为了取得最值 【小试牛刀】设 , ,x y z是正实数,求 的最小值 【解析】引进参数k,使之满足 ,依据取 等号的条件,有：,故的最小值 4 综上所
17、述,应用均值不等式求最值要注意： 一要“正”：一要“正”：各项或各因式必须为正数；二可“定”：二可“定”：必须满足“和为定值”或“积为定值”,要凑出“和 为定值”或“积为定值”的式子结构,如果找不出“定值”的条件用这个定理,求最值就会出错 ； 三能“等” ：三能“等” ： 要保证等号确能成立,如果等号不能成立,那么求出的仍不是最值 (二) 基本不等式与恒成立问题(二) 基本不等式与恒成立问题 【例 11】已知x0,y0,且 21 +=1 xy ,若恒成立,则实数m的取值范围是 【分析】先求左边式子的最小值 【解析】0x,0y,且 21 +=1 xy ,当且仅当 4yx = xy ,即yx2时取
18、等号,又 21 +=1 xy ,4x,2y,要使恒成立, 只需,即 2 8m +2m,解得24m ,故答案为24m. 【点评】恒成立指函数在其定义域内满足某一条件（如恒大于0等）,此时,函数中的参数成为限制了这一 可能性（就是说某个参数的存在使得在有些情况下无法满足要求的条件）,因此,适当的分离参数能简化解 题过程例：要使函数恒大于0,就必须对a进行限制-令0a,这是比较简单的情况,而对 于比较复杂的情况时,先分离参数的话做题较简单. 【小试牛刀】若对任意的正实数 , x y恒成立,求a的最小值 【解析】对任意的正实数 , x y恒成立, 对任意的正实数 , x y恒成立 设,由取等号条件：,
19、消去k,可以得到： 2 10tt ,解得： 51 2 t ,因此a的最小值为 51 2 题型二 基本不等式的实际应用 【例 12】 某工厂某种产品的年固定成本为 250 万元， 每生产x千件， 需另投入成本为C(x)， 当年产量不足 80 千件时，C(x)x210x(万元)当年产量不小于 80 千件时，C(x)51x1 450(万元)每件商 1 3 10 000 x 品售价为 0.05 万元通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完 (1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式； (2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ 【解析】 (1)因为每件商品售价
20、为 0.05 万元， 则x千件商品销售额为 0.051 000x万元， 依题意得 ： 当 00)，即x80 时“”成立 800 x x 8 (2)年平均利润为 x18 y x 25 x (x)18， 25 x x210， 25 x x25 x 18(x)18108， y x 25 x 当且仅当x，即x5 时，取等号 25 x 五、迁移运用五、迁移运用 1.【江苏省南通市通州区 2018-2019 学年第一学期高三年级期末】对于直角三角形的研究，中国早在商朝 时期商高就提出了“勾三股四玄五”勾股定理的特例，而西方直到公元前 6 世纪，古希腊的毕达哥拉斯才 提出并证明了勾股定理如果一个直角三角形的
21、斜边长等于 5，那么这个直角三角形面积的最大值等于 _ 【答案】 【解析】设直角三角形的斜边为 c，直角边分别为 a，b， 由题意知， 则， 则三角形的面积， ， ， 则三角形的面积，当且仅当 a=b=取等 即这个直角三角形面积的最大值等于， 故答案为： 2 【江苏省南通、扬州、泰州、苏北四市七市 2019 届高三第一次（2 月)模拟】在平面四边形中， ，则的最小值为_ 【答案】 【解析】如图，以 A 为原点，建立平面直角坐标系，则 A（0,0） ，B（1,0） ， 因为 DADB，可设 D（ ，m） ， 因为，AB1，由数量积的几何意义知在方向的投影为 3， 可设 C（3，n） ， 又所以，
22、即 ， ， 当且仅当，即 n1，m 时，取等号， 故答案为. 3 【江苏省常州市 2019 届高三上学期期末】已知正数满足，则的最小值为_. 【答案】4 【解析】由基本不等式可得， 所以， 当且仅当，即当yx2时，等号成立， 因此，的最小值为 4， 故答案为：4 4 【江苏省扬州市 2018-2019 学年度第一学期期末】已知正实数 x，y 满足，若恒成 立，则实数 m 的取值范围为_ 【答案】 【解析】由于x+4yxy0，即x+4yxy，等式两边同时除以xy得， 由基本不等式可得， 当且仅当，即当x2y=6 时，等号成立， 所以，x+y的最小值为 9 因此，m9 故答案为：m9 5 【江苏省
23、徐州市 （苏北三市 （徐州、 淮安、 连云港)2019 届高三年级第一次质量检测】 已知， 且，则 的最大值为_ 【答案】 【解析】化为，即， 解得：，所以， 的最大值为 。 故答案为： 6 【江苏省无锡市 2019 届高三上学期期末】在锐角三角形 ABC 中，已知 2sin2 A+ sin2B = 2sin2C，则 的最小值为_ 【答案】 【解析】由正弦定理，得：， 如图，作 BDAC 于 D，设 ADx，CDy，BDh， 因为，所以，化简，得： ，解得：x3y ， ，当且仅当时取得最小值. 故答案为：. 7 【江苏省镇江市 2019 届高三上学期期末】设函数 (，)若不等式 对一切恒成立，
24、则的取值范围为_ 【答案】 【解析】由题可得：， 不等式对一切恒成立，可化为 ：对 一切恒成立， 所以，又，解得：， 不等式对一切恒成立化为： 对一切恒成立， 所以：恒成立。 所以=，当且仅当，时等号成立。 8 【江苏省镇江市 2019 届高三上学期期末】已知，则的最小值为_ 【答案】3 【解析】因为， 所以= 9【江苏省盐城市、 南京市 2019 届高三年级第一次模拟】 若正实数 、 、 满足， ，则 的最大值为_ 【答案】 【解析】由，解得， ， 10 【江苏省如皋市 2019 届高三教学质量调研（三)】已知，若 ， 满足， 且，则的最小值为_ 【答案】 【解析】由，且，所以，即 ，所以，
25、得，所以 ，当且仅当，即时，等号成立，综上， 的最小值为 11 【2018 年江苏高考试卷】在中，角所对的边分别为，的平分线交 于点D，且，则的最小值为_ 【答案】9 【 解 析 】 由 题 意 可 知 ，,由 角 平 分 线 性 质 和 三 角 形 面 积 公 式 得 ，化简得，因此 当且仅当时取等号，则的最小值为 . 12【江苏省南京市 2018 届高三第三次模拟】 若正数成等差数列， 则的最小值为_ 【答案】 【解析】因为正数 a,b,c 成等差数列，所以 2b=a+c. 所以 令 5a+c=x,2a+c=y，则 所以 当且仅当时取等号. 故答案为： 13 【江苏省苏锡常镇四市 2017
26、-2018 学年度高三教学情况调研】已知为正实数，且，则 的最小值为_ 【答案】. 【解析】由题得， 代入已知得， 两边除以得 当且仅当 ab=1 时取等. 所以 即的最小值为. 故答案为： 14 【江苏省无锡市 2018 届高三第一学期期末检测】已知双曲线与椭圆的焦 点重合，离心率互为倒数，设分别为双曲线 的左，右焦点， 为右支上任意一点，则的最小值为 _ 【答案】8 【解析】 由已知， ； 又双曲线 与椭圆焦点重合， 离心率互为倒数， ，则双曲线 ； 在右支上 ，根据双曲线的 定义有 ， ，故的最小值为 . 15 【江苏省苏北六市 2018 届高三第二次调研】已知a，b，c均为正数，且ab
27、c4(ab)，则abc的 最小值为_ 【答案】8 【解析】 16 【江苏省南通、 徐州、 扬州等六市 2018 届二模】 已知a b c，均为正数， 且， 则abc 的最小值为_ 【答案】8 【解析】a b c，均为正数，且 ，当且仅当2a ， 2b 时取等 号 abc的最小值为8 故答案为8. 17 【江苏省扬州市 2017-2018 学年度第一学期期末】已知正实数 ， 满足，则 的最小值为_ 【答案】 【解析】令，则：，即， 则：，据此有：， 综上可得： 当且仅当时等号成立. 综上可得：的最小值为 . 17 【江苏省南京师大附中 2018 届高三高考考前模拟】已知，求证 【解析】证明：证法
28、一 因为 a0，b0，ab1， 所以()(2a1)(2b1)14529 而 (2a1)(2b1)4，所以 证法二 因为 a0，b0，由柯西不等式得 ()(2a1)(2b1)()2(12)29 由 ab1，得 (2a1)(2b1)4， 所以 18 【江苏省南通市 2018 届高三上学期第一次调研】已知1a ， 1b ，求 22 11 ba ab 的最小值. 【答案】8 【解析】试题解析：因为1a ， 1b ， 所以，. 两式相加： 44ba， 所以. 当且仅当且时“”成立. 即2ab时， 22 11 ba ab 取得最小值8. 19 【山东省德州市 2018 届高三上学期期中】 水培植物需要一种
29、植物专用营养液， 已知每投放a（04a 且aR）个单位的营养液，它在水中释放的浓度y (克/升）随着时间x (天)变化的函数关系式近似为 yaf x，其中，若多次投放，则某一时刻水中的营养液浓度为每次投放的 营养液在相应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中营养液的浓度不低于 4(克/升)时，它才能有效. （1）若只投放一次 2 个单位的营养液，则有效时间最多可能达到几天？ （2）若先投放 2 个单位的营养液，3 天后再投放b个单位的营养液，要使接下来的 2 天中，营养液能够持 续有效，试求b的最小值. 【答案】(1) 3 天；(2) 18 12 2 . 【解析】 （1）营养液有效则需满足4y
30、 ， 则或， 即为12x或23x， 解得13x， 所以营养液有效时间最多可达 3 天； （2）解法一:设第二次投放营养液的持续时间为x天， 则此时第一次投放营养液的持续时间为3x天，且02x； 设 1 y为第一次投放营养液的浓度， 2 y为第二次投放营养液的浓度， y为水中的营养液的浓度； ， ， 由题意得在0,2上恒成立， 在0,2上恒成立， 令，则， 又， 当且仅当 18 t t ，即 3 2t 时等号成立； 因为3 23,5 所以b的最小值为18 12 2 . 答:要使接下来的 2 天中，营养液能够持续有效， b的最小值为18 12 2 . 解法二:设两次投放营养液后的持续时间为x天，
31、则第一次投放营养液的持续时间为x天， 第二次投放营养液的持续时间为3x天，且35x， 设 1 y为第一次投放营养液的浓度， 2 y为第二次投放营养液的浓度， y为水中的营养液的浓度； ， 由题意得在3,5上恒成立 在3,5上恒成立 则 又， 当且仅当 18 x x 即 3 2x 时等号成立； 因3 23,5， 所以b的最小值为18 12 2 . 答:要使接下来的 2 天中，营养液能够持续有效， b的最小值为18 12 2 . 20 【江苏省南京市 2018 届高三数学上学期期初】 某工厂有 100 名工人接受了生产 1000 台某产品的总任务， 每台产品由 9 个甲型装置和 3 个乙型装置配套
32、组成，每个工人每小时能加工完成 1 个甲型装置或 3 个乙型 装置现将工人分成两组分别加工甲型和乙型装置设加工甲型装置的工人有x人，他们加工完甲型装置 所需时间为t1小时，其余工人加工完乙型装置所需时间为t2小时 设f(x)t1t2 （）求f(x)的解析式，并写出其定义域； （）当x等于多少时，f(x)取得最小值？ 【答案】 （1） 定义域为x|1x99，xN*（2）当x75 时，f(x)取得最小值 【解析】 （1）因为 1 9000 t x 所以 定义域为x|1x99，xN* （ 2）f(x)， 因为 1x99，xN*，所 以 9 100x x 0， 100 x x 0， 所以26， 当且仅当 9 100x x ，即当x75 时取等号 答：当x75 时，f(x)取得最小值